爱华网如果不对数理逻辑深究，仅将集合论作为我们思考代数、分析方面有效地途径，那么接下来写一点对集合论的想法。
函数的一般概念，即为一个集（原象）到另一个集（象）内的映射。映射种类很多，如果原象中不同的元素通过某种映射在象中得到与原象中元素个数相同的相异新元素，即为一一对应的双射。映射的性质包括映射与逆映射作为算子对集合运算的分配律。对于集合而言类型就很多。初等集合论讨论的问题更像是把集合归类。作为最简单的数集。为了对数进行比较，我们先讨论其偏序性，这是集中两个元素的二元关系，满足自反、传递、反对称性的关系为偏序，即小于等于关系的可比较。如果两边元素都可比较，即为有序集。两个偏序集间的映射为保序映射，如果两集合元素间还一一对应，为同构映射，这种映射保留了象的基本特征。如果原象是个连续统，则为同胚映射。在这里引入选择公理，如果偏序集中的任一子集的两元素可比较，则该子集为链。Hausdorff定理表示偏序集中的任何链必包含于它的某一极大链中。Zermelo的定理相当于说，假设某集的子集是个类似数集的指标集，如果将集的划分为仅取一个元素的可数集合，则完成了元素的选择，用来证明有下界的偏序集即良序集。而Hausdorff的将其推广到了不可数的集合，因为链其中有个势的概念。对于一般的集合，我们需要将其分类，原则是将具有二元关系的偶划分类，元素间为等价关系，使得划分好的元素形成的类仅有重合与不相交的关系。这样话，可以将原象集合中的具有等价关系的元素形成类，该类中的元素组成子集，把本来繁杂的映射整理后缩减。从点对点的映射上升为同类集间的映射关系。这其中体现映射过程完全与否的问题，即集的元素个数。如果两集间的元素可以建立一一对应关系（个数相等），即两集合对等。具体地说，Cantor—Bernstein定理表示互为映射成子集的两集合对等。如果某集对等于自然数集，则该集可数，即选择定理的依据！无限集对等于其某一非空真子集，所以[0,1]上的所有实数可以对等成整个连续统。如果两集合相互对等，则具有相应的势。同构即等势，表现了两集合间的内在联系。美丽的映射应当是具有对称性的双射，分类后的对等映射，于是促成了跟简洁的函数关系。
分类是把元素促成集，以集为元素的集合为集族。如果将元素考虑成点，这样的运算始终在一个集合中完成。而将元素考虑成集之后，可以以一个集内的元素的条件对另一个集的元素运算，得到另外一个集合。选择定理就是这种。在测度方面得到了拓广。如果具有空集满足交运算封闭的集族即构成集半环。如果将单位集分为两两不相交的集合类，这种过程为有限分解式。如果集半环还对对称差满足封闭性，即为集环。如果集族中包含最大集即单位集时，这样的集环称为集代数。相当于线性代数里说的满足线性组合封闭性的方正环称为代数的意思。作为集环的推广，当集环包含各集序并时为σ环；当集环包含各集序交时为δ环。当然由于对偶关系两者是等价的。数学分析中所说的Borel引理，其实是有限开覆盖住一个在最小σ代数集。
分析上讲的集合论，觉得只要在脑子想象成两个集合的映射就够了，有时再条件地加上另一个集合辅助。元素无论是集合还是个体，重要的是连续的，偏序的概念因为从小就渗透在数学中。当然，集合论在测度上的意义很大，一直后面作为概率论的奠基。现在长大了，就该从点问题考虑面问题甚至更高维度的问题。
来自: 垂天烟树(深藏功与名) 2011-02-26 23:52:27------------------------------------------------------------------------集合论研学初心
最近在网上看了几位大牛的博客，对集合论逐渐产生兴趣。进而去维基上翻了翻，对集合论有了个初步的了解。这里做点笔记。
集合论是一个目标统一全宇宙的超级理论。当然也有可能他统一不了了，但透过集合论，去理解人类逻辑的固有定式，去理解数学如何解释世界，是很有意思的事情。
朴素集合论是很容易理解的事情。首先有元素这个概念。然后元素可以属于集合。两个集合相等完全由其元素一一相等来判定(外延公理)。然后集合的元素也可以是集合，集合可以为空(空集公理)。
这就是高中课本上的集合定义了吧。但这样的定义存在巨大的问题。
例如著名的罗素悖论：设存在集合R,它包含的元素由对“所有集合”应用的一个函数(谓词)来确定，即“不包含自身的集合”(固有前提，该元素是一个集合)。这个谓词是合理的，因为在”所有集合”这个范围内确实存在不包含自身的集合。那么，将所有这样的集合作为元素，放到这个集合R里，理论上似乎可行。那么我们看这样的集合R有什么特性呢他或许不包含自身(R不属于R)，如果是这样，那么他就应该包含R(因为R是所有不包含自己的集合嘛)。但是如果他包含了自己，他立刻就不应该包含自己了(包含自己的集合不应该属于R)。
为了阻止这种情况发生，严谨的集合论不得不增加一些公理和概念来回避这个问题。首先，使用一个谓词确定的集合不再确保构成一个集合。他们只是属于一类(内涵公理，替代公理)。因此“类”这个概念比集合更广泛。如果一个类不是一个集合(例如“不包含自身的所有集合”)，那么他就是一个“真类”。
另外，在一个集合上使用一个谓词仍然可以得到所有符合这个谓词的元素的集合。这称之为分类公理。
之后引入“正则性公理”来确保集合的合理性。这个公理描述起来有点费力。首先，公理化集合论一般认为所有集合都是集合的集合，不存在集合之外的概念。集合的元素也是集合(有可能是空集，所以这个定义是可以终止的)。然后正则性公理是说，任意非空集合，总存在一个元素，这个元素(同时也是集合)与这个集合的交集为空。这样理解很困难，我们反过来理解。任意非空集合，不可能发生这种情况：他的所有元素都与其相交。这仍然很难想象，我们举个例子来观察这样的集合的特性。
假设R符合这个条件，假设他包含一个元素。则 R = {A}
这里A和R相交非空，则A交R = B
B是A和R的交集，则B是R的子集。同时B非空。则B只能是{A}。也就是说，B = R。
所以A交R = B。A = {A, …}
而R = {A}, 所以R = {{A, …}} = {{{A, …}, …}} = {{{{A, …}, …},…}}
这样的A是无穷递归定义的。或者说，在有限时间内无法写出R的定义。这和无穷集合并不相同。无穷集合只是在有限时间内无法写出这个集合中的元素而已。如果一个集合无法被定义，我们应该认为他就是不存在的吧。
R包含更多元素的情况比较复杂，不过归结到最后都是如这样形式的无穷递归。可以说这个公理防止了这样的不良定义的集合出现。所以“禁止自包含”就是正则公理的内涵之一。
以上几个公理定义了集合的内涵和外延，以及一个操作(分类)。接下来还需定义集合的并(并集公理)这个操作。这个操作的定义与朴素集合论中的定义略有不同。
这个定义的形式描述有点绕，这里形象的说明就是：一个形如R = {{A},{B},{C}, …}的集合，他的并U R ={A, B, C, …}。
所以，{A, B, C}U{D} = U{{A, B, C},{D}} = {A, B, C, D}
相信读到这里很多lisp玩家已经感到似曾相识了。确实函数式语言、图灵机等等计算机科学基本概念都可以说是自集合论派生出来。这也是我会忽然跳这个大坑的原因。
定义了并之后，集合操作基本定义完全。至于说交集这个定义呢，因为存在分类公理，交集其实是分类公理使用“属于某个集合”这个谓词的一种特化形式。因此无需使用公理定义出来。
还有几个公理，我这里配合描述集合论构造自然数的定义来描述。因为这一段似乎是集合论中最容易懂的一部分了
这里直接给出定义的形式，他比描述还容易懂。之后根据这个形式中出现的几个特征，引出几个定义。
0 = {} (空集)
1 = {0} = { {} }
2 = {0,1} = { {}, { {} } }
3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}
4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, {{}, { {} } }} }
由于自然数是无穷的，必须使用归纳法定义全体自然数。前面集合的并集的定义是一个铺垫：
首先 0 = {} 是自然数。
然后 假设x是自然数，则x的下一个自然数x’ = x U {x}
由是自然推出了元素的“后继”这个概念。x’是x的后继，则x’ = x U{x}。并依据后继这个概念定义归纳法(无穷公理)
存在集合A,首先，空集属于A，并且对于任意的元素x属于A，则x的后继x’ = x U {x}也属于A。
这不破坏正则公理，因为空集属于A。因此A中存在一个元素，{}，他与A的交集是空。
这并不是文字游戏。要求空集包含于A是非常重要的。这相当于是数学归纳法中的初始条件。否则归纳法无法成立。
此外还引出了集合中元素的顺序问题。称x’是x的后继，就是说，x和x’之间存在顺序关系。并且这个顺序关系可以传导。也就是说，x1是x0的后继，x2是x1的后继，则x0和x2也存在x0在前,x2在后这样的关系。 通过这个关系，可以得出集合的序的概念。
首先定义良序集合。所谓良序集合，通俗地说，需要符合两个条件。其一，首先给定一个判定关系的运算符，任意举出这个集合中的两个元素，在这个运算符上能够判定顺序关系(因此这是一个线性的顺序关系，每个元素如果有，都仅有一个后继和一个前驱)；其二，任意给定这个集合的子集，能够找出该子集的最小元素（无需保证最大元素）。符合这个条件的集合和这个关系一起就称作良序集。因此自然数在=这个关系上是良序的。但是整数在=这个关系上就不是良序。因为不存在这个集合的最小元素。但是如果用其他的顺序关系运算，仍然可以给出一个良序的整数集。例如0,-1, -2, ..., 1, 2, ...这个顺序，0最小，然后负数比整数小，然后绝对值小的数更小，则得到一个良序集。为何一定要确保最小值，其实就是为了使归纳法成立。后续的大量论证将会建立在良序集的归纳法之上(超限归纳法)。
好了，对于良序集，既然后继是唯一确定的，就可以不停地向后列举下一个后继。如果这个集合是有限集，则最后一个后继的序号(序数)就是一个自然数。如果是可数无穷集合，则这个最大的序数无法在有限时间内获取到。我们设这个数为ω(自然数的序数)。仍然存在序数比ω还大的可数无限集合。例如整数，假如按照上述排序方式，则其序数相当于是ω+ω。又比如，自然数如果采取另一种排序方式0,3, 6, 9, …, 1, 4, 7, …, 2, 5, 8,…则自然数的序数是ω+ω+ω。我们看到，序作为衡量集合大小的指标有一个不足，就是序是由一个人为确定的关系运算符来确定的。关系不同，就有可能改变序大小。因此还需要更通用的，仅与集合本身相关的指标来衡量集合的大小。
接下来应该引入基数的概念。但由于这一块我还没有完全理解，所以暂且写到这里了。
后续会写一篇文章记录读到目前为止我的各种疑问。作为思考题，推动自己接下来继续去学习～
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拓扑的基础：集合论（总结）
集合论总结：
一、集合的初步概念
1、并集，交集，幂集。
前两者说了无数次了，这里不说了。
说一点幂集吧，幂集是一个集族，也就是那种以集合为元素的集合。一个集合通常包括一些元素，而这些元素的各种组合可以形成各种各样的集合，这些集合都是原集合的子集，而且这些子集就是原集合所能含有的一切子集。于是这个子集集族就是这个原集合特有的，称为原集合的“幂集”。之所以有“幂”这个词，是因为一个集合的幂集所包含的元素的个数，也就是这个集合所有子集的个数，是2的“这个集合所含元素的个数”次幂。这点稍微写几个例子就马上清楚了。
2、笛卡尔积
又称为“直积”或者“积集”或者“卡氏积”。笛卡尔积中的元素都是一个个“元素对”，每个元素对都由多个元素组成，这多个元素各自来源于多个集合。平面直角坐标系就是一个笛卡尔积，每一个点有一个坐标，是两个数字组成的数字对，其中一个来自于x轴，另一个来自于y轴。空间直角坐标系也是笛卡尔积。只是这两个例子太特殊了，我们必须推广我们的思路，摒弃“直角坐标系”这个特殊限制，比如曲线坐标系。。。。这其实也不够广阔。
通过笛卡尔积的概念可以对很多概念进行推广，我认为最有用的推广就是对“函数”概念的推广，可以参见厉风的帖子：http://tieba.baidu.com/f?kz=886234692##12。
3、映射
映射是“函数”的推广，函数是特殊的映射，它可以借助笛卡尔积来描述。
1）、单射
就是单个对单个的映射，不含有单个对多个、多个对单个、多个对多个的情况。梁老头说的“一一映射”就是指这个单射：一个对应一个的映射。而很多书上的“一一映射”指的是双射。。。
2）、满射
就是说这个映射满满地覆盖了应变量集合上所有的元素，就是说，应变量集合中每一个元素都有一个自变量集合中的元素所对应。满的，一个不拉的。但这里可以是一对一、多对一的情况，也可以是多对多的情况。
3）、双射
就是既单又满的映射。这种映射最简单，也最有用。常见的单调、可逆的函数通常就是这种映射。但这里必须要有一个认识：对于自变量集合，这里不要求是“满”的。满射要求的是对那个应变量集合满覆盖。也就是说自变量集合中可以存在若干个特殊的元素，这些特殊元素与应变量集合中所有元素都不存在映射关系，这是可以存在的。
4、关系
关系是映射的推广，映射只是特殊的一种关系。关系完全由笛卡尔积来描述。
5、集合的基数
刻画了集合规模大小的一个量。对于有限集合，基数就是元素的个数。对于无限集合，基数是一个无限大。
二、序结构
这个名字起得很好，这个东东显然是跟“排序”有关的。所谓“结构”，指的是在一堆毫无特性的对象之间（这些对象可以是一个集合中的元素，也可以是多个集合），刻画的一种组织性的东西，称为“结构”。结构由映射或者关系来描述，而最重要的是，这些映射或者关系必须满足或者说服从一些最基础的公理或者说规则。
所谓序结构，指的就是一个集合中的元素必须服从的“序规则”。最熟悉的序规则就是实数的“大小规则”。一个集合拥有了某个序规则，那么就可以按照这个规则对元素进行排序。对同一个集合可以赋予不同的序规则，每种规则都规定了一种排序方式。
序规则的具体体现就是一个序符号。比如实数大小这个序规则的符号是大于号>，小于号<，大于等于号>=，小于等于号<=这类。
1、拟序：
这是最基本的序规则，满足这些规则的集合才可以开始排序。
a、自反性
指的是集合中的每一个元素都可以排列在自己相邻的前面或者后面。这个特性其实蕴含了“相等”的概念。
b、传递性
集合中的三个元素abc，若a排在b前面，而b排在c前面，则a必然排在c前面。
传递性保证了一个最基础的排序规则。至于元素之中谁排在谁的前面，这可以任意定义。ab特性指出，一旦定义了元素之间的前后规则，那么这些前后规则必须符合ab特性。
2、半序：
在拟序的基础上加上：
c、反对称性
若俩元素都可以将对方排在自己后面，那么这俩元素必须相等。也就是说对于俩元素来说，其排序方式是唯一的。
3、全序：
在半序基础上加上：
d、完全性：
对于集合中任意两个元素，都必须有排序关系。
这样出来的序规则就是全序。全序保证了这个序规则作用于集合的所有元素上。
4、有向序：
在1、拟序的基础上有特性：
e、有向性：
对于集合中任意俩元素，存在一个始终排在这俩元素之后的元素。
也就是说，集合在这个序规则下存在一个排在所有元素后面的元素的话（即排在最后），这个序规则称为有向序。注意这是在最基础的拟序的基础上所添加的规则。
*集合的包含于关系就是一个半序关系。为啥不是全序呢？因为存在那种你不包含于我，我也不包含于你的各种子集，所以这个序不全。
5、上界、上确界、最大元、极大元概念
在一个半序集中若存在某个元素a，对于半序集某个子集A中任意一个元素，这个元素a都排在其后，称元素a为这个子集A的“上界”。子集A的上界可以有很多个，它们也可以排序，排在最前的那个就是子集A的“上确界”。
若子集A所有元素都排在子集A某个元素a之前，或者说子集A的上确界也属于子集A的话，那么称a为子集A的最大元。而如果子集A的某元素a，若“存在子集中的另一元素b排在a之后”必须推出“b就是a”的话，称a为子集A的极大元。
这里的最大元和极大元之间的关系很迷惑人，这里的区别主要集中在所涉及的序到底是半序还是全序。在全序中，极大元和最大元是同义词，完全等价；而半序中，由于并不是所有元素都可以排成一条序列，所以这个子集A可能是多个子集的并，而这多个A的子集之间不存在排序关系。于是对于每一个A的子集中，都可能存在一个极大元。这些极大元之间没有排序关系，所以子集A不存在最大元。
对应还有下界，下确界，最小元和极小元的概念。
6、良序
对于一个拥有全序的集合，若集合的任意一个非空子集都有最小元，则称该全序为良序。
实数集不是良序，因为实数集的子集{-无穷，0}就没有最小元。而自然数集就是一个良序集，因为自然数集有一个最小元：0。
良序可以将数学归纳法扩展为“超限归纳法”：先假设命题对于最小元成立，然后对于按照良序排列的两个元素，假设排在前面的那个元素所对应的命题成立，证明排在后面的那个元素所对应的命题也成立，于是整个命题对这个良序集每一个元素都成立。
*良序公理：任何一个非空集合上都存在一个良序。
对此的我的个人理解：
一个非空集合我可以任意指定某个元素为最小元，然后在此基础上搞出一个全序。于是这个全序就必然是良序了。
比如对于整数集，按照它本身就具有的大小序关系来说，不是个良序，因为找不到一个最小元（-无穷不是最小元）。现在我规定0为最小元，规定序关系为绝对值的大小关系，这样规定的序关系中，0的确是最小元。于是这个序关系就是个良序。（注：这个例子由拉普拉斯（某网友ID）提供，他还提出了一个等价公理：编号公理，即任何非空集都可以用自然数对其元素进行编号）。
7、选择公理
对于一组互不相交的非空集合，总可以在每一个集合中选取一个元素组成一个集合。
这个公理乍看就是一句废话，所以才可以成为一个公理。。。看上去是废话的总是最基础的。
存在一个与这个公理等效的“极大原理”：
若一个半序集中每一个全序子集都有上界，那么这个半序集至少有一个极大元。
函数与关系上面俺说了一句话：映射是关系的一种特例，关系是映射的推广。这句话之所以成立，是因为咱们在定义映射的时候，规定了映射必须是“单值”的，即对于定义域中任何一个元素，其映射过去的值域中的值，必须是单个的元素，所以映射包含了一对一的，也包含了多对一的，就是不能包含一对多或者多对多的情况。而关系则没这个规定，所以关系可以是一对一，一对多，多对一和多对多所有的情况。于是在这个意义上说，关系是映射的推广。
举一个关系的例子：血缘关系。
设某个集合的元素是人的名字，比如是：
A={张三，李四，张小一，张小二，李小一}
首先，来看看AA=A×A（A与A的笛卡尔积）：
A×A=
{(张三，李四),(张三，张小一),(张三，张小二),(张三，李小一),
(李四，张小一),(李四，张小二),(李四，李小一),
(张小一，张小二),(张小一，李小一),
(张小二，李小一)}
然后我们假设，张小一和张小二是张三的孩子，李小一是李四孩子，张三和李四没有血缘关系，张小一、张小二和李小一之间也没有血缘关系。把所有有血缘关系的名字列出来形成一个配对表的话就是：
(张三，张小一)，(张三，张小二)，(张小一，张小二)，（李四，李小一）
括号内的两个人名都具有血缘关系。显然这个表就是A×A中的一个子集。所以说，一个集合上的某个关系，就是这个集合与本身的笛卡尔积中的一个子集。最广泛的那种关系就是笛卡尔积的全体（就是笛卡尔积本身），而最狭窄的关系就是一个配对的都没有（也就是空集）。
而我们也知道，集合上的映射也是集合与自身的笛卡尔积中的某个子集，说到底，映射就是一张对应表，这张对应表是一张更大的表格的一部分，那个更大的表格就是笛卡尔积。
所以说，映射和关系在本质上是一回事，映射就是“对应到单个的关系”。
关于上下界、上下确界、极大小元、最大小元的问题，俺这里举个例子：
对于一个实数集R来说，我们可以找到一个全序关系，即大小关系。所有实数都可以按照大小关系来排序。
现在考虑R×R（实数集与自身的笛卡尔积）这个集合，其每一个元素都是一对实数(x1,y1)，这个形式看上去很像坐标，其实他们就是一回事。那么对于R×R这个集合中的元素来说，我也可以设置一个序关系。比如设置为：
设两个元素E1(x1,y1)和E2(x2,y2)，当x2>=x1 且y2>=y1 的时候，有E2>=E1。
这个序关系是半序，不是全序，因为对于(2,1)和(1,2)这两个元素，不存在这样的序关系。
现在给出一个R×R的子集S为：{(0,0)，(1,1)，(2,2)，(0,3)}。于是在这个子集中，(0,0)是最小元，因为其他三个元素都满足x2>=x1和y2>=y1这个条件。但这个子集S中没有最大元，只有两个极大元。上下界、上下确界的直观显示见下图：
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集论几何学定理：一个球变成两个球
2013-01-31 02:55 488人阅读 评论(2) 收藏 举报
初看上去，这个定理确实荒唐，一个球体怎么会变成两个球体？这岂不是把一个西瓜变成了两个西瓜？实际上，这是一条数学定理，请不要少见多怪。
请看下图所示：
这条几何学定理叫巴拿赫-塔尔斯基（BanachTarski）定理，是1924年发表的。Tarski就是无穷小微积分作者J.Keisler的博士论文指导老师。
该定理是说，可以将一个刚性球体剖分为许多小块，使这些小块在空间中发生旋转（Rotation）与位移(Translation)，而保持体积、形状不变，然后可以拼装出两个体积大小完全相同的刚性球。完全类似地，两个球变4个球，......如上图所示。这岂不怪栽？
1904年，ErnstZermelo为证明”良序定理“（Well orderingtheorem）把选择公理引入数学。实际上，良序定理等价于选择公理。自然数就是良集合。由此可见，微积分离不开选择公理。回顾历史，在1908年，Zermelo首先创立了公理化集合论，直到1922年，经过AbrahamFraenkel的补充，形成了公理化集合论的公理系统ZF，后来加入选择公理，最终成为正式的集合论ZFC公理系统，由此建立起整个现代数学的大厦。
实际上，巴拿赫-塔尔斯基定理是选择公理的自然推论。也就是说，将刚性球剖分为无数的碎片，形状怪异，不可测度，然后，利用选择公理AC（AxiomofChoice)将其拼装成两个同样的刚性球。简单地说，选择公理保证：在一个集合族里面，从各个集合中各选取一个元素，这些元素可以构成一个新的集合。
在数学上，连续统假设CH，不真也不假，而选择公理AC，既是真的，又是假的（因为AC能够推出一个球变成两个球的怪论）。有人说，我们放弃选择公理AC行不行？不行，放弃了选择公理AC，数学将变得更加奇怪。数学存在这种毛病，大家见怪不怪也。
上述巴拿赫-塔尔斯基定理还可以推出更奇怪的结论：一颗豌豆可以变成硕大无比的太阳。现代数学的这个毛病，我们不要当众宣传，免得让数学家们丢面子。在这里，我只是悄悄地说话，而不是大声地嚷嚷。谈到这里，在同学面前，我有点不好意思了。
说明：A.Robinson的非标准分析（NSA）就是在ZFC大树上发出的新树枝，J.Keisler的无穷小微积分是更细小的嫩枝丫。我们想把中国的微积分教育移植到ZFC大道上，溯本清源，使其名正言顺。
------------------------------------------------------------------公理化集合论是对康托尔集合论的继承与发展
集合论的公理系统有许多等价的表述方式。为简洁起见，我们采用一阶逻辑符号语言来表述，即采用1980年Kunen提出的模式：
A1外延公理:?x?y?z(z∈x?z∈y)?x=y A2基础公理：?x[?a(a∈x)??y(y∈x∧┑?z(z∈y∧z∈x))] A3分离公理：?z?ω1?ω2?ωn?y?x[x∈y?(x∈z∧φ)] A4配对公理：?x?y?z(x∈z∧y∈z) A5并集公理：?F?A?Y?x[(x∈Y∧Y∈F)? x∈A]? A6替代公理： ?A?ω1?ω2?ωn[?x(x∈A??!yφ)??B?x(x∈A??y(y∈B∧φ))] A7无穷公理：?X[?∈X∧?y(y∈X?S(y)∈X)] A8幂集公理：?x?y?z[z?x ? x∈y] A9良序定理：?X?R（Rwell-orders X)良序定理等价与选择公理AC。
以上就是ZFC公理系统的一阶逻辑的表述方式。初看起来，一头雾水，不知所云。但是，仔细一想，也不是什么深不可测的事情。A3分离公理，其中φ表示含有变元ω1、ω2、、ωn的任意公式。A6替代公理，符号“?!y”存在唯一的y。A7无穷公理，其中S（y)=y?{y}，是一种缩写方式。符号“∧”是逻辑连接词“and”的意思。
设想我们在思考微积分学问题，严格讲来，思考的每一步骤都离不开以上9条ZFC公理，只是我们自己心中不知而已。在此，我们顺便举一例如下：考虑无限命题集合：0<ε<1/1,0<ε<1/2,0<ε<1/3,......,0<ε<1/n,......
不难看出，对于前n个命题，存在一个符号εn，满足这n个命题，这个符号εn只要取值很小即可。根据哥德尔紧致性定理，将无限命题串
0<ε<1/1,0<ε<1/2,0<ε<1/3,......,0<ε<1/n,......
加入ZFC公理系统，也必将有新模型存在。也就是说，存在一个符号ε满足0<ε<1/1,0<ε<1/2,0<ε<1/3,......,0<ε<1/n,......
容易看出，这个符号ε就是所谓的”无穷小“。A.Robinson的非标准分析就是由此开始的。J.Keisler的无穷小微积分只不过是跟在A.Robinson后面小跑而已。
总之，ZFC公理化集合论是对50年前康托尔集合论的继承与发展。没有ZFC系统也就不会有非标准分析（NSA）的出现。
说明：紧致性定理的意思是，命题集S有模型，充分必要条件是，命题集S的任意有限子集合有模型。从紧致性定理出发，存在无穷小是很自然的事情。
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集合论的未来
Saharon Shelah
(译注:SaharonShelah（1945——），以色列数学家，2001年Wolf数学奖得主，1986年伯克利ICM世界数学家大会1小时报告者，是当代数学基础领域的领导者，这篇文章的原文请见：http://shelah.logic.at/E16/E16.html)
前提简介:
HaimJudah请我做关于集合论的未来的演讲，因为新的千僖年就要到来了，就讲讲下一个千年的集合论吧。但是我们马上就调整到讲下一个世纪的集合论，后来我想我最好讲下一个十年的集合论，但是我怀疑我将会讲下一年我想证明的定理和解决的问题，或者更糟糕的会讲在过去的一年里或20年里我所做的工作，看来我不是特别适合做这个演讲，因为我总是喜欢证明定理而不是做这样话题的演讲或文章，那我为什么要在这个演讲上做一次值得怀疑的努力呢？好，原因在这里：在我有道义上的义务帮助HaimJudah组织这次会议和会议文集的前提下，在我不能让朋友失望的前提下，给我一个选择：要么安排与会者的宿舍，写罗嗦的文告，要么做这样一个有可能愚弄我自己的关于集合论的未来的演讲，毫无疑问我选择后者。
Saharon Shelah
耶路撒冷希伯莱大学数学研究所
拉特格斯大学数学系
我们现在讨论一些相关的感兴趣的话题，人们对这些话题的观点是不同的，对于我，下文表中感叹号!的个数代表它推动我的工作的程度
话题 A: 对集合论兴趣的来源
1. 数学基础/对哲学的应用 !
2. 对数学的应用 !!!
3. 历史原因 !!!
4. 内在的发展 !!!!
5. 美感 !!!!!!!!!
6. 证明的乐趣 !!!!!
7. 一般化 !!!!!!
8. 游戏娱乐 [加上流行的规则] !!!
我们也可以用这些话题对当前集合论的工作和学者评价分类，所以下面我们将重点强调它们的差异。在很大程度上我被吸引到数学然后是数理逻辑中来是因为它们的一般化，我以为我这种一般化观点是正确的；看来我似乎错了。我感到例子经常会把你搞糊涂：特殊的性质只是陷阱因为它们在普通的情况下不成立，注意“一般化”我是指我宁愿以一般的一阶完全理论为研究对象，而不是有限Morley秩的单群，但我的信条不是"不要只见树木，不见森林“，处理每个问题都要根据它的特性，找到你自己的领域对其他领域的应用意味着展示一些其他人会感兴趣的东西；但是给你一个问题，为什么不做到最好，把它做最大的推广呢，当然，如果定理已经被证明，而额外的推广是平凡的，那也是没意思的。
从另一个角度来看，我的很多同行，包括一些集合论领域里最优秀的大脑，对他们自己领域的自卑态度让我感到吃惊，他们很多在面对数学家时感到自卑，似乎这里有数学家，这里有逻辑学家，它们是不相干的领域，他们认为数学家是真正工作在更深，更难，更丰富，更有意义的领域，所以我们数理逻辑学家必须通过找到”数理逻辑“对”数学“的应用来证明我们的存在。这导致对数学的应用，逻辑学家做的大量工作，就像AbrahamRobinson学派所做的那样。现在我喜欢在很多数学领域证明定理，只要我能做到，但是我不喜欢这种数理逻辑领域里的的卑屈态度.
很多其他人在发挥集合论对数学基础和哲学的作用做了很多工作，对此我也没有异议，但是有疑意。我的感受和很多作家类似：他们了解批评家对文化生活的作用，但认为墨守批评家的思想只会导致枯燥的作品，而这些思想本身会因为它们的内在美永远散发光芒。还有人为集合论”美好旧时时光“的失去而抱怨，那时证明由想法组成而不像现在这样具有技术性，大体来说，我不是”美好旧时时光“的支持者，因为那时忽视你技术性的能力，而技术性却是我的旗帜，很多次技术不是实现想法的例行事务，而是为组织，想法等等证明中的所有环节工作。这些技术是相当困难的，往往也包含有重要的新思想。我的感受，用夸张的方式来说，就是集合论的美感是永恒的，而它的哲学价值却受潮流引导.并且我感到这些抱怨者的话是相互矛盾的，比如他们有的说数理逻辑现在比以前更数学化了，有的说数理逻辑处理的事情是有意义的，顺便说一下，这些矛盾的观点在实践中却是不矛盾的，很多人支持当中不止一种观点。
关于集合论美感，我是指在一个结构中，定义，定理，证明和谐的占有位置的美感。但是复杂的证明我也不怕。当我是一个本科生的时候，在Birkhoff-Maclane的书里，我发现Galois理论很漂亮，后来我发现Morley理论和它的证明很漂亮。厌烦的读者可能会大怒：”美感？你可以在自己的脏乱中找到美感的痕迹？“，我只能说各有各的爱好，我的即是如此。
话题 B: 集合论的框架
1.ZFC（译注：Zemelo-Frankel的8条公理＋选择公理）!!!!!!!2. 力迫法 !!!!3. 内模型 !!!4. 大基数!!!5. ZF+依赖选择公理+ 一些形式的决定性公理!
这是一个合理但有交叉的划分，无论如何，我们都是在ZFC的框架内证明定理,从ZFC框架的支持者的观点来看，证明定理意味着在ZFC框架内证明它，其它的框架是辅助的，对此，我相当认同。力迫法告诉我们什么时候不能证明一个定理，大基数用来做协调性证明，运气好时大基数也能排列成线形序比较大小，最后，内模型用来表明大基数是必需的，或者得到更好的等价性的结果。我的感受是除了像协调性的结果外，ZFC框架已经涵盖了我们的直觉范围，所以一个证明就是指ZFC框架下的一个证明，这当然是一个认为ZFC框架合理的强有力的证据.强化的力迫法本质上告诉我们所有的全体集合域都是同样正当的，因此我们应该研究有特殊的代表性的全体集合域，比如可构成集L就没有代表性，力迫法表明在ZFC框架下证明定理或假设广义连续统假设成立就是无所谓的事，这是力迫法很强的结论，但是我怀疑这种对力迫法的观点会有人支持。从折衷的观点看，力迫法框架和ZFC框架是互补的，一种框架给出另一种框架内结果的否定，所以你对一种框架感兴趣，你对另一种框架也会感兴趣，事实上，我被迫严肃的处理力迫法是我想证明：在解决阿贝尔群基数的Whitehead问题中，我用阿列夫1势集合的每个稳定子集上的diamond定理是正确的，因为连续统假设不够强（从我的感受来说，文[Sh64]; [BD]中的力迫法太弱了）。
J. Stern埋怨我，就在他全身心投入到力迫法前的两年，仔细向他解释为什么ZFC框架下的证明是最好的，为什么我喜欢ZFC框架下的证明而不是独立性结果。我仍然认为ZFC框架下一个干脆的答案是最好的，即使一个证明独立性结果的新技巧可能更有趣。对于我，Cohen的力迫法比连续统假设的一个证明要有趣得多，因为Cohen给了我们一个一般化的方法——力迫法。
如果你对ZFC框架的兴趣是认真严肃的，你应该把力气放在下面：
问题：在ZFC框架下给出构造性的证明
我们现在知道如果可构成公理成立，在ZFC框架下更容易得出构造性的证明。这点是不错的，如果你想表明某个定理不能被证明的话，你只要在某个全体集合域下证明这一点就可以了。例如在某基数真类存在的条件下，在文[GuSh151]中证明线性序的一阶理论里可以解释二阶逻辑，现在来看这个条件的限制是很弱的，把这么弱的限制条件去掉有多大的意义呢？我已经在这样的问题上做了相当多的工作，见文[Sh300, III], [Sh:e] 和 [Sh284b]。当然，在ZFC框架下不能得到构造性的证明的话，在某个全体集合域下得到构造性的证明是很有意义的。
早些时候，尤其是Cohen的工作以前，尤其是当没有广义连续统假设我们看来不能得出任何结论的时候，我们曾经考虑把广义连续统假设采纳作为一条公理，不是因为我们对广义连续统假设的信心，而是因为我们对证明定理的愿望，我们才做这样的考虑，现在我认为这种考虑没有那么认真了。人们有时说我们应该”相信“或”采纳“可构成性公理V=L，我个人的意见是强烈反对这种做法，因为可构成集L是一个非常细小不具有代表性的案例，采纳它会损失很多有趣的定理，下文我们将会回到这一点，无论如何我都不会认为有人会认真对待这种做法。不管传闻如何，Jensen应该不会”相信“可构成性公理V=L，虽然这确实是他的工作的个人优势，他认为在可构成性公理V=L下的证明显然比协调性的结果意义更大，对此我同意，但是和马丁公理MA下的证明比起来呢？和sharp不存在下的证明比起来呢？？和大基数下的证明比起来呢？？？下面的表会告诉我们一些事情（范围0－100的数字是凭我的印象得出的代表的心目中的价值）
Jensen Magidor 我自己
协调性 40 40 30
在可构成性公理V=L下 65 50 35
在大基数下 50 60 40
在ZFC下 100 100 100
我认为对可构成集L的研究是ZFC框架下工作的一个很好的灵感来源，可构成集L是一个处在第二极端位置的个例，就像diamond定理和square定理的个例一样，举例来说，从广义连续统假设的个例可以证明diamond定理，学习了Jensen的覆盖引理后，我想根据sharp是否存在，通过dichotomy或其他的性质证明组合性的定理是件奇妙的事（见下文话题C），这点在文[Sh 71]有暗示，在文[Sh 111]、[ShSt419]中实现，但是迄今为止我的这些工作没有发挥特别的影响力，从ZFC框架的角度来看对内模型的理论形成了很高的期望，但是我最近了解到，Jensen有更高的期望：找到一些不存在sharp的内模型，从这些内模型我们可以得到集合论的终极理论，通过两步可以理解集合论的一切——首先分析内模型，然后把真正的集合论简化到内模型，看起来很好，但我不相信这样行的通。
从大基数的角度来看，大基数的存在性的陈述是“半公理”的，大基数的支持者可能会说：看看累积的层次是怎样形成的，我们为什么要在得到了所有继承有限集后在可数阶段停下来呢？我们也不该停在Zermelo集合论的阶段，停在第OMEGA个基数的阶段，所以我们为什么要在第一个不可达基数，第一个马洛基数，第一个弱紧致基数，第一个可测基数的地方停下来？我们仍在继续寻找正确的公理，它们对集合甚至实数有很深的影响，这些公理是让人迷惑的，至少这些半公理是这样。
一个非常有趣的 现象，这些大基数公理，比如那些自然出现的，是线性排序的，这证明它们是自然的，虽然我们从各种组合变形法则，从各种简单陈述的协调性得到这些大基数公理，但从某种范围看来所有这些自然的法则和陈述和一些大基数是等价协调的的，所有这些证明了它们的自然性。这样就提出了一个问题：
问题：是否有定理可以解释我们想象的这些性质是比我们已经理解的性质更加一致？
直觉告诉我，除了一些人造的全体集合域外，幂集公理和置换公理像选择公理一样是成立的，然而直觉却没有告诉我多少关于不可达基数存在性的信息，根据我的经验，数学很好但没有集合论背景的人非正式的提到ZFC框架的时候是接受这个框架的。包括选择公理，但不包括大基数。你可以用从一些复杂的域到它自身映射的函数的集合组成的类，承认笛卡儿集的非空性，没有人会注意这些，没有人会为一个可数迭代形成幂集的算子感到不安，因此大基数的存在性是一个很自然也很有趣的陈述，并且大基数上的定理作为推论也很引人注目，虽然定理本身并不如此，所以我对用比ZFC框架更少的条件证明大基数上的理不那么感兴趣。对于我上面的意见足以使我把大基数放在比内模型更高的位置，完全认可大基数在协调性证明中的作用，并且把大基数和决定性公理AD周围的观点陈述做比较，比如：从“ZFC+超紧致基数”的协调性得到的协调性证明，怎么把条件的协调性小心的弱化，而结果却没有实质性的变化？我认为这是可行的。比如，从”ZF+依赖选择公理+决定性公理+正则性“开始怎样？不，对于我它只是一个推论，而Woodin或多或少持有和我相反的观点。既然我自己的直觉没有超出ZFC框架或ZFC＋大基数协调性框架，我认为这些定理都是大基数非常有趣的推论。
可能下文的类比可以解释我的观点，我们用标准的美国公民做类比，因为大家都熟悉，因此一个典型的集合论全体集合域和典型的美国人约翰史密斯先生对应，我的典型的全体集合域是很有趣的，它有广泛的区间在它里面广义连续统假设成立，但其他的定理却严重冲突，例子很多，比如——很多基数的Souslin树是存在的，很多基数上的每个Aronszajn树是special的，很多可测基数和一个边缘个例的非超紧致的巨基数是存在的，这些定理和约翰史密斯先生的事一样合理：在纽约北部长大，在加利福利亚接收高等教育，在大学的第三年肆业，住在中西部的郊区，大部分英国撒克逊血统，兼有少些爱尔兰、意大利、西班牙、黑人血统，和妻子分居有2.4个小孩。“得了，你怎么能没有连续统假设？你不能有的地方说对有的地方又说错！”，是的，但是约翰史密斯先生也不能有2.4个小孩，连续统假设和2.4个小孩一样不自然。虚构的美国标准公民约翰史密斯的情况和典型的全体集合域是很匹配的。受到这种类比的启发，可构成集L像是3K党章程某个章节的标题——一个值得研究的个例，但是可能不具有代表性。你也许会问：”这是否意味着你是个形式主义者而不是以前暗示的那样是个理想主义者？“，不，我是一个集合世界里的虔诚的理想主义者，但是我不能放弃对独立性现象的研究。
对于决定性公理，我们在下文话题C讨论：
话题 C
1. 组合的, 语义的 !!!!!
2. 语法的 !
在我看来，对n阶存在量词定义的实数集非常感兴趣的决定性公理学派完全站在语法这一面，根据洛杉矶学派（译注：加州大学洛杉矶分校UCLA,加州理工学院CALTECH一批活跃的集合论学家，有Martin,Kechris等人），决定性公理加上依赖选择公理在实数集的可构成集合里确实是正确的，当真实的全体集合域用符合直觉的方式满足这条解决所有大问题的漂亮的公理的时候，我们为什么还要在如此弱的ZFC框架下证明定理呢？好，我不是对问题的语法方面感兴趣，但是严肃的来说，我同意决定性公理是一条漂亮的公理，在力迫法中有一席之地，并且从大基数可以推出它在”测度为正“的全体集合域集合上成立，但也仅此而已。
问题：是否有有趣的适合描述集合论的全体集合域？
我认为可构成集L是一个，K也是一个，但是洛杉矶学派认为这些答案是错的，没有管它们，当然，争论不会平息，但是给出这个问题具体的带有启发性的答案却是有趣且可行的。自然我会去考虑其他回答这个问题的全体集合域。注意，精细结构（finestructure）也是语法的，它的不少推论却不是语法的，因此：
问题：在应用中需要多大的语法成分？比如可构成集L中的组合性质需要精细结构吗？
对Jensen而言，精细结构是主要要点，diamond定理和square定理只是副产品，也许精细结构最容易向忽视它的人证明它的价值。就我个人而言，我宁愿不用精细结构去得到精细结构的这些推论，但不是喜欢去找另外的所谓纯粹证明。问题是，当我们想走得更远，哪一条道路是更好的？当然，对于语法性的陈述，你需要精细结构。
问题：这些组合性质是否是彻底的？比如，足以得出可构成集L里的组合性推论。
当然不是，在这个方向仍然可能会有正面的结果。
问题：真理会处在下面两个极端情况之间的什么位置？
1.可构成集L中的每个组合性的陈述都是可判定的。
2.我们应该有一种类似力迫法的技术，在ZFC＋可构成公理框架下或皮亚诺算术等框架下，来得到像孪生素数猜想之类问题的独立性的结果。
这两种情况我都很喜欢，但我这方面知识却不多，组合意味的不是语法而是语义，组合会令协调性的强度减弱，即使它的变形版本也是如此。
话题 D：感兴趣的集合论对象1. 自然数 !2. 实数 !3. 实数集 !!!!!4. 特殊集合 !!!!!!!5. 大基数 !!!
我对自然数也有理想化的强烈兴趣，但不是作为一个集合论学家。我将在话题D.2(实数)讨论关于射影集的问题，在话题D.3(实数集)讨论关于连续统基数不变量的问题，在话题D.4(特殊集合)讨论关于匈牙利学派一般划分关系和基数算术法则，在话题D.5(大基数)讨论大基数的划分关系，对于模型论，我将在话题D.1(自然数)讨论一些逻辑结构上的句子上的0-1律，在话题D.3(实数集)讨论有理数可构成集等的阿列夫1势模型的研究，在话题D.4(特殊集合)讨论模型分类理论，在话题D.5(大基数)讨论某些框架下的语句的Los问题，在话题D.2(实数)讨论波莱尔线性序和波莱尔点。如果你和我一样对这次会议的主题实数集非常感兴趣，那么下面的问题是核心的：
问题：如果连续统的势等于阿列夫3会得到什么结果？大于等于阿列夫3会得到什么结果？
根据有限支持迭代，所有大于阿列夫1的正则基数都是相同的大小。而可数支持迭代只对连续统势小于等于阿列夫2的情况有用，根据我们这方面的工作，真力迫(properforcing)的保持性（见[Sh:b, III]）和其他的性质（见[Sh:b,VI]）会加深连续统势等于阿列夫2的个例的多样性，我们有连续统假设的很多推论、从连续统势小于等于阿列夫2证明独立性结果的合理方法、还有不少的定理，但是对于连续统势等于阿列夫3我们还知之甚少，更确切的说，可数链条件力迫的有限支持迭代告诉了我们很多连续统势的信息，但连续统势等于阿列夫1和阿列夫2情况下的有利结果令我们不思进取。
L.Harrington曾经在多年以前问我：你知道了所有那些独立性结果有什么好处呢？我的答案是：挑选可能存在的定理——当把所有不成立的关系扔掉后，你就没有多少相互独立的问题了，垃圾被扔掉了，剩下的当中你可以找到金子，这是一个独立性结果很重大的意义。这在一个精彩的领域：基数算术已经实现，而在Cohen和 Easton的工作以前，谁会考虑第OMEGA1个基数的幂的势是多少？现在考虑连续统的基数不变量的问题，ZFC框架内可以证明这些不变量之间可能存在关系，当连续统的势极端时这些关系变得平凡，就像一个量总等于其它的两个量中的一个一样，而处理这些关系，当前的独立性结果方法太弱。
如果你对D.4特殊集合感兴趣，那么下面的问题看来是重要的：
问题：基数算术的法则是什么？
目前我对这个问题相当投入（见专著[Sh:g]），所以我目前的看法可能没有平常的时候那么客观，但这个方向是集合论传统的中心课题。策梅洛的良序公理是说每个基数是一个阿列夫，哥德尔的可构成集L表明连续统假设可以成立，Cohen发现的力迫法表明连续统假设也可以不成立，Jensen的覆盖引理用来回答单基数问题。
注意有时观点不同的各方只是莫比乌斯带的两面：也就是我们没有理解不同的观点只是表达同样的事物的不同途径。比如专著[Sh:g]表明从连续统的势下面看事情并不会使基数算术多余而削弱基数算术的影响力。相反的，甚至在布尔代数领域的人和非连通紧致拓扑空间拓扑领域的人还有这种不同的观点：你是作为一个布尔代数学家对自由集感兴趣还是作为一个拓扑学家对独立集感兴趣？
未来——读者可能会提醒我——集合论的未来会是什么呢？我生性乐观，证明定理在我看来是相当的满足，所以我一点也不对集合论的未来感到悲观。回首这过去的100年，集合论古老的问题总是被深邃的答案所阐明，间歇的黑暗总是被新思想的出现所征服，集合论的一些方向需要大量的背景知识，而另外的方向需要的就很少，集合论这门古老的学科风采依旧。
让我们重新思考这篇演讲的目的，首先，不想被批评为”个人偏见“，”意识形态偏见“，”斯大林主义“，”王婆卖瓜自卖自夸“，我声明这里给出的只是我个人观点。我可能是愚蠢的，但是要证明我是错的也不容易，无论如何我有20世纪的历史趋势支持我，这些观点已经存在了，不是我的原创，事实上我假定认为每个人想的和我是一样的，一些事表明我在这里表达的观点得到了不少的赞同，他们不会去把这些观点写下来，所以在集合论的文化里是没有他们的声音的，比如，在我的口头演讲后，Gitik说他的观点和我是一样的，除了他还要再想想约翰史密斯先生的类比外。
第二，我的这些观点本身实际上是对我所了解的数理逻辑来说的，我递归论的知识不多，证明论的知识更少，所以我谈的这些观点更多是针对模型论和集合论而言的。
第三，既然你心里已经知道什么是重要的，什么是好的数学品味这些了，那你为什么要读我这篇演讲？一个可能的答案就是：你对我为什么要做这个问题，我的观点是什么，还有我和我的同行的一些事感兴趣。
一个职业的哲学家会说把一致放在优先的位置，但是理论和实践总是有距离，大家都不清楚一致怎样和数学家的工作联系起来，洛克的书不是邱吉尔放弃詹姆斯二世的最好解释，同样卢梭的书也不是罗伯斯庇尔把丹东送上断头台的原因。因此读者可能会问，一致怎样和作者自己的工作联系起来呢？我认为答案就是历史原因，因为我们要有一些客观的衡量标准，我认为好的问题对于数学的发展通常是至关重要的。很大程度上新一代数学家的职责就是解决前辈们的问题。回想当年我是在努力解决Keisler和Morley的问题时发展模型分类理论的，问题是首先启动我的研究的，在很长的时间里我对某种饱和模型的结构/非结构定理不满意，因为它处理我引入的一类结构，看来像行骗，引入一类结构然后解决这类结构里的问题，这也是我为什么要为持怀疑态度的Thomas写专著[Sh:c]第14章的原因。虽然我一直认为主缝隙定理（themain gaptheorem）是主要要点，但我想我也应该解决Morley猜想，因为主缝隙是我自己的猜想，我不想最后我像一个国王，首先把剑射出去，然后以剑射中的地方为靶心。尽管如此，主缝隙定理仍是我的专著[Sh:c]的主定理。
我怀疑我有强调集合论游戏和竞争价值的坏名声，我不是指以练习为目的的游戏，事实上，我对为了练习忽视已经存在的证明，而去证明已经证明了的定理是不以为然的。因为我喜欢搞数学，所以我认为解决一个问题比争论它可能的意义更愉快。空虚感使我乐意解决仅仅是别人认为困难或重要的问题，即使我知道没人会注意我这方面的工作，甚至在某些方面对我有害，我一般也不会拒绝这种诱惑，比如，``Solovay不可达性”的工作的开始完全是游戏：我很少听说过它，然后在1978年1月，在伯克利，HarveyFriedman告诉我：“你如果解决了它，你得到的回报不会让你失望”，HarveyFriedman的猜测是正确的，说老实话我那时对随机实数一无所知。HarveyFriedman向我保证说它带有Baire性质的版本和它是一样的，通过仔细研读会发现这也是对的，这就是要我在不带选择公理的全体集合域和3阶存在量词定义的实数集中作出研究对象的选择，我选择了后者。这个问题我做了几次直到它的解决。这项工作改善了我对描述集合论的理解，我的关于等价类的个数的工作(见文[HrSh152], [Sh 202],)，和我的关于“如果大基数存在，那么每个集合都是勒贝格可测”（见文[ShWd241]）的工作也是如此，虽然在某种程度上这些带有骗局色彩：这些工作是在力迫法或者模型论的框架下而不是真正的描述集合论的框架下。根据行胜于言的格言，带着好奇心我看了Fuchs关于阿贝尔群的书，我这样做不仅是因为阿贝尔群不需要很多背景知识，看起来像有趣的数学，也是因为我想找到模型分类理论的应用。而当应用找到的时候，大部分却是集合论的应用，这巩固了我如下的信念：
通常你应该从问题开始而不是从方法开始。
要是我的学生MatiRubin没有放弃他，通过特殊个例布尔代数上的工作的解释能力，来对一阶理论饱和模型的自同构群分类的任务，我就不会被牵引到文[RuSh84]中的工作和对布尔代数的自同构的量词的长期的研究。没有Cherlin,可数模型的非同构超集就不会被我发现（见文[Sh 326]和文[Sh 405]），Fuchs的书和很多优秀友好的阿贝尔群专家鼓励我写了很多关于阿贝尔群的文章，HaimJudah引导我做了很多关于实数的工作，与此相反的是如果YuriGurevich没有离开Beer-Sheva，没有离开数学，我们可能又有关于一元逻辑和分叉理论另外的一两卷书。关于集合论游戏，我还有些要说，请不要嘲笑我，我有一点“邻居的草坪更绿”似的综合症，凭感觉你“知道”邻居的草坪更绿，我知道你不知道，对此我宁愿去弄个究竟，一些自大的邻居也强化了我的愿望，举例来说因此我也带着好奇心在描述集合论领域里一展身手，读者也许会问：我有多喜欢邻居的草坪呢？通常邻居的草坪不仅很绿，而且有趣，但也仅此而已。
你有新的观点对你的旧问题当然有好处，一个侧面的问题会推动你认为重要的问题的例子就是：一个关于布尔代数的基数不变量的问题启动了我目前关于基数算术的系列工作(见文[Sh345].)
从我关于Morley猜想的工作开始，只要我感到课题本身重要或喜欢这些课题，我就会多年专注于这些课题而很少旁骛。事实上我的大部分时间都花在这样的课题上，结果往往是一本专著，因此我的专著是和我的计划对应起来的，不是随意证明一些定理的偶然性。对于模型分类理论，专著[Sh:a]和专著[Sh:c]在我看来是彻底的，从一般化的程度和遵循ZFC框架来说，都是如此。在专著[Sh:b]中，一般化的程度是可以的，但是它是不在ZFC框架下，上文我们已经解释了原因。专著[Sh:g]在遵循ZFC框架方面是做得很好的，但是它的一般化不够。也许随着年龄的增长，我的数学能力会退化，而这看来是相当正常的。
曾经有人告诉我太多的工作必然导致糟糕的数学品味，但是我从来不给一个定理一个负面的评价。此外我不介意某些工作是否适合我因为它永远都会适合我的观点，因为我虔诚的认为：
论点：永远不要让意识形态或者所谓的品味阻止你证明一个好的定理。
因为一个定理的美感不是由所有以前对它的了解来定义的，它更像是艺术品的美感一样，也就是虽然我们目前的知识可以启发我们为什么我们喜欢它，为什么它重要等等，但是我们对美感没有一个精确的定义。蒙娜丽莎是一件伟大的艺术品，但从未被证明是如此，不同时代的评论家对它有不同的观点，但是至今我们仍然欣赏它。
参考文献
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