爱华网内容摘要本文将从积分的定义，可积函数的连续性，积分的可加性，积分极限定理，牛顿—莱布尼兹公式五个方面进行分析比较，指出黎曼积分与勒贝格积分的区别。
黎曼积分是数学分析中的重要内容，勒贝格积分是实变函数论中的主要内容。就可积函数的范围来看，勒贝格积分比黎曼积分更广泛。这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别。若函数在上黎曼可积，则它必在上勒贝格可积，且有相同的积分值，但勒贝格可积不一定黎曼可积。在教材及参考书中，有关黎曼积分与勒贝格积分的区别的内容讲的很少，也缺乏条理性和系统性，而由黎曼积分过渡到勒贝格积分，理解起来也有一定的困难。本文将从积分的定义，可积函数的连续性，积分的可加性，积分极限定理，牛顿—莱布尼兹公式五个方面进行分析比较，指出黎曼积分与勒贝格积分的区别。为便于叙述，我们只考虑上有界函数的积分。
一．定义
（一）黎曼积分的定义
1．黎曼积分是建立在黎曼和的基础上的，因此简单说明黎曼和的概念。
区间[a,b]上有定义的实值函数f，关于取样分割 ，黎曼和定义为 和式中的每一项是子区间长度 在 处的函数值 的乘积。直观地说，就是以标记点 到轴的距离为高，以分割的子区间的长的矩形的面积。
2．黎曼积分：有了黎曼和得定义，我们不难想象，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限，当分割越来越细的时候，[]中的函数值才会与 接近,矩形面积的和与“曲线下方的面积差也会越来越小。总结起来，也就是分割，取界点，做积，求和，取极限。
面 给出黎曼积分的严格定义：
设 是定义在区间[a,b]上的一个函数，是一个确定的实数，若对任给的正数 ，总存在某一个正数 ，使得对[a,b]上的任何分割T,以及在其上任意选取的点集 ，只要 ＜，就有
＜
则称函数 在区间[a,b]上是黎曼可积，数 成为在区间[a,b]上的定积分或黎曼积分。记为 = ，那么就有 = =
（二）勒贝格积分的定义
积分是现代数学中的一个积分的概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中，因此我们先要了解什么是外侧度？什么是可测集？
1.外侧度：设{ }(k=1,2,… …)是有限或可数个开区间，这些开区间覆盖了E，由{ }(k=1,2,……)决定了一个非负广义实数u= ,一切这样的u是下有界的，所以有下确界，把这个下确界称为集E的外侧度，记为 ，即 = .
2.测度 可测集
设集E ，偌对任意集X ，都有
X= (X )+ (X )
则称集E是可测集，这时把 称为集E的测度,为mE。
3.勒贝格积分：
（1）非负简单函数的积分：设E为 中的一个可测集，mE<+ ,f在E上几乎处处有界, {}，(i=1,2… …m.)为E的一个分化， （i≠j）,而且可测， ， 。上和为 ,下和为 。下积分： { ，任一个分划D}，上积分 { ，任一个分划D}。若 = ，则称f在E上勒贝格积分存在，记为 。若 ＜+∞,则称f在E上勒贝格可积。
（2）非负可测函数的积分：设f(x)是可测集E上的非负可测函数，{ }是收敛于f(x)的非负上升简单函数列。称 为f(x)在E上的勒贝格积分值，记为。若积分值有限，则称f(x)在E上勒贝格可积。
（3）设f(x)是定义于可测集E 上的可测函数，如果 不同时为∞，则称 =是f(x)在E上的勒贝格积分值，若积分值有限，则称f(x)在E上是勒贝格可积。在E上可积的全体函数记为L（E）.
从这两种积分的定义可以看出，它们的主要区别是：黎曼积分将给定函数的定义域分小而产生的，而勒贝格积分是划分函数的值域而产生的。前者的优点是的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大；后者的优点是函数在上的振幅，但一般不再是区间，而是可测集。其度量的值一般不易给出。然而就是这一点点差别，使这两种积分产生了本质的区别，使勒贝格积分具备了很多为黎曼积分所不具有的良好性质，这些性质从以下几点讨论中我们将会看得更清楚。我们将会看到，勒贝格积分比黎曼积分的应用范围更广泛，使用起来更方便。由此可见，比起黎曼积分来，勒贝格积分是向前迈了一大步。
二．可积函数的连续性
1．连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是连续函数，比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼可积的。那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件。它将函数的可积性归结到了函数的内在性质—连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚。这个可积条件是：函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集。这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的。
例如黎曼函数这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的。虽然在中有无穷多个有理点，即黎曼函数
X= ,当x= (p,q 为既约分数)
R(x)=
X=0，当x=(0,1)及（0，1）内的无理数）
仍然是黎曼可积的，且积分为0。事实上黎曼函数的全体有理数点组成一个零测度集，所以黎曼函数是黎曼可积的。
2.现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质。设f是可测集E上的连续函数，则在E上勒贝格可积的充要条件是在E上勒贝格可测。对于函数来说，可测集上的连续函数是可测函数。特别地，有限区间上的连续函数是可测函数。对于几乎处处连续的函数，它显然几乎处处等于一个连续函数，而几乎处处等于一个可测函数的函数也可测，所以一个几乎处处连续的函数在有限区间上是可测函数。从以上我们也可以看出黎曼可积则必是勒贝格可积。那么勒贝格可积函数的连续性是怎样的呢？它与黎曼可积函数的连续性的区别在哪里？我们有下面的鲁津定理：
若mE<+∞,f(x)集E上几乎处处有限的可测函数，则对于任意的>0,有闭集F E，满足m(E－F)<,而f(x)在F上是连续的。
从这个定理可以看出，在可测集E上几乎处处有限的可测函数是基本上连续的，或称为是近于连续的。因此勒贝格可积函数是近乎连续的。对应于黎曼可积函数的情形，例如狄利克雷函数
0 ，x为有理数
D(x)=
1 ，x为无理数
显然是有界函数，但在定义域上无处连续，所以不是黎曼可积的,但它是勒贝格可积的。通过上面的讨论，黎曼积分与勒贝格积分的区别也就不难看出了。
三．积分的可加性
这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性。黎曼积分具有有限可加性，即如果函数f在区间[a,c]和[c,d]上都可积，那么f在区间[a,b]上也可积，并且有。但黎曼积分没有可列可加性，即设f(x)在E上可积，E= ,(i≠j),每个 都可测，则有 =。对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可列可加性。
克服了黎曼积分的缺陷。对于这两种积分的可加性，究其原因，我们将不难理解。我们知道，黎曼积分建立在区间之上，勒贝格积分建立在勒贝格测度之上，而区间只具有有限可加性，勒贝格测度具有可数可加性，由于它们之间的密切联系，区间和勒贝格测度的性质也就反映到了相应的积分上来了。
四．积分极限定理
在这一方面，对于黎曼积的积分与极限交换问题不能顺利解决，就大大降低了黎曼积分的效果。在勒贝格积分范围内对于这个问题得到了比在黎曼积分范围内远为完满的解决，这正是勒贝格积分的最大成功之处。对于勒贝格积分，有如下的勒贝格控制收敛定理：
设{f(x)}是E上的可测函数列且几乎处处收敛于f(x)，如果存在非负可测函数F(x),使 ，则所有的 都可积，并有
这也叫做勒贝格积分的有界收敛定理。与黎曼积分的有界收敛定理相比，显然条件宽松得多，从而使我们又一次看到了勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性。
五．牛顿—莱布尼兹公式
1.内容：如果F(x)使连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则
2.重要性：牛顿—莱布尼兹公式以其在微积分中的重要性要被称为微积分基本定理，该定理表明，一个连续函数在区间[a,b]上的定积分在于它的任一个原函数在区间[a,b]上的增量，求定积分问题转化成求原函数问题，微积分基本定理又可以写成，所以该定理沟通了函数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系，同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论。那么是不是所有的积分都适用于牛顿—莱布尼兹公式呢？以下我们主要讨论黎曼积分与勒贝格积分在该定理中的应用。
3.R积分中的牛顿—莱布尼兹公式
若f(x)在区间[a,b]连续，积分上限函数F(x)= 于[a,b]可导，且 ，有
4. L积分中的牛顿—莱布尼兹公式
若F(x)在区间[a,b]上是绝对连续函数，则
积分运算是微分运算的逆运算。显然，在微积分基本定理中，必须是可积的。在黎曼积分范围内，积分运算只是部分地成为微分运算的逆运算，这就大大限制了微积分基本定理的应用范围。对于勒贝格可积函数，同样有积分运算并不完全是微分运算的逆运算，当存在时，不能保证 L可积；即使L可积牛顿—莱布尼兹公式也未必成立，在L积分范围内对于绝对连续的被积函数，保证了牛顿—莱布尼兹公式成立，L积分没有很好地解决微分于积分互异的问题，
但是针对黎曼积分有了很大的改进
关键词 黎曼积分 勒贝格积分 牛顿—莱布尼兹公式
参考文献 《实变函数与泛函分析》 作者 郭懋正北京大学出版社 2005年10月第二次印刷
数学分析（上）华东师范大学数学系编 高等教育出版社 第三版 2007年5月第17次印刷
