爱华网【题记】12月4日和7日，丹阳市小学数学三、四年级教师分别在华南实验学校和正则小学开展了以“小学数学概念教学研究”为主题的集中培训与研讨活动，活动内容丰富，有概念教学的课堂展示，有骨干教师的专题点评与互动交流，有教材解读，还有围绕研究专题的讲座。深受大家的欢迎。现将专题讲座的文本发在黎明393博客，供各位教师阅读与评析。热忱欢迎各位同行的批评与建议。
摘要：数学概念是客观现实中数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。只有很好的理解和掌握数学概念，才能将它在解决实际数学问题时运用自如。由于数学概念具有抽象性，而小学生的思维正处在由具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，因此，要顺利发展小学数学概念，必须从小学生年龄段的心理特征、行为习惯和学习特点等来综合研究实践，在课堂教学中灵活运用各种教学方式，达到发展小学数学概念的目的。
一、为什么要重视小学数学概念教学？
1、小学数学概念是整个数学大厦的基石。
小学数学概念教学是整个小学数学教学的基础，是提高小学数学教学质量的重要途径。小学数学概念是形成数学知识体系的基石，是进行判断、推理的基础，对发展小学生的思维能力有重要作用。因此，小学数学概念教学在整个小学数学教学中占有极重要的地位。
2、小学数学概念是学生进行思维的“细胞 。
小学生各种能力的培养都是以概念为基础。如运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、创新能力等都是建立在一定的概念基础之上。只有很好的理解和掌握数学概念，才能将它在解决实际数学问题时运用自如。
二、目前小学数学概念教学中存在的几个问题？
在目前小学生学习过程中，出现了很多错误的学习概念方法，导致学习效率低下，影响了进一步学习的兴趣及信心，主要表现一下几点：
1、死记硬背：由于概念本身的抽象性，给学习增加了难度，进而不少同学干脆采取“死记硬背”方式。这种方式确实简单，省事，可以节约大量学习时间。然而，这种方式带给人们负面影响却是无法估计的。最直接的消极影响体现在解题方面，由于对概念没有理解，导致解题时“束手无策或困难重重”。其次，由于没有经历概念形成过程，抽象、概括及归纳思维及相应的能力也无法得到发展及提高。
2、孤立地学习概念：不少同学学习概念时，总是习惯于一个概念一个概念的去学习，孤立地看待概念，无法将不同概念形成体系，不能在概念系统中学习概念。如此，对概念的理解流于形式及肤浅，学习效果自然大打折扣。
3、概念与应用脱节：在概念学习中有两种错误倾向，其一，部分同学为学习概念而学习，缺少应用环节，很少做一些相关的练习。其二，一部分同学恰恰相反，很喜欢解题，然而为解题而解题，在解题过程中对习题涉及的概念很少关注，更无从去复习、巩固相应概念。其实，这两种错误的本质是一样的，就是漠视了概念的应用环节，想当然地以为概念与应用是两个不同层面的内容。其实，概念和应用是分不开的，要想轻松解题，就必须掌握概念，要掌握概念，就必须多解题、多应用概念。
三、小学数学概念教学的几点建议：
1、依据掌握概念的心理过程进行教学
数学概念教学必须适合学生掌握概念的心理过程，这个过程一般有两种形式，即概念的形成和概念的同化。因此，我们在概念教学过程的设计和实施时，应以它为依据。
⑴.概念的形成。
概念的形成是指从大量的同类事物的不同例证中发现该类事物的本质属性，这种获得概念的形式叫做概念的形成。概念形成的过程，简单地概括为“具体——抽象”的过程。
概念的形成主要依赖于辨别和概括这两种心理活动，而辨别与概括又贯穿于“感知——表象——概括——概念系统”这一发展过程中。所以，我们要按学生的认知规律组织教学，增强辨别不同正、反例证的能力。
例如，一位教师为了丰富学生对三角形的感性认识，准备了3厘米长的小棒3根，及4厘米、2厘米、8厘米长的小棒各一根。教师请学生先用8厘米长的小棒去围三角形，学生发现随便配上哪两根小棒都不能围成三角形。“为什么呢?”“这根小棒太长了，另外两根小棒太短了。”“如果把它们换掉，你们能将它们围成三角形吗?”学生互相讨论，结果围成了各种三角形。在实践活动中，学生初步感知三角形的特征后，师生共同抽象出三条线段围成封闭的图形是三角形的两个本质属性，然后概括出三角形的概念：由三条线段围成的图形叫做三角形。再通过变式练习，深化了学生对三角形的认识。
⑵概念的同化。
概念的同化是利用学习者认知结构中原有的有关概念，以定义的方式直接向学习者揭示概念的本质属性，这种使学习者掌握概念的方式叫概念的同化。采用概念同化的方式学习概念，前提是学生已积累了许多初级概念，它不同于概念形成过程中的辨别、抽象、分析和概括，一般适用于高年级教学。
利用概念同化的方式掌握概念，它是由概念到概念，比较抽象。所以，我们要采取“加强与表象联系”、“强化新概念的本质属性”等方法，教会学生辨析新旧概念的异同。
例如，建立比较小数大小的概念时，可以联系整数大小的比较及学生所熟悉的元、角、分等知识进行教学。教师可先出示654与543、8321与8436，让学生回忆比较整数大小的方法，再出示例题，比较2.35元和2.41元的大小。引导学生思考：2.35元和2.41元的整数部分完全相同，2.35元的十分位是3，表示3角；2.41元的十分位是4，表示4角，所以2.35元＜2.41元。这样一位一位地比较，使学生初步了解小数大小的比较方法。在此基础上出示下一道例题：比较0.07米和0.059米的大小。用同样的分析方法，学生得出了正确的结论：0.07米＞0.059米。这两道例题都是借助学生已有的知识，帮助学生建立起比较小数大小的概念。
2、使用知识迁移的理论方法进行教学
知识迁移是指先前学习的知识对以后学习的知识所产生的影响和作用。知识迁移的理论有：形式训练理论、共同因素理论和概括化理论。为了加强新旧知识之间的联系，教师要注意知识间异同点的揭示，提高学生对知识的概括水平，实现正迁移，防止负迁移，发挥迁移规律在数学概念教学中的作用。
例如，教学“平行四边形的面积公式”时，第一步，复习长方体的面积公式：长× ;宽；第二步，将平行四边形沿一条对角线或沿一顶点作对边的高，将它分成两部分，然后拼成等积的长方形；第三步，根据等积概括出平行四边形面积公式：底×高。这思路和经验，为学习三角形面积公式的迁移作了铺垫。那么，在“三角形面积公式”教学时，教师只要适当提示，学生就会根据已有的知识和经验，将平行四边形转化为两个等积的三角形，通过与平行四边形面积公式建立联系，自然地推导出三角形面积公式，实现知识、经验的迁移。
3、抓住概念的内涵和外延进行教学
学生掌握数学概念大致有三种水平：第一种是形式主义地掌握概念，第二种是概括地掌握概念，第三种是创造性地掌握概念。因此，我们在概念教学中必须抓好概念的内涵和外延这一关键，实现概括地或创造性地掌握概念。
概念的内涵：是指概念所反映的对象的本质属性。本质属性是指对这一类事物有决定意义的属性。它必须具备两个条件：第一，这类事物本身必须具备这种属性，否则就不是这类事物；第二，能把这类事物与其他事物区别开来。譬如，长方体有许多属性，但它的本质属性只有两点：第一，它是个六面体；第二，它六个面都是长方形(有时有两个相对面是正方形)。也就是说，长方体必须具备这两个属性，否则它就不是长方体。显然，这两个属性能把长方体与正方体等其他多边形体区分开来。
概念的外延：概念的外延是指这一概念所反映的对象的总和。譬如，分数这个概念的外延是真分数、假分数(带分数)；平行四边形这个概念的外延是一般平行四边形、长方形、菱形、正方形等对象的总和。
概念的内涵和外延，两者之间的关系是相互制约、相互依存的，但它们又是统一的、不可分割的两个方面。因此，我们必须明确掌握概念的内涵和外延这两个方面。
例如，角、直角、锐角、钝角、平角、周角等概念教学。角：其内涵是从一点引出两条射线所组成的图形，它的外延有直角、锐角、钝角、平角、周角。直角：内涵指角的两条边成90°的角，它的外延就是90°的角。锐角：内涵指角的两条边所成的角小于90°，它的外延是指适合0°＜A＜90°的一切角。钝角：内涵指角的两条边所成的角大于90°而小于180°，它的外延是指适合90°＜A＜180°的一切角。平角：内涵指角的两条边成一条直线所成的角，它的外延就是180°的角。周角：内涵指一条射线绕它的端点旋转一周所成的角，它的外延就是360°的角。
四、小学数学概念教学的策略：
1、结合生活，从实际中进行概念引入.数学来自现实生活，小学生生活周围处处有数学，结合生活实际引入概念是一个有效的途径。小学生从瓣手指到简单的运用计算机，都是在生活中不断总结而学习获得的。要从生活实际出发，深化小学生的概念基础，就必须熟悉小学生的生活环境。如在学习比较数值大小时，“2”和“3”的大小，可以把“2颗糖”和“3颗糖”放在学生面前，让学生选择，当学生选择3颗糖时，可以问为什么会选择“3”，这样让他们在实际生活中真正体会到比较大小的概念。
其次，还可利用小学生在生活实际中比较熟悉的一些知识, 概括出新的概念。例如: 在引入平行四边形概念时,先出示两组不同长度的四根小木棒, 教师进行演示, 让学生观察后, 然后把这四根小棒钉成一个长方形。又让学生观察这个长方形, 然后,教师又进行演示, 把它向其中一头拉斜, 让学生观察教师演示后的形状, 引导学生说说这时的长方形变形后有什么特点。这时学生可以说出:两组对边的木条长度相等, 但四个角又不是直角,因此这样就在小学生思维中形成了平行四边形的概念。
又如素数、合数的概念是通过它们有多少个约数来划分的。教学时，可以先从复习约数的概念入手，然后让学生找出1、5、8、13、15各数中的约数，再引导学生观察、比较，进行分类。通过分析，就能得出三类：
第一类5的约数有：1，5；13的约数有：1，13。
只有约数1和它本身，5和13是素数。
第二类8的约数有：1，2，4，8；15的约数有：1，3，5，15。
除了约数1和它本身外，还有其他的约数，8和15是合数。
第三类1的约数有：1。
只有约数1本身，所以说1既不是素数也不是合数。
这样，就把自然数清楚地分为三类，并建立了素数、合数的概念。
2、利用直观教学法，补充并深化数学概念
由于小学生认识程度的限制，在教材中大部分概念没有下准确的定义，但是这些概念对于解决实际数学问题又是非常重要的。因此，这就给教者留下了一项非常艰巨的任务。在概念教学难以入手时，不妨尝试利用直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。如小学生认识“米”的概念时，首先通过观察米尺初步直观认识1米有多长，接着将米尺与铅笔、身高、课桌面的长进行比较，进一步直观认识1米的大约长度，然后让学生与同桌合作，用米尺量教室的长，这既是对米的概念的进一步强化，又是对学生动手能力的一次锻炼。
对于太难理解的概念就可以暂时不给定义或者采用阶段逐步渗透的办法。对于小学生来说，数学概念还是抽象的，他们形成数学概念，一般都要有相应的感性经验为基础，而且要经历一番把感性材料在脑子里来回往复。从模糊到逐渐分明，从许多有一定联系的材料中，通过自己操作，思维活动逐步建立起事物的一般表象。在教学中，更要加强演示，操作。让学生通过摸一摸，摆一摆，拼一拼来让学生体会这些概念，理解概念和掌握概念。例如，在教学“长方体”表面积时让学生动手操作和观察长方体实物，又拿出一个长方体纸合，先让学生观察它的构造。然后把纸合沿着棱剪开，教师接着展开。让学生注意，展开前长方体的每个面，在展开后是哪个面，为了便于对照，可以在展开前的每个面上，分别用“上”“下”“前”“后”“左”“右”标明它们分别是原来长方体的哪个面。然后，提问：长方体有几个面？哪些面的面积是相等的？引导学生把这些感性材料加以分析，终合，概括长方体6个面的总面积。这样学生就能抓住长方体本质特征，形成概念。
这样教师借助于直观教学，运用学生原有的基础知识，逐步抽象，环环紧扣，层次清楚，通过实物演示，使学生建立表象，从而解决了数学知识的抽象性与儿童思维形象性。
3、化抽象为具体，强化数学概念
在教学中有很多数量关系都是从具体生活中表现出来的，因此，在教学中要充分利用学生的生活实际，运用恰当的方式进行具体与抽象的连贯。把抽象的内容转变成具体的生活知识，在学生思维过程中强化抽象概念。
如：在教学乘法交换律的同时，一般让学生先解答这样的习题：一种铅笔，每盒10支，每支0.5元，买3盒铅笔需要多少元？学生在解答中发现，这样的题可有两种方法解答。一种是先求出每盒的总价，再求出3盒的总价。那列式为：（0.5×?10）×? 3 =15（元）。另一种先算出：一共有几支铅笔？再求出3盒多少元？那么列式是：0.5 × （10 ×? 3）=15（元）。这样借助于学生熟悉生活情景，把抽象的问题变得具体些。
又如：在学习“体积”概念时，教师可以通过将两个不同大小的石头扔到同样的圆柱水杯中，然后观察两个水杯水的高度来展现石头体积的大小。这样将抽象的体积概念就转变为了水具体的高度，对于尚未形成抽象思维方式的小学生来说就更容易掌握。
总之，掌握正确的数学概念是学习数学知识的基石，小学生接受抽象的概念，需要教者正确的引导。教法是灵活的，但是数学概念的重要性是不变的，教者还需要进一步努力，强化小学生对数学概念的理解与应用，为他们将来的数学学习打下坚实的基础。
