| 十个手指，手掌面向自己，从左往右数数。 十个手指，手掌面向自己，从左往右数数。 1． 个位比十位大 1 ×9 ．口诀 个位是几弯回几，弯指左边是百位， 个位是几弯回几，弯指左边是百位， 为十位，弯指右边是个位。 弯指读 0为十位，弯指右边是个位。 2． 个位比十位大 ×9 ． 口诀 个位是几弯回几，原十位数为百位， 个位是几弯回几，原十位数为百位，左边减去百位数，剩余手指为十位， 左边减去百位数，剩余手指为十位， 弯指作为分界线。弯指右边是个位。 弯指作为分界线。弯指右边是个位。3． 个位与十位相同 ×9 ． 个位与十位相同× 口诀 个位是几弯回几，弯指左边是百位， 个位是几弯回几，弯指左边是百位，为十位，弯指右边是个位。 弯指读 9 为十位，弯指右边是个位。 34×9=306 78×9=702 89×9=801 45×9=40538×9=3.42 13×9=117 25×9=225 18×9=162 33×9=297 44×9=396 88×9=792 4．个位比十位小 ×9 ． 个位比十位小× 十位减1，写百位，原个位数写十位，94×9=（9-1）×100+4×10+（100-94）=846 ，写百位，原个位数写十位，与百差几写个位（加补数） 如差几十加十位。 ，如差几十加十位 与百差几写个位（加补数） 如差几十加十位。83×9=（8-1）×100+ 30+17=747 ， 62×9=（6-1）×100+2×10+（100-62）=558 加法加大减差法 前面加数加上后面加数的整数， 前面加数加上后面加数的整数， 减去后面加数与整数的差等于和 减补数） 数的差等于和（减去后面加数与整数的差等于和（减补数） 。 +1 -2 1378+98=1378—100+2=14765768+9897=5768+10000—103 =15665 求只是两个数字位置变换两位数的和 前面加数的十位数加上它的个位数，前面加数的十位数加上它的个位数，乘以 11 等于和 47+74=（4+7）×11=121 68+86=（6+8）×11=15458+85=（5+8）×11=143 一目三行加法 口诀 1 不够 9 的用分段法 直接相加，并要提前虚进 1 直接相加，并要提前虚进2 中间数字和 中间数字和>19 的 弃 19,前边多进 1(中间弃 9) 前边多进 中间弃 3末位数字和 末位数字和>19 的 弃 20,前边多进 1 (末位弃 10) 前边多进 末位弃365427158 +644785963 +742334452 1752547573 1 注意事项： 注意事项： ①中间数字和小于 9用直加法或分段法 分段法 直加法 1+ -19 ① 36 0427158 ② 36 042 9158 64 1785963 64178 9963 +74 2334452 +74 233 9452 174 4547573 174 455 8573 19，②中间数字出现三个 9： 中间弃 19，前边多进 1 ③末位三个 9，>20 ， 20， 末位弃20，前面多进 1 1+ -20 ③ 36042715 9 64178596 9 +74233445 9 174454758 7321-98=223 -1+2 （—100+2） ） 减法 减大加差法 口诀：被减数减去减数的整数,再加上减数的补数等于差再加上减数的补数等于差。 口诀：被减数减去减数的整数 再加上减数的补数等于差。 8135-878=725791321-8987=82334 -1+122 -1+1013 （—1000+122） ） （—10000+1013） ）求只是数字位置颠倒两个两位数的差 口诀：被减数的十位数减去它的个位数， 口诀：被减数的十位数减去它的个位数，乘以 9，等于差。，等于差。 74-47=（7-4）×9=27 （ ） 83-38=（8-3）×9=45 （ ） 92-29=（9-2）×9=63 （） 求只是首尾换位， 求只是首尾换位，中间数相同的两个三位数的差 口诀：被减数的百位数减它的个位数， ，等于差口诀：被减数的百位数减它的个位数，乘以 9（差的中间必须写 9） 等于差。 （ ） 等于差。 ， 936—639=297723—327=396 873—378=495 — — — （9—6）×9=3×9=27 — ） × （7—3）×9=36 — ）（8—3）×9=45 — ） 求互补两个数的差 口诀： 口诀：被减数减去 50，它的差扩大两倍是最终差。 ，它的差扩大两倍是最终差。73—27=（73—50）×2=46 两位互补的数相减， — （ — ） 两位互补的数相减，用 50613—387=（613—500）×2=226 — （ — ） 三位互补的数相减，用 500 三位互补的数相减，8112—1888=（8112—5000）×2=6224 四位互补的数相减，用 5000 四位互补的数相减， — （ — ） 乘法十位相同， 十位相同，个位互补 口诀： 的积， 口诀： 在前面因数的十位数上加个 1，和另一个十位数乘得的积，后写两个个位积，即为所求，和另一个十位数乘得的积 后写两个个位积， 最终积。 最终积。 67×63=（6+1）×6×100+7×3=4221 × （ ） ×× 38 76 81 ×32 ×74 ×89 1216 5624 7209 （十位数没有要添个零） 十位数没有要添个零）规律：十位互补，个位相同。 规律：十位互补，个位相同。 口诀：十位与十位相乘加上其中一个个位数，口诀：十位与十位相乘加上其中一个个位数，个位与个位相乘 76×36=（7×3+6）×100+6×6=2736562=（5×5+6）×100+6×6=3136 × （ × ） × （ × ） × 268×48=（6×4+8）×100+8×8=3264 × （ × ） × 一个数十位与个位互补，一个数十位与个位互补，另一个数十位与个位相同的乘法运算 互补数十位加个 1，和另一数十位乘得积，后写两个个位积，即为所求最终积。，和另一数十位乘得积，后写两个个位积，即为所求最终积。 37×66=（3+1）×6×100+6×7=2442 88888888888× （ ） × × 46×77=(4+1) ×7×100+6×7=3542 37 × × × × 44×28=(2+1)×4+4×8=1232 3288888888856 × × （3+1）×8=32 ） 11 的乘法 高位是几则进几，两两相加挨着写。还写几。 高位是几则进几，两两相加挨着写。相加超 10 前加 1，个位是几还写几。 ，个位是几还写几 231415 11 ×2545565 十位是 1 的乘法 个位相乘写个位， 个位相乘写个位， 13 个位相加写十位， 个位相加写十位， ×12十位相乘写百位， 十位相乘写百位， 156 有进位的加进位。 有进位的加进位。 个位数是 1 的乘法 个位相乘写个位， 31个位相乘写个位， 十位相加写十位， 十位相加写十位， ×21 十位相乘写百位， 十位相乘写百位， 651 有进位的加进位。有进位的加进位。 51 61 ×71 3621 ×81 4941 补充 1. 被乘数和乘数十位数相同，个位数之和不等于 10被乘数和乘数十位数相同， 个位相乘写个位 个位相加再乘一个十位数所得积写十位，十位相乘写百位，有进位的加进位。 写个位，个位相乘写个位，个位相加再乘一个十位数所得积写十位，十位相乘写百位，有进位的加进位。 23 ×25 57 523×25=（2×2）×100+（3+5）×2×10+3×5=575 × （ × ） （ ） × × 2.被乘数和乘数个位数相同，十位数之和不等于 10 被乘数和乘数个位数相同，个位相乘写个位，十位相加再乘一个个位数所得积写十位，十位相乘写百位，有进位的加进位。个位相乘写个位，十位相加再乘一个个位数所得积写十位，十位相乘写百位，有进位的加进位。 23 ×43 98923×43=（2×4）×100+（2+4）×3×10+3×3=989 × （ × ） （ ） × × 3. 被乘数和乘数十位数相差为1，个位数之和等于 10 ， 方法：平方差公式： （A+B） —B）=A2—B2 （A 方法：平方差公式： （ ） （ ）52×48=（50+2） （50— ） （ ） （ —2）=50 —2 =2496 注：①两数差为 2，4，6，8，10的两个数相乘也可用此法 ， ， ， ， 24×28=（26+2） （26— ） （ ） （ —2）=26 —2 =676-4=6722 2 2 2 ②此方法还可以推广到多位数乘法 592×608=（600—8） （600+8）=600 —8=360000—64=359936 （ — ） （ ） — 2 2 3 特殊数字的乘法运算72×15=（72÷2）×(15×2)=36×30=1080 （ ÷ ） × × 15×2→30 × → 25×4→100 × →35×2→70 × → 45×2→90 × → 125×8→1000 × → 366×25=(366÷4)×（25×4）=91.5×100=9150 × ÷ × ） × 612×35=（612÷2）×(35×2)=306×70=21420× （ ÷ ） × × 214×45=(214÷2) ×(45×2)=107×90=9630 × ÷ × ×568×125=(568÷8) ×(125×8)=71×1000=71000 × ÷ × × 38×15=(38÷2)×(15×2)=19×30=570 × ÷ × × 48×25=(48÷4) ×(25×4)=12×100=1200 × ÷ × ×42×35=(42÷2) ×(35×2)=21×70=1470 × ÷ × × 78×45=(78÷2)×(45×2)=39×90=3510 × ÷ × × 856×125=(856÷8) ×(125×8)=107×1000=107000× ÷ × × 任意两位数乘两位数 万能法 三步法： 个位相乘;2.上下个位十位交叉相乘积相加 3.十位相乘 有进位的加进位）1.个位相乘 上下个位十位交叉相乘积相加； 三步法： 个位相乘 上下个位十位交叉相乘积相加； 十位相乘 有进位的加进位） （ 35×52 1820 34 ×52 1768 41 ×35 1435 任意三位数乘两位数 万能法 四步法： 四步法：1.个位数上下相乘，写个位； 个位数上下相乘， 个位数上下相乘 写个位； 2.个位数和十位数交叉相乘，积相加（有进位的加进位）写十位； 个位数和十位数交叉相乘， 加进位）写十位； 个位数和十位数交叉相乘 积相加3.个位数和百位数交叉相乘加上十位数上下相乘，再相加（有进位的 加进位） 个位数和百位数交叉相乘加上十位数上下相乘， 加进位）个位数和百位数交叉相乘加上十位数上下相乘 再相加（ 十位数和百位数交叉相乘， 4.十位数和百位数交叉相乘，写到最高位即可。十位数和百位数交叉相乘 写到最高位即可。 312 438 × 56 × 52 17472 22776 任意三位数乘以三位数的万能法五步法： 五步法： 1.个位数相乘，写个位； 个位数相乘， 个位数相乘 写个位； 2.个位与十位交叉相乘相加，写十位；个位与十位交叉相乘相加， 个位与十位交叉相乘相加 写十位； 3.个位与百位交叉相乘积相加再加上十位与十位相乘，写百位；个位与百位交叉相乘积相加再加上十位与十位相乘， 个位与百位交叉相乘积相加再加上十位与十位相乘 写百位；4.十位与百位交叉相乘积相加，写千位； 十位与百位交叉相乘积相加， 十位与百位交叉相乘积相加 写千位；5.百位与百位交叉相乘，写万位。 百位与百位交叉相乘， 百位与百位交叉相乘 写万位。 4 数位越大越好算 9992=998001数去相乘； 几个 9 数去相乘； 位数减 1 写成 9； ； 9 后写 8 补一位； 补一位； 8 前几个 9，8 后就加几个 0；， ； 最后写个 1； ； 999999992=9999999800000001 数去相乘； 几个 9 数去相乘； 位数减 1 写成9； ； 9 后写 8 补一位； 补一位； 几个 9 数几个 0； ； 末尾只写一个 1；即为乘式最终积。 ；即为乘式最终积。999×587=586413 1.求补数； 求补数； 求补数 999-413（补数）=586 （补数） 999×456=455544× 999-544=455 998×897=895206 × 998-103=895 2（998 的补数）×103=206 （的补数） 3.补数相乘写后边（先求两数各补数，减另一 补数相乘写后边（先求两数各补数， 补数相乘写后边数写前边，补数相乘写后边，是几位数错几位） 。 数写前边，补数相乘写后边，是几位数错几位） 2.交叉相减减补数（减一次）交叉相减减补数（减一次） 交叉相减减补数 数位小的也好算 1062=11236 2072=42849 3072=94249口诀：百位数乘以百位数写高位； 口诀：百位数乘以百位数写高位； 百位数和个位数相乘扩大两倍写中间； 百位数和个位数相乘扩大两倍写中间；个位数乘个位数写后面。 个位数乘个位数写后面。 5 单位数的乘法运算 2 的乘法运算 1234直写倍，1356987×2=2713974 直写倍， 后数大 5 前加 1； ； 单位数除法 除数是 2 的运算 口诀： 折半读得数。口诀： 除 2 折半读得数。 48÷2=24 76÷2=38 ÷ ÷ 5 个为 0， 个 2； 6375696587×2=751393174 ， ； 除数是 3 的运算 7 个为 4，8 个 6；47598×2=95196 ， ；口诀： 9 个为 8 要记牢；算前看后莫忘掉。 要记牢；算前看后莫忘掉。 口诀：除 3 一定要细点算 4÷3=1.333 ÷5÷3=1.666 余 1 余 2 有循环 ÷ 3 的乘法运算 余 1 循环 333，余 2 循环 666 25÷3=8.333 ，÷ 123 数直写倍， 数直写倍， 小数要求留几位， 小数要求留几位，余 1 要舍余 2 进。 29÷3=9.666 ÷ 后大 34前加 1， 1346986×3=4040958 ， 大于 67 要进 2， ， 除数是 4 的运算（循环小数要记准）473968×3=1421904 循环小数要记准） 4 个为 2，5 个 5， 口诀： 有整也有余， ， ，口诀：除 4 有整也有余， 6 个为 8，7 个 1， 余按进率读得数， 5÷4=1.25 ， ， 余按进率读得数， ÷ 8 个为4，9 个 7. 6÷4=1.5 ， 余 1，便是点 25； ， ； ÷ 算前看后别忘掉） 7÷4=1.75 （算前看后别忘掉） 余2，定是点 50； ， ； ÷ 126÷4=31.5 余 3，就是点 75； ， ； ÷ 4 的乘法运算 不需计算便知数。438÷4=109.5 不需计算便知数。 ÷ 1 数 2 数直写倍； 数直写倍； 后大 25 前加 1；365478×4=1461912 ； 除数是 5 的运算 大于 50 要进 2； ； 口诀： 口诀：任何数除以 5，等于这个数 2倍后再 ， 大于 75 要进 3；28798649×4=115194596 ； 偶数各自皆互补； 偶数各自皆互补； 除以10（被除数扩大两倍，小数点向左移动 （被除数扩大两倍， 一位） 奇数各自凑 5 奇； 一位） 。 一定要记住他的进位率。18÷5=（18×2）÷（5×2）=36÷10=3.6 一定要记住他的进位率。 ÷ （ × ） × ） ÷ 368÷5=（368×2）（5×2） ÷ （ × ）÷ × ）=736÷10=73.6 ÷ 5 的乘法运算 任何数乘以 5，等于它的半数加 0. ， 除数是 6的运算 486×5=2430 口诀： 18×5=（18÷2）×（5×2）=9×10=90 口诀： × （ ÷ ） × ） × 除 6得整还有余， 得整还有余， 7÷6=1.166 ÷ 264×5=1320 368×5=1840 × × 余按进率读小数，8÷6=1.333 余按进率读小数， ÷ 7356×5=36780 × 循环； 9÷6=1.5 余 1，小数 166 循环； ， ÷6 的乘法运算 10÷6=1.666 余 2，33 循环数； ， 循环数； ÷ 167 数要进 1； 11÷6=1.833 ； 余3，小数是点 5； ， ； ÷ 循环； 余 4 小数 666 循环； 后大 34 将 2 进； 3768×6=22608 大于 50要进 3； ； 余 5，循环 833； ， ； 要求几位定进舍。 要求几位定进舍。 后大 67 要进 4；671589×6=4029534 ； 834 数要进 5； ； 循环小数要记准；偶数各自皆本身； 循环小数要记准；偶数各自皆本身；奇数和 5 来相比；小于 5 数身减 5； 来相比； ； 循环小数要记准。 循环小数要记准。 6 7 的乘法运算 三位三位比142857---进 1 进 285714—进 2 进 428571—进 3 进 571428—进 4 进 714285—进 5 进857142—进 6 进 125—进 1 进 25---进 2 进 375—进 3 进 5—进 4 进 625—进 5 进75----进 6 进 875—进 7 进 16758×7=117306 365475×7=2558325 除数是 7 的运算 口诀：口诀： 整数需要认真除，余数循环六位数， 整数需要认真除，余数循环六位数， 乘法进率记得准，余几循环进率几 进率几；乘法进率记得准，余几循环进率几； 余 1 是 142857 循环 8÷7=1.142857 ÷ 76÷7=10.857142 ÷搬后位；——285714 循环 余 2 是 14 搬后位；—— 9÷7=1.285714 137÷7=19..571428 ÷ ÷是将头按在尾；——428571 余 3 是将头按在尾；—— 10÷7=1.428571 225÷7=32.142857 ÷ ÷移前位；——571428 余 4 是 57 移前位；—— 11÷7=1.571428 ÷ 是将尾按在首；——714285 余 5是将尾按在首；—— 12÷7=1.714285 ÷ 是分半前后移。——857142 余 6 是分半前后移。——13÷7=1.857142 ÷ 先看小数留几位 决定是舍还是进。 几位， 先看小数留几位，决定是舍还是进。 8 的乘法运算3658×8=29264 47586×8=380688 9 的乘法运算 两位数之间前后比 5477 前小于后照数进；前小于后照数进；365478×9=3289302 ； 前大于后腰减 1； 745632 各数个位皆互补；27159867×9=244438803 各数个位皆互补； 83951243 算到末尾必减 1。 。 除数是 8 的运算 口诀：口诀： 8 除有整还有余， 除有整还有余， 余 1，小数点 125； ， ； 余 1 是.125 9÷8=1.125 ÷ 余 2小数是点 25， ， 余 2 是.25 10÷8=1.25 ÷ 余 3，小数点 375； ， ； 余 3 是.37511÷8=1.375 ÷ 余 4 它是点 5 数， 余 4 是.5 12÷8=1.5 ÷ 余 5，小数点 625； ， ； 余 5是.625 13÷8=1.625 ÷ 余 6 小数是点 75， ， 余 6 是.75 14÷8=1.75 ÷ 余 7，小数点 878；， ； 余 7 是.875 15÷8=1.875 ÷ 8 的余数虽然大， 的余数虽然大， 132÷8=16.5 ÷ 但是都能除尽它。但是都能除尽它。 除数是 9 的运算 口诀： 口诀：任何数除以 9，余几循环几。 ，余几循环几。 去除除不尽； ——111 循环 用9 去除除不尽； 余 1—— —— 82÷9=9.111 ——222 ÷ 余 2—— —— 余几循环就是几； ——333余几循环就是几； 余 3—— —— 83÷9=9.222 ——444 ÷ 余 4—— —— 需看小数留几位； ——555需看小数留几位； 余 5—— —— 58÷9=6.444 ——666 ÷ 余 6—— —— 决定是舍还是进。 ——777决定是舍还是进。 余 7—— —— 64÷9=7.111 ——888 ÷ 余 8—— —— 7 特殊数的除法运算 口诀： 口诀：任何数除以 15，等于它的 2 倍再除 30. ， 任何数除以 25，等于它的 4 倍再除 100. ， 任何数除以 35，等于它的2 倍再除 70 ， 任何数除以 45，等于它的 2 倍再除 90. ， 任何数除以 125，等于它的 8 倍再除 1000 ，375÷15=（375×2）÷（15×2）=750÷30=25 ÷ （ × ） × ） ÷136÷25=（136×4）÷（25×4）=544÷100=5.44 ÷ （ × ） × ） ÷ 250÷35= 250×2）（35×2） =500÷70=7.142857 ÷ （ × ） ÷ × ） ÷350÷45=（350×2）÷（45×2）=700÷90=7.777 ÷ （ × ） × ） ÷ 105÷125= 105×8）（125×8） =840÷1000=0.84 ÷ （ × ） ÷ × ） ÷扩展思维，数学计算可用多种方法，这是另一本书的介绍，有的方法相同，有的方法不同，扩展思维，数学计算可用多种方法，这是另一本书的介绍，有的方法相同，有的方法不同， 认为简单的就可以用，复杂的就放弃。认为简单的就可以用，复杂的就放弃。 数学神算两位数乘法 一． 被乘数和乘数的十位数 相同 个位数 之和等于 10 的两位数乘法；十位数字相同 个位数字之和等于 十位数 相同，个位数 方法： （1）乘数的个位数字与被乘数的个位数 相乘 个位数字相乘 个位数相乘得一数。 （2）被乘数十位数 加 1 的和与乘数的十位数 相乘 被乘数十位数字加 乘数的十位数字相乘 被乘数十位数 乘数的十位数相乘又得一数。 （3）两数相连 两数相连即为所求之积。 两数相连 如：27×23=62127×23=（2+1）×2×100+7×3=600+21=621 74×76=（7+1）×7×100+4×6=5600+24=5624一和二采用以下方法： 一和二采用以下方法：十位： 被乘数×（乘数＋1） 个位： 被乘数×乘数 （两位数） 下同）注：如果个位数字相乘积不满 10，十位数字将用 0 补（下同 。 如果个位数字相乘积不满 十位数字将用 下同 如31×39=（3+1）×3×100+1×9=1200+9=1209 ① 两位数的平方，个位数是 5 的也可用此法 ②35×35=1225 75×75=5625 95×95=9025 ③ 此法也可以推广到多位数。如：498×492=[49×{49+1}]×100+2×8=245016 二． 被乘数的十位数字和个位数字相同乘数的十位数字和个位数字之和等于 10 被乘数的十位数字和个位数字相同， 的两位数乘法。 方法：①乘数的个位数字与被乘数的个位数相乘个位数相乘得一积； 个位数相乘 ②乘数的十位数字加 1 的和与被乘数的十位数相乘又得一积。 乘数的十位数字加 的和与被乘数的十位数相乘8 如：44×28=1232 66×73=4818 33×82=2706 三． 被乘数和乘数的个位数字相同 十位数个位数字相同，十位数 个位数字相同 十位数字之和等于 10 的两位数乘法： 和等于 方法：（1）乘数的个位数与被乘数的个位数字相乘得一数 个位数字相乘得一数。 个位数字相乘得一数（2）乘数的十位数字与被乘数的十位数字相乘之积加上一个个位 十位数字相乘之积加上一个个位数字得一数。十位数字相乘之积加上一个个位十位数相 乘的积＋ 两位数的平方， 的也可用此方法。 注：①两位数的平方，十位数字是 5 的也可用此方法。一个个位 2 数 58 =3364 58×58=（5×5+8）×100+8×8=3364 如：76×36=273647×67=3149 57×57=3249 个 位 数相 乘 得 两 位数 的 积 ②两位数的平方，十位数是 4 的，其方法为 25减去其个位数的补数，后面连上补 两位数的平方 十位数是 减去其个位数的补数 补数自乘的积。如：472=（25-3）×100+32=2200+9=2209 数自乘的积 四． 被乘数和乘数的个位数字相同 十位数个位数字相同，十位数 个位数字相同 十位数字之和不等于 10 的两位数乘法。 和不等于 方法：（1）乘数的个位数字与被乘数的个位数相乘得一积 个位数相乘得一积； 个位数相乘得一积 （2）两十位数字之和与一个位数字相乘得一积；两十位数字之和与一个位数字相乘得一积 两十位数字之和与一个位数字相乘得一积十位数 （3）乘数的十位数与被乘数的十位数相乘得一积十位数相乘得一积： 相乘 十位数相乘得一积 两个不同数字 之和与一个相 同的数字相乘 个位数相 乘得一积， 一位数要 进位如：23×43=989 26×36=936 五． 被乘数和乘数的十位数字相同 个位数字之和不等于 10 的两位数乘法：被乘数和乘数的十位数字相同，个位数 个位数 和不等于 方法： （1）乘数的个位数与被乘数的个位数相乘得一积 个位数相乘得一积。个位数相乘得一积 （2）乘数的个位数字加上被乘数的个位数字之和与 乘数的十位数 相乘得乘数的个位数字加上被乘数的个位数字之和与被乘数的十位数 乘数的个位数字加上被乘数的个位数字之和与 乘数的十位数字相乘得 一积； 一积（3）乘数的十位数与被乘数的十位数相乘 十位数相乘又得一积。 十位数相乘 任意两位数的平方， 注：① 任意两位数的平方，也可用此方法如： 12×12=144 31×31=961 2 6×26=676 六． ②两位数的平方十位是 9的，其方法为：原数减去其补数，后面连上补数自 原数减去其补数， 原数减去其补数 乘的积。 乘的积 如： 922=8464972=9409 七． 被乘数和乘数的十位数字相差为 1，个位数字之和等于 10 的两位数乘法： 十位数字相差为 个位数字之和等于方法：校用两平方差公式： 用两平方差公式： （A— ） 用两平方差公式 （A+B） —B）=A2—B2 （ ） （ — 如：52×48=2496，分解为 (50+2)(50—2)=502—22=2496 注：①个位数字之差为 2，4，6，8，10的两个数相乘也可用此法： ① ， ， ， ， 的两个数相乘也可用此法：24×28=（26-2）×（26+2）=262-22=676-4=672 ②此方法还可以推广到多位数乘法此方法还可以推广到多位数乘法： 此方法还可以推广到多位数乘法 9 592×608=（600-8）（600+8）=6002—82=359936 八． 任意两位数乘法： 任意两位数乘法： 方法： （1）被乘数的十位数与乘数的个位数相乘之积加上被乘数的个位数字与乘数 的十位数相乘之积的和得一数（即交叉相乘积相加×10） 交叉相乘积相加×。 交叉相乘积相加 （2）两个位数字相乘得一数，两十位数字相乘得一数×100。 两十位数字相乘得一数× 两十位数字相乘得一数（3）三位数相加就是所求之积 三位数相加就是所求之积。 三位数相加就是所求之积 如：24×35=22+620=840 两十位数相乘＋进位 （百位） 两数字十位和个 位交叉相乘＋进 位 （十位） 个位数相乘得 一个数字并进 位 （个位）24×35=（2×5+3×4）×10+2×3×100+4×5=220+600+20=840以上各种方法，可应用小数乘法，计算结果按“计数定位法”定出小数点的位 置（多位数乘法也如此） 。 多位数乘法 一． 1.运算中涉及的问题： 运算中涉及的问题： 什么叫补数？ 什么叫补数？ 凑数整十、整百、整千、整万……的数，叫补数。即：两数之和等于10、100、 1000、10000……，它们互为补数。 2. 3. 找补数的方法：前位凑九，末（个）位凑十。补数的特点：某数是几位，补数一定是几位。例如： 98 的补数的 02、9985 的补数是 0015 等。 4. 二． 1.补数乘法的定位：乘数是几位，被乘数的个位向右移几位就是积的个位。 运算方法： 运算方法： 112=121、 1112=12321、111112=1234321……类推。 如果不是 11 相连，可把它们变成 11 相连、分二步计算如：2222×5555=1111×2×1111×5=1234321×10=12343210 2. 任何数乘以11，首尾（末）两位数字不变，中间的数字就是相邻的两数之和： 如：63×111=6993 三． 相连（不管多少位），都在被乘数的首位减去乘数的补数、 如果被乘数是 99 相连（不管多少位） 然后再在所得差的后面把补数昉上。如： （1）99999×99999=9999800001（99999 的补数是 00001） 10 （2） 999×65=96435（65的补数是 35，999—35=964） （3） 999999×726485=726484273515（726485 的补数是273515） （999999—273515=726484） 四． 中间数字是大数相连时， 如果被乘数遇到前 4 后 5中间数字是大数相连时， 其方法为：前 4 本位减补数一半，后 5 本位加补数一半，中间是 9 不动，中间数 字不足 9 的在下位按 0补加补数次数，最后再扩大 10 倍。如：4995×758=3786210 （785 的补数是 242、一半 121） 五．两个乘数都接近数百、数千……的乘法： 两个乘数都接近数百、数千……的乘法： ……的乘法 1、 两乘数都比数百数千数万……小的计算方法：两乘数都比数百数千数万……小的计算方法 ……小的计算方法 ① 一乘数减去另一乘数的补数 一乘数减去另一乘数的补数（接近 100数字的乘以 1，接近 200 数字的乘以 2……） 。 ② 在所得的数后面补一些 0（接近数百的补两个 0，数千的补三个 0……）在所得的数后面补一些 ……） 。 ③ 再加上两个数的补数相乘之积 再加上两个数的补数相乘之积。例：1、987×986=973182（987 的补数是 013、986 的补数是 014）987—014=973000+182=973182987×986=（987—014）×1000+013×014=973000+182=973182 例 2、1968×1972=38808961968×1972=（1968-28）×2×1000+32×28÷=3880000+896=3880896(1968 的 补数是32、1972 的补数是 28) 2. 两个数都比数百、数千……大的 两个数都比数百、数千……大的。 ……大的 其方法： （1）将一乘数的零头与另一乘数相加 接近 100 数的乘 1，接近 200 的乘 将一乘数的零头与另一乘数相加（接近 ， 2…… ……）…… （2） 在所得数的后面补一些 0 同（上） （3） 再加上两个数的零头之积 再加上两个数的零头之积。例：1、112×105=11760 例 2、204×215=43860112×105=（105+12）×1×100+12×5=11700+60=11760204×215=（204+15）×2×100+4×15=43800+60=438603、一个乘数比数百、数千、整万……大而另一个乘数比数百、数千、数万……个乘数比数百、数千、整万……大而另一个乘数比数百、数千、数万…… 个乘数比数百 ……大而另一个乘数比数百 小。 11 其方法： （1）先将较大数的零头与较小数相加， 先将较大数的零头与较小数相加， （接近 100 的数乘以 1，接近 200 的数 乘以 2……）（2） 在所得数的后面补一些 0（接近数百的数补两个零、接近数千的补三个 ） （接近数百的数补两个零、 零……） ……） （3）最后再减去较大数的零头与较小数的补数之积。 ） 最后再减去较大数的零头与较小数的补数之积。 例：①256236（489 的补是 11）524×489=（489×24）×5×100-24×11=256500-264=256236 ②1015×998=10129701015×998=（998+15）×100—15×2=1013000-30=1012970 （按大中小组进行计算 六、任意多位数乘法：按大中小组进行计算） 任意多位数乘法： 按大中小组进行计算） （ 1、2、3 为小数组，4、5、5 为中数组，7、8、9为大数组（一般把数位少的做 作被乘数） 。 其方法为： （1） 凡被乘数遇到 1、2、3 时，其方法为： 是 1：下位减补数一次（或1 倍） 被乘数 是 2：下位减补数二次（或 2 倍） 是 3：下位减补数三次（或 3 倍） 231 - 021 079①在被乘数个位数字 1 的下位减去补数一次（21） ，得 23—079（破 23079 - 063折号前为被乘数，破折号后为乘积，下同） ； 22449 2449 -042 ②在被乘数十位 3 的下位减去补数三次（21×2=63）得2-2449； 18249 ③在被乘数百位 2 的下位减去补数二次（21×4=42）得 18249（乘 算序： 积） 。例如：231×79（79 的补数是 21） 其方法为： （2）凡是被乘数的各位数字遇到 4、5、6 时，其方法为： 是4：本位减补数一半，下位加补数一次 被乘数 是 5：本位减补数一半 是 6：本位减补数一半，下位减补数一次 12 456 - 121算序： 242 4548 ① 在被乘数个位 6 的本位减补数一半 121.下位减 242 得 45—4548； 454548 -121 ② 在被乘数十位数 5 的本位减 121，得 4—42448； 442448 42448 -121 ③ 在被乘数百位 4的本位减 121，下位加 242 得 345648（积） 。 + 242 345648 例如：456×758=345648（758的补数是 242） 其方法为; （3）凡是被乘数的各位数遇到 7、8、9 时，其方法为; 是 9：本位减补数一次，下位加补数一次。被乘数 是 8：本位减补数一次，下位加补数二次。 是 7：本位减补数一次，下位加补数三次。 例如：987×879=867573 算序：① ② ③ 987 - 121 + 363 986153 6153 被乘数个位 7 的本位减 121，下位加 363 得98-6153； - 121 被乘数十位 8 的本位减 121，下位加 242 得 9-76473； + 242 被乘数百位 9的本位减 121，下位加 121 得 867573（积） 976473 。 76473 -121 + 121 867573 （879的补数是 121） 等大数联运算时，其方法为： （4）凡是被乘数遇到 989697 等大数联运算时，其方法为： 被乘数后位按 10补加补数，前位遇到 9 不动，前位遇到 6、7、8 时，按 9 补加 补数次数（均由下位补加补数次数） ，最后被乘数首位减补数一次。例如：9798×8679=85036842 (8679 的补数 1321) 算序： ① 被乘数个位 8 的下位加 2642，得979-82642； ② 被乘数十位 9 不动； ③ 被乘数百位 7 的下位加 2642，得 9-8246842； ④ 被乘数的首位减1321，得 85036842（乘积） 。 9798 + 02642 97982642 82642 + 02642 982468428246842 -1321 85036842 注：如果被乘数首位不是大数时，首位是 1，下位减补数二次；首位数是 2，下 13位减补数三次；首位是 3，本位减补数一半；下位加补数一次，首位是 4，本位减补 数一半；首位是 5，本位减补数一半，下位减补数一次。说明：下位减补数五次（或 5 倍） ，等于本位减补数一半。下位减补数十次（或 10 倍）等于本位减补数一次。 破华口诀加一。减一。逢五加五。 加一。减一。逢五加五。 1、2、3 依次减，4、5、6 减一半，7、8、9 当 10 看，除法加，乘法减，遇到0 、 、 依次减， 、 、 减一半， 、 、 除法加，乘法减， 全不算。 全不算。 多位数除法 一、 速算法除法的目的是求商，但从被除数中突然看不出含有多少商时，可用试商，估商 的办法，看被乘数最高几位数含有几个除数（即含商几倍），就由本位加补数几次， 其得数就是商。 计算定位： 二、 计算定位：除数是一位，个位为本位，除数是二位，十位为本位，除数是三位，百位为本 位，……类推。 小数组： 三、 小数组： 1倍：由本位加补数一次。 被除数含商 2 倍：由本位加补数二次。 3 倍：由本位加补数三次。 7995 +35 ①被除数前两位 79中含除数 65 一倍，加补数一次（35） ，得 11495 + 70 1-1495（破折号前为商，破折号后为被除数，下同） ；12195 12 ②被乘数 149 中含除数二倍， 加补数二次 （35×2=70） 12-195； + 105 得 12300 123③被除数 195 含除数三倍， 加补数三次 （35×3=105） 123 商） 得 （ 。 算序： 例如：7995÷65=123，（65 的补数是 35） 14 四、 中数组：凡是将除数含有除数 4、5、6 倍时、其方法为： 中数组： 、 、 倍时 4倍：前位加补数一半，本位减补数一次。 被除数含商 5 倍：前位加补数一半，本位不动。 6 倍：前位加补数一半，本位加补数一次。35568 +11 算序： - 22 ① 355 中含有除数 4 倍， 所以前位加 11， 本位减 22， 4-4368； 44368得 + 11 ② 436 中含除数 5 倍，前位加 11，本位不动，得 45-468； 45468 45 + 11 ③ 468中含除数 6 倍，前位加 11，本位加 22，得 456（商） 。 + 22 45600 456 例如：35568÷78=456（78的补数是 22） 大数组： 五、 大数组： 9 倍：前位加补数一次，本位减补数一次。 被除数含商 8倍：前位加补数一次，本位减补数二次。 7 倍：前位加补数一次，本位减补数三次。 例如：884352÷896=987（896 的补数是104） 算序： ①8843 中含除数 9 倍，前位加 104，本位减 104，得 9-77952； ②7795 中含除数 8倍前位加 104，本位减 208，得 98-6272； ③6272 含除数 7 倍， 前位加补数一次 104， 本位减补数三次（104 ×3=312（得 986（商）。 ） + + + 884352 104 104 977952 104 208 98627298 104 312 986000 986 《几何证题口诀》 几何证题口诀》 几何证题并不难，首先过好审题关；字斟句酌细钻研，命题反复看几遍； 看图正确利思考，已知求证要写全； 知识除向更重要，证明方法要优选； 15扣紧题意析疑难，根据结论寻条件； 字迹工整层次清，论证步骤写周全。 一些数的和 一、 二、 三、自然数和：1+2+3……+n=1/2n（n+1） 奇数和：1+3+5+……+（2n-1）=n2偶数和：2+4+6+……+2n=n（n+1） 《实用知识》 实用知识》 一、 速算地亩（以米为单位） 宽的一半再加宽，得下和数乘长边。向前移动三位点，地亩面积容易算。 注：如果是三角形、梯形及其它图形，可以这样计算。 面积一半加面积，向前移动三位点。 二、 量猪重胸围（厘米）2×体长（厘米）÷7600=猪重（市斤） 三、 量牛或羊的体重： 胸围（厘米）2×体长（厘米）÷5400=体重（市斤）四、1-14 岁正常人的身长和体重： 身长（厘米）=（年龄×5）+80 体重（市斤）=（年龄×4）×+16 数学游戏 一、猜年龄及出生月份： （出生月份×2+5）×50+年龄-365 二、 猜男女数： （总人数×2+5）×50＋女数－365 三、猜住房数： （大小总房数×2＋7）×5＋大房数－20 四、 猜及排行数： （姊妹总数×2＋3）×5+排行数 习题 16 一、两位数乘法： 63×67= 42×43= 42×48= 24×84= 88×64= 32×27= 66×37= 54×38=21×23= 二、 多位数乘法： 113×108= 9999×4268= 998×985= 1012×997= 趣味算术一根竹竿二丈一，三分之一插进泥； 七分之一露出水， 问你井水有几尺深。 答： （11） 一个老头来卖梨，连筐共重一百一，卖去梨的整一半，连筐还有五十七， 这个梨筐几斤重？请你给回回皮。 答： 斤） （4 三个闺女来看娘，三五七天各一趟，今日一同娘家走，何日一齐来看娘。 答：(105) 出了十道考试题，每对一题得五分， 错答不但不给分，总分里面扣三分，小华不知对几道，得了二分哭回门。 三只猫吃三只老鼠用了三分钟时间，按 同样的速度，一百只猫吃一百只老鼠需 要 用 多 少 分 钟 时间 ？ 答： （用了三分钟） 一条绳子不知央，三折来与四折量， 三比四折长二尺，这条绳子有多长。 答： （24） 答： （对 4 道）速效秒开方 口诀 加一。减一。逢五加五。逢偶配系。逢质配奇。 加一。减一。逢五加五。逢偶配系。逢质配奇。秒开方：在一秒钟之内能把一个数字的根开出来的方。 平方：一个数的本身自乘的积。 平方：一个数的本身自乘的积。 17速效秒开方：迅速有效的在一秒钟内，能够把一个数值的根开出来的方。 一、 加一计算的开根的办法 加一定理： 加一定理 ：凡是这个数大于正整数时，给它的第一位数加上最后一位数的个位数的和，凡是这个数大于正整数时，给它的第一位数加上最后一位数的个位数的和，就是 个数大于正整数时 这个数的开放根。 这个数的开放根。例如：√121 √441 √961 √1681 √2601 √3721 √5041 =11 =21 =31 =41 =51 =61=71 10×10=100<121 20×20=400<44130×30=<900<96140×40=1600<1681 50×50=2500<260160×60=3600<3721 70×70=4900<504180×80=6400<6561 90×90=8100<828110+1=11 20+1=21 30+1=31 40+1=41 50+1=51 60+1=61 70+1=71 80+1=8190+1=9 √6561 =81 √8281 =91 减一定理： 二、 减一定理 ：凡是这个数小于正整数时，给它的第一位数减去最后一位数的个位数的差，凡是这个数小于正整数时，给它的第一位数减去最后一位数的个位数的差，就 是这个数的开放根。 是这个数的开放根。 例如：√361 √841√1521 √2401 √3481 √4761 √6241 √7921 √9801 =19 =29 =39 =49 =59 =69=79 =89 =99 20×20=400>36130×30=900>841 40×40=1600>152150×50=2500>2401 60×60=3600>348170×70=4900>4761 80×80=6400>624190×90=8100>7921 100×100=8100<980120-1=19 30-1=29 40-1=39 50-1=49 60-1=59 70-1=69 80-1=79 90-1=89100-1=99 逢五加五： 三、 逢五加五 ： 18 定理： 定理： 凡是这个数大于正整数时， 凡是这个数大于正整数时，给它第一位数加上最后一位数的个位数的五， 给它第一位数加上最后一位数的个位数的五， 就是这个数的开放根。 就是这个数的开放根。 例如：√225 √625 √1225 √2025 √3025 √4225 √5625 √7225 √9025 =15 =25 =35 =45=55 =65 =75 =85 =95 10×10=100<22520×20=400<625 30×30=900<122540×40=1600<2025 50×50=2500<302560×60=3600<4225 70×70=4900<562580×80=6400<7225 90×90=8100<902510+5=15 20+5=25 30+5=35 40+5=45 50+5=55 60+5=65 70+5=75 80+5=8590+5=95 四、逢偶配系： 逢偶配系： 定理：凡是这个数大于正整数时，给它的第一位数加上最后一位数的个位数的开方根，就是这个数的开方根。 例如：√144 √484 √1024 √1764 √2704 √3844 √5184 √6724√8464 =12 =22 =32 =42 =52 =62 =72 =82 =9210×10=100<144 20×20=400<48430×30=900<1024 40×40=1600<176450×50=2500<2704 60×60=3600<384470×70=4900<5184 80×80=6400<672490×90=8100<8464 10+2=12 20+2=22 30+2=32 40+2=4250+2=52 60+2=62 70+2=72 80+2=82 90+2=92 √196 √876 √1656 √1936 =14=24 =34 =44 10×10=100<19620×20=400<876 30×30=900<165640×40=1600<1936 10+4=14 20+4=24 30+4=34 40+4=44 19√2916 √4096 √5476 √7056 √8836 =54 =64 =74 =84 =9450×50=2500<2916 60×60=3600<409670×70=4900<5476 80×80=6400<705690×90=8100<8836 50+4=54 60+4=64 70+4=74 80+4=8490+4=94 √256 √676 √1296 √2116 √3136 √4356 √5776 √7396 √9216 =16 =26=36 =46 =56 =66 =76 =86 =96 10×10=100< 25620×20=400< 676 30×30=900<129640×40=1600<2116 50×50=2500<313660×60=3600<4356 70×70=4900<577680×80=6400<7396 90×90=8100<921610+6=16 20+6=26 30+6=36 40+6=46 50+6=56 60+6=66 70+6=76 80+6=8690+6=96 √324 √784 √1444 √2304 √3364 √4624 √7744 √6724 √9604 =18 =28=38 =48 =58 =68 =78 =88 =98 10×10=100<32420×20=400<784 30×30=900<144440×40=1600<2304 50×50=2500<336460×60=3600<4624 70×70=4900<774480×80=6400<6724 90×90=8100<846410+8=18 20+8=28 30+8=38 40+8=48 50+8=58 60+8=68 70+8=78 80+8=8890+8=98 五、逢质配奇： 逢质配奇 定理：凡是这个数大于正整数时，给它的第一位数加上最后一位数的个位数的 和（这个数是用 2除不尽的）就是这个数的开方根。 例如： 20 √289 √729 √1369 √2209 √3249 √4489 √5929√7569 √9409 =17 =27 =37 =47 =57 =67 =77 =87 =9710×10=100<289 20×20=400<72930×30=900<1369 40×40=1600<220950×50=2500<3249 60×60=3600<448970×70=4900<5929 80×80=6400<756990×90=8100<9409 10+7=17 20+7=27 30+7=37 40+7=4750+7=57 60+7=67 70+7=77 80+7=87 90+7=97 √169 √529 √1089 √2209 √2809√3069 √5329 √6889 √8649 =13 =23 =33 =43 =53 =63 =73 =83 =9310×10=100<169 20×20=400<52930×30=900<1089 40×40=1600<220950×50=2500<2809 60×60=3600<306970×70=4900<5329 80×80=6400<688990×90=8100<8649 10+3=13 20+3=23 30+3=33 40+3=4350+3=53 60+3=63 70+3=73 80+3=83 90+3=93 以尾数定根 特殊定理 不是 3×3=9 是7×7=49，二者必居其一 × × ， 数字 开方根个位数 1、9 1 2、8 4 3、9 7 4、6 6 5 5（任何数字相开都是压住最后两位数，假设个数和十位都是 0 来开这个数值。 只能小于这个数的整数根。 ） 21 ★【速算技巧一：估算法】“估算法”毫无疑问是资料分析题当中的速算第一法， 在所有计算进行之前必须考虑能否先行估算。所谓估算，是在精度要求并不太高的情况下，进行粗略估值的速算方式，一般在选项相差较大，或者在被比较数据相差较大的情况下使用。估算的方式多样，需要各位考生在实战中 多加训练与掌握。进行估算的前提是选项或者待比较的数字相差必须比较大， 并且这个差别的大小决定 了“估算”时候的精度要求。 ★【速算技巧二：直除法】李委明提示： “直除法” 是指在比较或者计算较复杂分数时， “直接相除” 通过 的方式得到商的首位 （首 一位或首两位），从而得出正确答案的速算方式。 “直除法”在资料分析的速算当中有非常广泛的 用途，并且由于其“方式简单”而具有“极易操作”性。“直除法”从题型上一般包括两种形式： 一、比较多个分数时，在量级相当的情况下，首位最大/小的数为最大/小数；二、计算一个分数时，在选项首位不同的情况下，通过计算首位便可选出正确答案。 “直除法”从难度深浅上来讲一般分为三种梯度：一、简单直接能看出商的首位； 二、通过动手计算能看出商的首位； 三、某些比较复杂的分数，需要计算分数的“倒数”的首位来判定答案。 【例1】 中最大的数是（ ） 。 【解析】直接相除： ＝30＋， ＝30-， ＝30-， ＝30-， 明显 为四个数当中最大的数。 【例2】32409/4103、32895/4701、23955/3413、12894/1831 中最小的数是（ 【解析】32409/4103、23955/3413、12894/1831 都比 7 大，而 32895/4701 比 7 小，因此四个数当中最小的数是 32895/4701。 李委明提示： 即使在使用速算技巧的情况下，少量却有必要的动手计算还是不可避免的。 ）。 【例 3】6874.32/760.31、3052.18/341.02、4013.98/447.13、2304.83/259.74中最大的数是（ ） 。 在本节及以后的计算当中由于涉及到大量的估算，因此我们用 a+表示一个比 a 大的数， 用 a-表示一个比 a小的数。 【解析】 只有 6874.32/760.31 比 9 大，所以四个数当中最大的数是 6874.32/760.31。 【例4】5794.1/27591.43、3482.2/15130.87、4988.7/20788.33、6881.3/26458.46中最大的数 是（ ） 。 【解析】本题直接用“直除法”很难直接看出结果，我们考虑这四个数的倒数：27591.43/5794.1、15130.87/3482.2、20788.33/4988.7、26458.46/6881.3，利用直除法，它们的首位分别为“4”“4”“4”“3” 、 、 、 ， 所以四个倒数当中 26458.46/6881.3最小，因此原来四个数当中 6881.3/26458.46 最大。 22 【例5】阅读下面饼状图，请问该季度第一车间比第二车间多生产多少？（ A.38.5％ B.42.8% C.50.1%【解析】5632-3945/3945=1687/3945=0.4＋=40%+，所以选 B。 D.63.4% ） 【例6】某地区去年外贸出口额各季度统计如下，请问第二季度出口额占全年的比例为多 少？（ ） 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 全年出口额（亿元） 4573 5698 3495 3842 17608 A.29.5％ B.32.4% C.33.7% D.34.6%【解析】5698/17608＝0.3＋=30%+，其倒数 17608/5698＝3＋，所以 5698/17608＝(1/3)-，所以选 B。 【例 7】根据下图资料，己村的粮食总产量为戊村粮食总产量的多少倍？（ A.2.34 B.1.76 C.1.57【解析】直接通过直除法计算 516.1÷328.7： 根据首两位为 1.5*得到正确答案为 C。 D.1.32 ）★【速算技巧三：截位法】 所谓“截位法” ，是指“在精度允许的范围内，将计算过程当中的数字截位（即只看或者 只取前几位），从而得到精度足够的计算结果”的速算方式。在加法或者减法中使用“截位法”时，直接从左边高位开始相加或者相减（同时注意下一位是否需要进位与错位） ，知道得到选项要求精度的答案为止。在乘法或者除法中使用“截位法”时，为了使所得结果尽可能精确，需要 注意截位近似的方向：一、扩大（或缩小）一个乘数因子，则需缩小（或扩大）另一个乘数因子； 二、扩大（或缩小）被除数，则需扩大（或缩小）除数。如果是求“两个乘积的和或者差（即 a*b+/-c*d） ，应该注意： 三、扩大（或缩小）加号的一侧，则需缩小（或扩大）加号的另一侧；四、扩大（或缩小）减号的一侧，则需扩大（或缩小）减号的另一侧。 到底采取哪个近似方向由相近程度和截位后计算难度决定。一般说来，在乘法或者除法中使用”截位法“时，若答案需要有 N 位精度，则计算过程 的数据需要有 N+1位的精度，但具体情况还得由截位时误差的大小以及误差的抵消情况来决定；在误差较小的情况下，计算过程中的数据甚至可以不满足上述截位方向的要求。所以应用这种方 法时，需要考生在做题当中多加熟悉与训练误差的把握， 在可以使用其它方式得到答案并且截位 误差可能很大时，尽量避免使用乘法与除法的截位法。★【速算技巧四：化同法】 所谓”化同法” ，是指“在比较两个分数大小时，将这两个分数的分子或分母化为相同或相近，从而达到简化计算”的速算方式。一般包括三个层次： 一、将分子（分母）化为完全相同，从而只需要再看分母（或分子）即可；二、将分子（或分母）化为相近之后，出现“某一个分数的分母较大而分子较小”或“某一个分数的分母较小而分子较大”的情况，则可直接判断两个分数的大小。 23 ★【速算技巧五：差分法】 李委明提示：“差分法”是在比较两个分数大小时，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难以 解决时可以采取的一种速算方式。 适用形式：两个分数作比较时， 若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅仅大一点，这时候使用“直除法”“化同法”经常很难比较出大小关系，而使用“差分法”却可 、 以很好地解决这样的问题。 基础定义：在满足“适用形式”的两个分数中，我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数” ， 分子与分母都比较小的分数叫“小分数”，而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数 我们定义为 “差分数” 例如： 。 324/53.1 与 313/51.7比较大小， 其中 324/53.1 就是 “大分数” 313/51.7 ， 就是“小分数” ，而324-313/53.1-51.7=11/1.4 就是“差分数” 。 “差分法”使用基本准则——“差分数”代替“大分数”与“小分数”作比较： 1、若差分数比小分数大，则大分数比小分数大；2、若差分数比小分数小，则大分数比小分数小； 3、若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。 比如上文中就是“11/1.4 代替324/53.1 与 313/51.7 作比较” ，因为 11/1.4＞313/51.7（可以 通过“直除法”或者“化同法”简单得到），所以 324/53.1＞313/51.7。 特别注意： 一、 “差分法”本身是一种“精算法”而非“估算法”，得出来的大小关系是精确的关系而 非粗略的关系； 二、 “差分法”与“化同法”经常联系在一起使用， “化同法紧接差分法”与“差分法紧接化同法”是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。 三、 “差分法”得到“差分数”与“小分数”做比较的时候，还经常需要用到“直除法” 。四、如果两个分数相隔非常近，我们甚至需要反复运用两次“差分法” ，这种情况相对比 较复杂，但如果运用熟练，同样可以大幅度简化计算。【例 1】比较 7/4 和 9/5 的大小 【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系： 大分数 小分数 9/5 7/49－7/5－1=2/1(差分数) 根据：差分数=2/1＞7/4=小分数 因此：大分数=9/5＞7/4=小分数 李委明提示：使用“差分法”的时候，牢记将“差分数”写在“大分数”的一侧，因为它代替的是“大 分数” ，然后再跟“小分数”做比较。 【例 2】比较32.3/101 和 32.6/103 的大小 【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系： 小分数 大分数 32.3/10132.6/103 32.6－32.3/103－101=0.3/2(差分数) 24根据：差分数=0.3/2=30/200＜32.3/101=小分数（此处运用了“化同法” ）因此：大分数=32.6/103＜32.3/101=小分数 〔注释〕 本题比较差分数和小分数大小时，还可采用直除法，读者不妨自己试试。李委明提示（ “差分法”原理） ： 以例 2 为例，我们来阐述一下“差分法”到底是怎样一种原理，先看下图：上图显示了一个简单的过程：将Ⅱ号溶液倒入Ⅰ号溶液当中，变成Ⅲ号溶液。其中Ⅰ号溶 液的浓度为“小分数” ，Ⅲ号溶液的浓度为“大分数”，而Ⅱ号溶液的浓度为“差分数” 。显然， 要比较Ⅰ号溶液与Ⅲ号溶液的浓度哪个大，只需要知道这个倒入的过程是“稀释”还是“变浓”了，所以只需要比较Ⅱ号溶液与Ⅰ号溶液的浓度哪个大即可。 【例 3】比较 29320.04/4126.37 和29318.59/4125.16 的大小 【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系： 29320.04/4126.3729318.59/4125.16 1.45/1.21根据：很明显，差分数=1.45/1.21＜2＜29318.59/4125.16=小分数因此：大分数=29320.04/4126.37＜29318.59/4125.16=小分数 〔注释〕本题比较差分数和小分数大小时，还可以采用“直除法” （本质上与插一个“2” 是等价的） 。 【例4】下表显示了三个省份的省会城市（分别为 A、B、C 城）2006 年 GDP 及其增长情 况，请根据表中所提供的数据回答：1.B、C 两城 2005 年 GDP 哪个更高？ 2.A、C 两城所在的省份 2006 年 GDP 量哪个更高？ GDP（亿元）GDP 增长率 占全省的比例 A城 873.2 12.50% 23.9% B城 984.3 7.8% 35.9% C城 1093.417.9% 31.2% 【解析】一、B、C 两城 2005 年的 GDP分别为：984.3/1＋7.8%、1093.4/1＋17.9%；观察 特征（分子与分母都相差一点点）我们使用“差分法” ：984.3/1＋7.8% 1093.4/1＋17.9% 109.1/10.1%运用直除法，很明显：差分数＝109.1/10.1%＞1000＞984.3/1＋7.8%＝小分数，故大分数 ＞小分数 所以 B、C 两城2005 年 GDP 量 C 城更高。 二、A、C 两城所在的省份 2006 年 GDP量分别为：873.2/23.9%、1093.4/31.2%；同样我 们使用“差分法”进行比较： 873.2/23.9%1093.4/31.2% 220.2/7.3%=660.6/21.9% 212.6/2%=2126/20%上述过程我们运用了两次“差分法” ，很明显：2126/20%＞660.6/21.9%，所以 873.2/23.9%＞1093.4/31.2%； 因此 2006 年 A 城所在的省份 GDP 量更高。 【例 5】比较 32053.3×23487.1和 32048.2×23489.1 的大小 【解析】32053.3 与 32048.2 很相近，23487.1 与 23489.1也很相近，因此使用估算法或者 截位法进行比较的时候，误差可能会比较大，因此我们可以考虑先变形，再使用“差分法” ，即 要比较32053.3×23487.1 和 32048.2×23489.1 的大小，我们首先比较 32053.3/23489.1 和32048.2/23487.1 的大小关系： 25 32053.3/23489.1 32048.2/23487.1 5.1/2根据：差分数=5.1/2＞2＞32048.2/23487.1=小分数因此：大分数=32053.3/23489.1＞32048.2/23487.1=小分数变型：32053.3×23487.1＞32048.2×23489.1 李委明提示（乘法型“差分法”： ） 要比较 a×b 与a′×b′的大小，如果ａ与ａ’相差很小，并且ｂ与ｂ’相差也很小，这 时候可以将乘法 a×b 与 a′×b′的比较转化为除法 ab′与a′b 的比较， 这时候便可以运用 “差 分法”来解决我们类似的乘法型问题。我们在“化除为乘”的时候，遵循以下原则可以保证不等号方向的不变： “化除为乘”原则：相乘即交叉。 ★【速算技巧六：插值法】 “插值法” 是指在计算数值或者比较数大小的时候，运用一个中间值进行 “参照比较” 的速算方式，一般情况下包括两种基本形式：一、在比较两个数大小时，直接比较相对困难，但这两个数中间明显插了一个可以进行参照比较并且易于计算的数，由此中间数可以迅速得出这两个数的大小关系。比如说 A 与 B 的比 较，如果可以找到一个数 C，并且容易得到A>C，而 B<C，即可以判断 A>B。二、在计算一个数值 F 的时候，选项给出两个较近的数 A 与 B 难以判断，但我们可以容 易的找到 A 与 B 之间的一个数 C，比如说 A<C<B， 并且我们可以判断F>C， 则我们知道 F=B （另 外一种情况类比可得） 。 ★【速算技巧七：凑整法】“凑整法”是指在计算过程当中，将中间结果凑成一个“整数” （整百、整千等其它方便 计算形式的数） ，从而简化计算的速算方式。“凑整法”包括加/减法的凑整，也包括乘/除法的凑 整。 在资料分析的计算当中，真正意义上的完全凑成“整数”基本上是不可能的，但由于资料分析不要求绝对的精度，所以凑成与“整数”相近的数是资料分析“凑整法”所真正包括的主要 内容。 ★【速算技巧八：放缩法】“放缩法”是指在数字的比较计算当中，如果精度要求并不高，我们可以将中间结果进行 大胆的“放” （扩大）或者“缩” （缩小），从而迅速得到待比较数字大小关系的速算方式。 若 A>B>0，且C>D>0，则有： 1）A+C>B+D2）A-D>B-C 3）A*C>B*D4）A/D>B/C 这四个关系式即上述四个例子所想要阐述的四个数学不等关系， 是我们在做题当中经常需26 要用到的非常简单、非常基础的不等关系，但确实考生容易忽略，或者在考场之上容易漏掉的数 学关系，其本质可以用“放缩法”来解释。★【速算技巧九：增长率相关速算法】 李委明提示： 计算与增长率相关的数据是做资料分析题当中经常遇到的题型， 而这类计算有一些常用的速算技巧，掌握这些速算技巧对于迅速解答资料分析题有着非常重要的辅助作用。 两年混合增长率公式： 如果第二期与第三期增长率分别为 r1与 r2，那么第三期相对于第一期的增长率为： r1＋r2＋r1× r2 增长率化除为乘近似公式： 如果第二期的值为 A，增长率为r，则第一期的值 A′： A′＝A/1＋r≈A×（1-r） （实际上左式略大于右式，r 越小，则误差越小，误差量级为 r2）平均增长率近似公式： 如果 N 年间的增长率分别为 r1、r2、r3……rn，则平均增长率： r≈r1＋r2＋r3＋……rn/n（实际上左式略小于右式，增长率越接近，误差越小） 求平均增长率时特别注意问题的表述方式，例如： 1.“从 2004 年到 2007年的平均增长率”一般表示不包括 2004 年的增长率； 2.“2004、2005、2006、2007 年的平均增长率”一般表示包括200４年的增长率。 “分子分母同时扩大/缩小型分数”变化趋势判定： 1.A/B 中若 A 与 B 同时扩大，则①若 A 增长率大，则A/B 扩大②若 B 增长率大，则 A/B 缩小；A/B 中若 A 与 B 同时缩小，则①若 A 减少得快，则 A/B 缩小②若 B减少得快，则 A/B 扩 大。 2.A/A＋B 中若 A 与 B 同时扩大，则①若 A 增长率大，则 A/A＋B 扩大②若 B增长率大， 则 A/A＋B 缩小；A/A＋B 中若 A 与 B 同时缩小，则①若 A 减少得快，则 A/A＋B 缩小②若 B减少得快，则 A/A＋B 扩大。 多部分平均增长率： 如果量 A 与量 B 构成总量“A＋B” ，量 A 增长率为 a，量 B增长率为 b，量“A＋B”的 增长率为 r，则 A/B=r-b/a-r，一般用“十字交叉法”来简单计算： A：a r-b A r =B：b a-r B 注意几点问题： 1.r 一定是介于 a、b 之间的， “十字交叉”相减的时候，一个 r 在前，另一个 r 在后；2.算出来的 A/B=r-b/a-r 是未增长之前的比例， 如果要计算增长之后的比例， 应该在这个比 例上再乘以各自的增长率，即A′/B′=（r-b）×（1＋a）/（a-r）×（1＋b） 。 等速率增长结论：如果某一个量按照一个固定的速率增长，那么其增长量将越来越大， 并且这个量的数值成 27 “等比数列”，中间一项的平方等于两边两项的乘积。 【例 1】2005 年某市房价上涨 16.8%，2006 年房价上涨了 6.2%，则 2006年的房价比 2004 年上涨了（ ） 。 A.23% B.24% C.25% D.26%【解析】16.8%＋6.2%＋16.8%×6.2%≈16.8%＋6.2%＋16.7%×6%≈24%，选择 B。 【例 2】2007年第一季度，某市汽车销量为 10000 台，第二季度比第一季度增长了 12%， 第三季度比第二季度增长了17%，则第三季度汽车的销售量为（ ） 。 A.12900 B.13000 C.13100 D.13200【解析】12%＋17%＋12%×17%≈12%＋17%＋12%×1/6＝31%，10000×(1＋31%)＝ 13100，选择 C。【例 3】设 2005 年某市经济增长率为 6%，2006 年经济增长率为 10%。则 2005、2006 年，该市的平均经济增长率为多少？（ ） A.7.0% B.8.0% C.8.3% D.9.0%【解析】r≈r1＋r2/2=6%＋10%/2=8%，选择 B。 【例 4】假设 A 国经济增长率维持在 2.45％的水平上，要想GDP 明年达到 200 亿美元的 水平，则今年至少需要达到约多少亿美元？（ ） A.184 B.191 C.195 D.197【解析】200/1＋2.45%≈200×（1-2.45%）=200-4.9=195.1，所以选 C。 〔注释〕 本题速算误差量级在r2=(2.45%)2≈6/10000， 亿的 6/10000 大约为 0.12 亿元。 200 【例 5】如果某国外汇储备先增长10％，后减少 10％，请问最后是增长了还是减少了？ ） A.增长了 B.减少了 C.不变 D.不确定【解析】A×（1＋10％）×（1－10％）＝0.99A，所以选 B。 李委明提示： 例 5 中虽然增加和减少了一个相同的比率，但最后结果却是减少了， 我们一般把这种现象 总结叫做“同增同减，最后降低” 。即使我们把增减调换一个顺序，最后结果仍然是下降了。 （★【速算技巧十：综合速算法】 李委明提示： “综合速算法” 包含了我们资料分析试题当中众多体系性不如前面九大速算技巧的速算方式，但这些速算方式仍然是提高计算速度的有效手段。 平方数速算： 牢记常用平方数，特别是 11~30以内数的平方，可以很好地提高计算速度： 121、144、169、196、225、256、289、324、361、400441、484、529、576、625、676、729、784、841、900 尾数法速算：因为资料分析试题当中牵涉到的数据几乎都是通过近似后得到的结果， 所以一般我们计算 的时候多强调首位估算，而尾数往往是微不足道的。因此资料分析当中的尾数法只适用于未经近似或者不需要近似的计算之中。历史数据证明，国考试题资料分析基本上不能用到尾数法，但在地方考题的资料分析当中，尾数法仍然可以有效地简化计算。 28 错位相加/减： A×9型速算技巧：A×9=A×10-A；如：743×9=7430-743=6687 A×9.9型速算技巧：A×9.9=A×10+A÷10；如：743×9.9=7430-74.3=7355.7 A×11型速算技巧：A×11=A×10+A；如：743×11=7430+743=8173 A×101 型速算技巧：A×101=A×100+A；如：743×101=74300+743=75043 乘/除以 5、25、125 的速算技巧： A×5型速算技巧：A×5=10A÷2；A÷5 型速算技巧：A÷5=0.1A×2 例 8739.45×5=87394.5÷2=43697.2536.843÷5=3.6843×2=7.3686 A× 25 型速算技巧：A×25=100A÷4；A÷ 25型速算技巧：A÷25=0.01A×4 例 7234×25=723400÷4=180850 3714÷25=37.14×4=148.56A×125 型速算技巧：A×125=1000A÷8；A÷125 型速算技巧：A÷125=0.001A×8 例8736×125=8736000÷8=1092000 4115÷125=4.115×8=32.92 减半相加： A×1.5型速算技巧：A×1.5=A+A÷2； 例 3406×1.5=3406＋3406÷2=3406＋1703＝5109“首数相同尾数互补”型两数乘积速算技巧： 积的头＝头×（头+1） ；积的尾=尾×尾 例： “23×27” ，首数均为“2”，尾数“3”与“7”的和是“10” ，互补 所以乘积的首数为 2×(2＋1)=6，尾数为 3×7=21，即 23×27=621 【例1】假设某国外汇汇率以 30.5％的平均速度增长，预计 8 年之后的外汇汇率大约为现 在的多少倍？（ ） A.3.4 B.4.5C.6.8 D.8.4 【解析】（1＋30.5％）8＝1.3058≈1.38＝（1.32）4＝1.694≈1.74＝2.892≈2.92＝8.41，选 择D 〔注释〕本题速算反复运用了常用平方数， 并且中间进行了多次近似，这些近似各自只忽略了非常小的量，并且三次近似方向也不相同，因此可以有效的抵消误差，达到选项所要求的精度。 【例 2】根据材料，9～10 月的销售额为（）万元。 A.42.01 B.42.54 C.43.54 D.41.89【解析】257.28－43.52－40.27－41.38－43.26－46.31 的尾数为“4” ，排除 A、D，又从图像上明显得到，9-10 月份的销售额低于 7-8 月份，选择 B。 |
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