爱华网《勾股定理的逆定理》课堂实录及反思
教学内容：八年级数学下册第十八章第二单元《股定理的逆定理》。
所用班级：实验中学八年级十三班。
课时：第一课时
授课、实录整理、反思：承留一中张相娥
教学目标：
1、经历勾股定理逆定理的探究过程，并能证明勾股定理的逆定理。
2、掌握勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。
反思：《勾股定理的逆定理》是学勾股定理之后的一节内容，是直角三角形的一种重要的判定方法。通过三边关系（a2+b2=c2）来判断一个角是直角，这种方法对学生来说接受比较困难，需从特殊到一般进行猜想、探究、证明进而得出勾股定理的逆定理，这一种探究方法又是定理证明常用的方法，因此这节课侧重于定理探究。
课堂实录及反思：
一、教学前奏：
教师：（走到学生中间）咱们是八年级几班的？班内有多少人？
学生：八年级十三班，52人。
教师：几个人一小组？平时的学习小组是如何划分？
学生：六个人一小组，小组内有好中差的学生，学习中遇到不会的小组内交流。
教师：（铃声已响，走上讲台）在这春暖花开的季节，我们八年级十三班的同学个个精神抖擞，彰显出了青春和活力，我们的脸上洋溢着自信和幸福，和大家共同学习，也倍感幸福。
教师：本节课采用小组评价激励大家学习。评级标准为：1、主动站起来回答问题的一次记2分；2、主动到黑板前展示的一次记3分；3、组员全员参与的另加5分。自己诚信记分，下课时组长汇总。本节课评出两个优秀小组。
反思：课前通过对话，了解小组编排情况，了解学生学情，但不到一分钟的时间，没能走近学生。在不了解学生的情况下开始上课，心里没底儿，不踏实。制定小组评价机制，旨在激励调动学生，让学生积极配合主动参与课堂。
二、知识回顾：
1、教师：回顾已学的勾股定理，并能用数学语言表示。
学生： a2+b2=c2
教师：a2+b2=c2的条件是什么？
学生：△ABC中∠C是直角。
反思：对于勾股定理学生会用语言表述，但学生在用数学语言表述时只说了命题的结论a2+b2=c2，而我在追问中予以补充完整。课堂上生怕影响教学进程而不敢补充如何把文字语言转化为数学语言。我们在上公开课，特别是选拔课，关注更多的是评委的评价，而轻视学生的有效学习，因此，从程序的设计到问题的处理总是与常态课有一定的差距。
2、教师：求下列以a、b为直角边的直角三角形的斜边c
(1)a=1.5,b=2(2) a=4,b=7.5
学生在计算，教师巡回了解。
三、新知探究：
1、教师：猜想以3、4、5为边的三角形是什么样的三角形？为什么？
学生：直角三角形。因为勾三股四弦五。
学生：因为3的平方加4的平方等于5的平方。
教师：大家用了勾股定理的知识猜测是个直角三角形。
反思：本想先让学生利用刻度尺和圆规画一个以3cm、4cm、5cm为边长的三角形，然后再让学生观察、猜想得到直角三角形，可课堂上由于紧张，竟脱口提出了上述问题，因此只好将错就错，让学生回答。现在想想让学用勾股定理的知识来猜想也未尝不可，因为学生知道这一组简单的勾股数。
2、教师：已知：△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，在△A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=4，B′C′=3，（1）△ABC与△A′B′C′有什么关系？为什么？（2）判断△ABC的形状。
学生根据图形和条件进行分析，教师巡回了解学情，并提醒学生在小组内交流自己的见解，教师倾听学生的交流。
教师：有哪位同学能与大家进行交流？
教师：（有部分同学举手）课堂上不需要举手，发表见解的要勇敢地走上讲台。
学生：（在教师的鼓励下一女生走上了讲台）在△A′B′C′中知道两条直角边分别是3和4，根据勾股定理可求出斜边为5，在△ABC中知道三边分别为3、4、5，利用全等可证明△ABC≌△A′B′C′，因此，可得∠C=90°。
教师：利用全等三角形的哪个判定？
学生：边、边、边
教师：根据以上探究可得到什么样的结论？
学生：以3、4、5为边的三角形是直角三角形
学生：（另一学生回答）得到△ABC是直角三角形。
教师：3、4、5具有什么样的数量关系？
学生：3的平方加4的平方等于5的平方。
教师板书：32+42=52→∠C=90°
反思：这一环节感觉设计得比较好，学生习惯于运用具体数据进行推算证明。设计让学生探究△ABC与△A′B′C′的关系，突破了判断△ABC的形状这个难点。同时为解决下一个问题做了铺垫。
教师：通过探究，可推广到一般的三角形是否也存在这样的关系？并用语言表述。
学生：存在。在三角形ABC，如果a2+b2=c2，可推断∠C为90度。
教师板书：a2+b2=c2→∠C=90°
教师：它与勾股定理的条件和结论有什么关系？
学生：互为相反。
教师：谁能具体说说。
学生：勾股定理的条件是∠C为90°，而这一个命题的结论是∠C为90°；勾股定理的结论是a2+b2=c2，而它正好是这一个命题的结论。
教师：我们把这样的两个命题叫做互为逆命题，这就是我们今天所要研究的勾股定理的逆命题。（板书课题：勾股定理的逆命题）
3、教师：已知△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，在△A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=b′，B′C′=a′，（1）△ABC与△A′B′C′有什么关系？为什么？（2）判断△ABC的形状。
教师边说边在黑板上画图标注已知条件。
教师：根据刚才的思路把证明过程写下来。
反思：证明过程没指明学生到黑板上写，在巡回中（学生已写了一部分）虽然有让学生板书的念头，但怕耽误时间没敢让学生板书。我还是没能挣脱选拔赛的束缚。
教师：有哪位同学能向大家展示自己的思路和证明过程？
南边关注的不够，因此有意走到教室南边，但南边没人举手，我走到一位男同学跟前，予以鼓励。
教师：来，到台上试一试，只要有勇气，说错了也没关系；如果不会，有这么多同学和老师的帮助，怕什么。
学生：报以热烈的掌声
反思：这分明是鼓倒掌，这一位男生在掌声中很不自信地走上了讲台，我开始顾虑，如果他真的什么都不会，一步步帮扶，将会影响教学进度。事已如此，顺其自然吧。只要能让这位学生（和其他不会的同学）学会，这也是教学的成功所在，至少说明我能根据学情调控教学。
学生：（声音很低，在老师的鼓励下勉强能听见）在△A′B′C′中知道两条直角边分别是a和b，根据勾股定理可求出斜边A′B′2=a2+b2，在△ABC中三边a、b、c具有a2+b2=c2，可得A′B′=c,利用边边边可证明△ABC≌△A′B′C′，因此，可得∠C=90°。
教师：讲得多好啊！以后一定要树立自信！（师生情不自禁报以热烈的掌声）
反思：这个学生讲的思路很清晰，就是声音比较低，他没有使我困窘，没打乱教学计划，此时暗暗高兴。他性格内向，言谈举止表现得很拘谨。我们作为教师，教学中要帮助这些学生树立自信，课堂上要为他尽可能提供更多的展示、锻炼的机会。
教师：通过刚才的猜想、探究和推理证明，得到一个什么样的结论？谁能描述下来？
学生：在一个三角形中，如果三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
反思：勾股定理的逆定理的证明采用先猜想，再通过具体实例探究，最后进行推理论证，向学生揭示了定理的探究方法，感觉这一个教学重难点处理的比较好。
教师：通过严格的推理论证，勾股定理的逆命题是真命题，那么我们可把他作为定理。（把课题“勾股定理的逆命题”中的“命题”改写为“定理”）
反思：在这里缺少了一个环节，让学生归纳勾股定理逆定理的探究经历了那几个步骤。让学生归纳总结，更有利于学生掌握定理的探究方法。
4、教师：根据刚才的学习，一个命题一定有逆命题吗？并举例说明。
学生：有，比如：两直线平行，内错角相等，它的逆命题就是内错角相等，两直线平行。
教师：一个定理一定有逆定理吗？
学生有的面面相觑，有的眉头紧皱。
教师：只有正确的命题才可能成为定理。结合前边学过的内容想一想。
学生：不一定，譬如：对顶角相等，它的逆命题是如果两个角相等，那么，这两个角是对顶角，这是一个错误的命题。它就不能成为定理。
教师：他说得多好啊！让我们明白，一个命题一定有逆命题，一个定理不一定有逆定理。
反思：为了让学生深刻理解：一个命题一定有逆命题，一个定理不一定有逆定理。再设计一个环节小组内相互交流，让更多的人参与到活动中，效果会更好。
教师：刚才我们完成了勾股定理的逆定理的探究证明，经历了定理的探究过程，这是本节课一个重要的学习目标，还有一个目标就是运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。
反思：本应课前出示目标，但由于紧张，丢了此环节，于是在此进行弥补。来自于听课教师和选拔的压力，课堂上小心翼翼，高度紧张，容易忘记设计的环节。
四、知识应用：
教师：下边学习如何运用勾股定理的逆定理解决实际问题。
教师：学习课本74页到75页例1，并思考两个问题：通过怎样的运算判断是否为直角三角形；运算中关键应注意什么。
教师：（在黑板上抄写练习）请根据以下条件判断三角形的形状：
(1)8、15、17(2)1、3/4、5/4(3)1:1:2(4) ∠B=∠C-∠A
之后教师巡回了解学情。
教师：把问题具体化，看例1第（1）小题，能否将17的平方加8的平方看是否等于15的平方？为什么？
反思：尽管学习例1之前提出了两个问题，让学生带着问题思考学习，但巡回中发现问题不够具体，不便于学生回答，因此，结合第（1）小题进一步提出具体的问题。教学中设计的问题要尽可能具体易操作。
学生：不能,应该让15的平方加8的平方看是否等于17的平方。
教师：做这种类型题，有什么诀窍？
学生：应让两个较小数的平方看是否等于较大数的平方。
教师：回答很好，这就是勾股定理逆定理运用的关键。
教师：看黑板上的题目，根据已知条件如何判断三角形的形状。
教师：条件是1:1:2，如何判断？
学生：不是直角三角形，假如三边为1、1、2，由于1+1=2，构不成三角形，那就不可能是直角三角形。
教师：这一位同学很有智慧，她利用三角形三边关系来判断？那我们能否利用勾股定理逆定理来判断，1的平方加1的平方不等于2的平方。也不能来判断。
反思：用勾股定理逆定理来判断是多余的，1、1、2不符合三边关系，显然两个较小数的平方不会等于较大数的平方。这就属于无效的教学行为。
教师：已知∠B=∠C-∠A，三角形ABC是否为直角三角形？
学生：是，因为∠A的平方加∠B的平方等于∠C的平方。
教师：这一个学生用今天所学知识来解决，这种学以致用思想值得我们学习。但我们仔细观察，已知是三边关系吗？
反思：在学生回答错时，我首先给予鼓励，然后再帮助她审题，这样维护了学生的自尊和自信心。在平时的教学中，我有意这样做，因此我班学生课堂上表现得更为积极主动。
学生：不是，是三个角的关系。
教师：那该如何来判断？
学生：∠C等于∠A加∠B，根据三角形的内角和为180度，可求出角C为90度。
教师：利用三角关系判断是直角三角形，那也就说，两个锐角互余的三角形是直角三角形。
教师：总结一下，直角三角形有哪些判定方法？
学生：一种是利用勾股定理，一种是利用两锐角互余来判断。
教师：大家思考，勾股定理的条件是什么？这个定理是直角三角形的性质还是判定？
学生：是直角，它是直角三角形的性质
教师：利用三边来判断三角形形状，应该用勾股定理逆定理来判断，一定要注意区别两个定理的条件和结论。
反思：为避免学生把判定、性质混在一起，教学中我有意区别二者的题设和结论，但仍有学生败于此。有限的课堂时间，如果我们把目标放在后进生上，势必对于中等以上的学生产生了无效的教学行为。对于这个问题，我比较困惑，这将是我以后的教学实践中研究的一个课题。
五、学习小结、评价
教师：回顾本节课的学习有哪些收获或体会？
（给学生一到两分钟的总结归纳。）
教师：我们对每小组要进行量化评价，希望大家抓住最后一个展示自我的机会。
学生：我学会了利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否为直角三角形。还学会了利用两锐角互余来判断直角三角形。
学生：学会了由一个命题能够写出它的逆命题，它们的题设和结论是互为相反的。
学生：我知道一个真命题的逆命题可能是假命题。
教师：请你举一例给以说明。
学生：如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等，它的逆命题是如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等。这就是一个假命题。
学生：一个命题只有通过探究，严格的证明它的正确性，才能成为定理，在以后的学习中才能运用。
教师：大家从今天两个目标的掌握情况对本节课所学内容进行了总结，很好。以后的学习中我们要善于归纳总结所学知识，特别是学习方法。
反思：总结中忽视了引导学生对情感态度方面的反思总结。三维目标中情感态度是学好的保障，它是解决学生想学的问题，而技能方法是解决会学的问题，知识目标是解决学会的问题。因此，课堂教学中我们应更多地关注学生的情感态度。
教师：根据课前评价标准，小组汇总本组得分，我们要做到诚信记分。
组长汇报，教师在黑板上记录：第一组2分、第二组10分、第三组9分、第四组3分、第五组12分、第六组17分、第七组2分、第八组0分、第九组4分。
教师：第八组虽然得零分，但可嘉的是他们做到了诚信记分，没因自己得零分而弄虚作假，诚信乃做人之本，我们对他们的诚信予以鼓励。
反思：利用教育机智从诚信角度对最后一个小组予以鼓励，这一点感觉处理的较好。
教师：第五组、第六组得分较高，被评为优秀小组，这是我们学习榜样，我们予以鼓励。但作为优秀小组，要戒骄戒躁，强中自有强中手。
作业：P76第3题，P80第6题。
总结：
反思自己的教学行为，只是感到没有太大的过失。课堂基本遵循教育教学规律，努力做到以活动为载体，以学生为主体，以问题为主轴通过自主、合作、探究来学习勾股定理的逆定理。定理的探究采用从特殊到一般，进行猜想、探究、证明，符合学生的认知规律。课堂上赏识与量化评价相结合，激励调动学生，让学生尽可能地参与课堂。
回头看看的教学录像，发现缺憾很多。
课堂语言贫乏，导致在激励调动学生方面显得苍白无力，因此，尽管制定有小组评价方案，但课堂上学生的参与面与自己的要求还有一定差距。其中一个小组竟然没有一人回答问题。
课堂上重复学生的语言较多，生怕学生没听清，这是无效的教学行为。无效的教学行为反映了自己真实的教育教学能力。
面对这次选拔，课堂上比较紧张，再加上备课不够充分，课堂上露掉了一些环节，有些及时予以弥补，而有些留下的是永远的遗憾。这说明自己驾驭教材、驾驭课堂的能力还有待于提升。
反复看自己的教学录像，查找课堂教学的软肋，正视自己与名师的差距，这也正是自己急需成长的动力。
