爱华网中世纪最伟大的数学家之一---秦九韶
【引言】他是那个时代的数学奇才、智多星，一位文武双全、善学好玩的时代叛逆，荡拓不羁、自然任性的性情中人；若他生活在现代社会，他的行为品性就很正常了，也就是说他是宋代的近代人，他使我联想到了德国的莱布尼兹。他就是宋朝普州（今四川安岳）人---秦九韶（1208—1268），是他首次提出数道不二论，其名著《数书九章》为乏善可陈的中国封建社会的科学史点燃了一簇辉光，与李冶、杨辉、朱世杰并称为宋元数学四大家。秦九韶的数学成就代表着古代中国数学经历了两汉时期、魏晋南北朝时期之后，中国传统数学体系以自身的逻辑迈向另一个高峰，秦九韶是继张衡、祖冲之等伟大学者之后、深受中国道家文化滋养的又一个科学典范。当然，受中国文字符号系统和实用性思想的影响，秦九韶等及以后的古中国数学家都未能走上形式代数之路，另一原因在于封建统治阶级不重视、官本位意识压抑、以及整个民族墨道精神逐渐衰微所致。
历史评价
清代著名数学家陆心源（1834－1894）称赞说：“秦九韶能于举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。”
德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。
美国著名科学史家萨顿(G"Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。
我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术（不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上占有崇高的地位。”
华东师范大学教授周瀚光评述秦九韶：“坚持不懈的求道精神，反对模袭的创新精神，实事求是的治学精神”。
秦九韶，字道古（他的字就似乎暗示着其毕生的志趣“求道问古”），1208年生于南宋普州安岳(今四川安岳)，位于“天府之国”东部。在《数书九章》自序末尾署名为“鲁郡秦九韶”，而鲁郡在今山东省曲阜、滋阳一带。古代文化人爱以其数百年前的远祖居住地作为自己的籍贯，以表怀念，况其祖秦季檩，在绍熙四年(1193)与陈亮(南宋哲学家)、程璐一起科考成为同榜进士。因此，秦九韶的祖先可能为山东人，他们因北宋逐渐衰亡而从鲁郡搬迁到普州安岳的。秦九韶少聪敏勤学，据记载，他“少长，英悟绝出，日诵千余言，过目不再览，乡里称为神童。年十五，著韩愈论，抑扬顿挫，有作者风”。18岁返乡举义兵抗元，为其首领（可见其血性）。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职（也就相当于博士毕业后就职业不稳定，但在此乱世、衰世，“历岁遥塞，荏苒十禩”，恰使他多方面地接触现实社会，不断增长阅历和才能）。但连当时的政敌周密也不得不承认他“性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究”，“游戏、毬、马、弓、剑，莫不能知”。
他曾先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官（与衰世普遍存在的腐败庸俗、不思进取的官场习气难以同谋），然蒙元铁蹄下苟且偷安的南宋江河日下，他怎能与当时政坛搞好和谐关系哩？作为一位想作为的爱国者而言，秦不得不深深卷入了南宋统治集团的内部斗争，在投降派贾似道与吴潜的斗争中，他属于抗战派吴潜的营垒，引起了贾似道、刘克庄、周密辈的嫉恨，被吴潜冤案株连，遭到诋毁，贬逐；而刘克庄、周密等奸妄小人、封建政客的诽谤文字又流传到后世，后人死读书不察，而铸成千古奇冤。这与岳飞与秦桧的关系有点类似。岳飞遭秦桧陷害反映了北宋的战略懦弱，秦九韶遭庸官攻击暗示着南宋的必然灭亡。
秦九韶之所以成为博学多能的一代大家，与他早年优良的教育和辗转的经历有必然关系。他早年随父（秦季槱）去杭州，“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，“不闲于艺”（可见学习勤奋）；且深受叶适的道家哲学影响（“物之所在，道则在焉”）；还向著名词人李刘学习骈骊诗词，这为他一生的志趣打下了重要基础。在战乱中尝尽艰险，历尽忧患，辗转十年，心气消磨，遂“信知夫物莫不有数也”。1244年因母亡故回家守孝，同时潜心数学研究，于1247年9月著成《数术大略》九卷（明代后，学者将其改名为《数书九章》，似乎要与汉代的《九章算术》的地位媲美）。在1261年左右，秦九韶被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。
《数书九章》采用“合类”、“通类”、“推类”等思想方法，共列算题81问，分为9类，每类9个问题，主要内容有⑴大衍类：一次同余式组解法。⑵天时类：历法计算、降水量。⑶田域类：土地面积。⑷测望类：勾股、重差。⑸赋役类：均输、税收。⑹钱谷类：粮谷转运、仓窖容积。⑺营建类：建筑、施工。⑻军族类：营盘布置、军需供应。⑼市物类：交易、利息。从内容上看，涉及农业气象、田亩量度、工程测量、水利水文、赋税分配、建筑营造、货币金融、军事布阵、商业贸易等多领域的工作，反映了秦九韶有过多元的职业经历和具备丰富的实践经验。从体例上看，《九章算术》是“问→答→术”，而《数书九章》是“问→答→术→草→图”，况后者“术”有别于前者的“术”，后者之“术”事实上专指一般解法即一种数学论证模式：《数书九章》的术文大多沿用“以……”“置……”“先以……，次以……”等叙述模式。
中国传统数学有别于欧几里得的逻辑推理，不是“自理推论”，而是“以类推类”。秦九韶继承并创新了中国传统数学的自身逻辑思路，不论是他的“治历演纪术”，还是“大衍求一术”、“大衍总数术”，皆通过对数进行分类、归类，如“元数”、“收数”、“通数”、“复数”、“定数”、“衍母”、“衍数”、“奇数”、“用数”、“等数”、“蔀数”等，来完成每一个机械化证明。在“大衍总数术”中先采用许多概念：问数、元数、收数、通数和复数“四格”，运用转化思维，将问题数据标准化；然后引入一系列新术语如定数、衍母、衍数……按剩余定理确定演算程序。“大衍总数术”实际上是一个“多重循环程序”，其算法设计合理，计算省便。
《数书九章》尽管包括《九章算术》所涉及部分内容，但大多数是创新，“大衍类”“天时类”是完全创新的内容，其他章节的内容也有不同程度的创新。故《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，其中最重要的数学创新成果是现代数论中的“大衍总数术”（剩余定理）与“正负开方术”(高次方程数值解法）、“三斜求积术”（三角形面积公式）等，这部宋代算经代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。
秦九韶在《数书九章·序》中表达了他的数学哲学观。该序分为两部分，前为典雅文言纵论数学史，后乃诗经体四言分别概括九章，极富文采，奥义隽永。我们要理解《数书九章》及其数学哲学意义，不可不认真研读秦九韶写的原序。只有认真研读了《数书九章·序》，才能从整体上把握秦九韶的数学观及其方法论。至今国内教学从中学到大学太过于偏重应试，而忽略数学哲学观的领悟和传授，这浪费了多少人才和教育经费！因此，笔者建议《数书九章·序》可作为中学语文课教学的必选名篇。兹贴原文如下：
周教六艺，数实成之。学士大夫，所从来尚矣。其用本太虚生一，而周流无穷，大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物，讵容以浅近窥哉?若昔推策以迎日，定律而知气。髀矩浚川，土圭度晷。天地之大，囿焉而不能外，况其间总总者乎？爰自河图、洛书，闿发礻必奥，八卦、九畴，错综精微；极而至于大衍、皇极之用。而人事之变无不该，鬼神之情莫能隐矣。圣人神之，言而遗其粗；常人昧之，由而莫之觉。要其归，则数与道非二本也。汉去古未远，有张苍、许商、乘马延年、耿寿昌、郑〔元〕、张衡、刘洪之伦，或明天道，而法传于后；或计功策，而效验于时。后世学者自高，鄙不之讲，此学殆绝，惟治历畴人，能为乘除，而弗通于开方衍变。若官府会事，则府史一二系之。算家位置，素所不识，上之人亦委而听焉。持算者惟若人，则鄙之也宜矣。呜呼！乐有制氏，仅记铿锵，而谓与天地同和者止于是，可乎？今数术之书，尚三十余家。天象历度，谓之缀术；太乙、壬、甲，谓之三式，皆曰内算，言其秘也。九章所载，即周官九数，系于方圆者为蚩术，皆曰外算，对内而言也。其用相通，不可岐二。独大衍法不载九章，未有能推之者，历家演法颇用之，以为方程者误也。且天下之事多矣，古之人先事而计，计定而行。仰观俯察，人谋鬼谋，无所不用其谨，是以不愆于成，载籍章章可覆也。后世兴事造始，鲜能考度，浸浸乎天纪人事肴殳缺矣。可不求其故哉?九韶愚陋，不闲于艺。然早岁侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学。际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间。尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落，信知夫物莫不有数也。乃肆意其间，旁诹方能，探索杳渺，粗若有得焉。所谓通神明，顺性命，固肤末于见；若其小者，窃尝设为问答，以拟于用。积多而惜其弃，因取八十一题，厘为九类，立术具草，间以图发之。恐或可备博学多识君子之余观，曲艺可遂也。原进之于道，倘曰，艺成而下，是惟畴人府史流也，乌足尽天下之用，亦无瞢焉。
时淳佑七年九月鲁郡秦九韶叙。且系之曰：
一
昆仑磅礴，道本虚一。
圣有大衍，微寓于易。
奇余取策，群数皆捐。
衍而究之，探隐知原。
数术之传，以实为体。
其书九章，惟兹弗纪。
历家虽用，用而不知。
小试经世，姑推所为。
述大衍第一。
二
七精四穹，人事之纪。
追缀而求，宵星昼晷。
历久则疏，性智能革。
不寻天道，模袭何益。
三农务穑，厥施自天。
以滋以生，雨膏雪零。
司牧闵焉，尺寸验之。
积以器移，忧喜皆非。
述天时第二。
三
魁隗粒民，甄度四海。
苍姬井之，仁政攸在。
代远庶蕃，垦菑日广。
步度庀赋，版图是掌。
方圆异状，斜窳殊形。
蚩术精微，孰究厥真。
差之毫厘，谬乃千百。
公私共弊，盖谨其籍。
述田域第三。
四
莫高匪山，莫浚匪川。
神禹奠之，积矩攸传。
智创巧述，重差夕桀。
求之既详，揆之罔越。
崇深广远，度则靡容。
形格势禁，寇垒仇墉。
欲知其数，先望以表。
因差施术，坐悉微渺。
述测望第四。
五
邦国之赋，以待百事。
田亥田经入，取之有度。
未免力役，先商厥功。
以衰以率，劳逸乃同。
汉犹近古，税租以算。
调均钱谷，河菑之扦。
惟仁隐民，犹已溺饥。
赋役不均，宁得勿思。
述赋役第五。
六
物等敛赋，式时府庾。
粒粟寸丝，褐夫红女。
商征边籴，后世多端。
吏缘为欺，上下俱殚。
我闻理财，如智治水。
澄源浚流，维其深矣。
彼昧弗察，惨急烦刑。
去理益远，吁嗟不仁。
述钱谷第六。
七
斯城斯池，乃栋乃宇。
宅生寄命，以保以聚。
鸿功雉制，竹个木章。
匪究匪度，财蠹力伤。
围蔡而栽，如子西素。
匠计灵台，俾汉文惧。
惟武图功，惟俭昭德。
有国有家，兹焉取则。
述营建第七。
八
天生五材，兵去未可。
不教而战，维上之过。
堂堂之阵，鹅鹳为行。
营应规矩，其将莫当。
师中之吉，惟智仁勇。
夜算军书，先计攸重。
我闻在昔，轻则寡谋。
殄民以幸，亦孔之忧。
述军旅第八。
九
日中而市，万民所资。
贾贸滞鬻，利析锱铢。
滞财役贫，封君低首。
逐末兼并，非国之厚。
述市易第九。
秦九韶在《数书九章*序》中写道，数“本太虚生一，而周流无穷，大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”，主张学以致用（“经实务，类万物”、“设为问答，以拟于用”、”数数之传，以实为体”）。在该序中，秦九韶将占卜术中的“太乙、六壬、遁甲”，统称为“内算”（它们的算法是保密的，内传而不外传)，将《九章算术》所载的内容（方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股），以及有关测量方位、地形之高、深、远、近等“直术”，统称为“外算”（它们的算法是公开的）。他所谓的内算有点类似纯数学或论证模式，外算类似应用数学，且认为“外算”与“内算”是彼此相通的。
《数书九章*序》中就指出：“独大衍法不载九章，未有能推之者，历家演法颇用之，以为方程者误也.且天下之事多矣，古之人先事而计，计定而行。仰观俯察，人谋鬼谋，无所不用其谨。是以不愆于成，载籍章章，可覆也”。秦九韶强调像“大衍求一术”的模式化算法对于数学论证、数学推演以及数学思想、数学方法的传承都至关重要。《数书九章》对《周易》特别关注，大量摘引《周易》原文，且以数学为工具深究《周易》所载的“蓍草占小”的过程。如果说《九章算术*刘徽注》深受墨家影响的话，那么《数书九章》的作者秦九韶却深受《周易》之影响。其序诗中写道：“昆仑旁礴，道本虚一。圣有大衍，徴寓于易。奇余取策，群数皆揖。衍而究之，探隐知原。数术之传，以实为体。”
另外，秦九韶在世界哲学史首次提出数道合一论（“数与道非二本”)，这个重要而精炼的论断具有天才的直觉洞察力，即使放到现代数学物理、自然哲学领域，仍是玄奥而回味无穷的。周朝的开创者、《易经》的作者周文王有“大哉言数”的感叹，春秋时老子在《道德经》中有“道生一，一而再，再而三，三生万物”的宇宙演化观，古希腊毕达哥拉斯有“万物皆数”的哲学理念，而认识到“数”与“道”这两大抽象范畴的统一性，在世界上最早是由秦九韶提出的。“数道不二论”可作为最高的哲学原理来阐释，它意味着什么？由此可得出以下结论：（1）道是自然规律的抽象，而数是宇宙万物的量化，皆为太一的两面，即哲学与数学是可统一的；（2）道变则数生，数演则道明，即可预测推算，物理变化是可掌握的；（3）道是数之道，数是道之数，数是道的量化形式，道是数的演化过程；（4）数道不二，道法自然，故数法自然。如果后世历朝学者能真正领悟秦九韶的“数道不二论”，那么中国宋代以后的科技发展可能走上另一条更符合逻辑的途径，步而不是走入死胡同，只剩下清点些古董文物、瓶瓶罐罐了。
然而，秦九韶一生坎坷，宋史无传。长期以来，因乱世政治谣言而引起学界争议。徐平方在《中世纪数学泰斗秦九韶》中以传记文学形式介绍了这一位数学家，以生动的事例对其名著《数书九章》及其人品，以及坎坷的仕途，都以史实为据，作了精细的研讨与评价。可悲的是，20世纪下半叶国内学界多以为秦九韶“成就极大，人品极坏”，好像他们曾穿越故纸堆中的时空隧道跑到南宋跟秦九韶生活过似的。如果不深入历史环境中去具体分析，道听途说、捕风捉影，错将当时的政敌、政匪、官氓、嫉妒的刀笔吏的谣言、诽谤当真，那就是很可悲的死读书了。像秦九韶这样有志气有抱负的、博学多才多能的数学家，稍有思维能力的历史读者都会有自有识别判断能力。
鉴于，中国历来独尊儒术（及其儒法杂糅的权术、诡计），轻视数理，远离自然，流毒太深，以至于现代中国社会风气浑浊，金本位、官本位思想仍居主导地位，辫子戏、宫廷戏、神魔戏充斥影视，猩红的资本洪流卷带着一切奔向异化的未来，官僚玩权作秀，庸众随波逐流，由教育体制、社会风气、传统陋习等一起构成的当代文化氛围，偏对奇才、天才、通才存在压抑机制，贪权、嫉妒、伪善是我们社会的致命伤，而有识之士却向往着另处寻求更好的人文和教育环境。秦九韶在《数书九章*序》中悲叹道：“算家位置，素所不识，上之人亦委而听焉。持算者惟若人，则鄙之也宜矣。呜呼！乐有制氏，仅记铿锵，而谓与天地同和者止于是，可乎？”表达了他对当世统治阶级不重视数学的不满！
历史自有公论，有时离得愈远，看得越全越清，现在人们开始研究他、纪念他了。杨国选研究认为，秦九韶从四川郪县涉足数学研究与实践，长期的实践中运用数学测量雨雪，观测气象。四川不仅是秦九韶《数书九章》营建、军旅数学研究成果的策源地，也是他军事思想形成的始谋实践地。《数书九章》中体现的军旅数学也反映了他在主张抗金抗蒙期间在研究、运用军旅数学而抗击来犯者和投降派，激怒了投降派，而招来了打击、迫害和诬陷。秦九韶从青年到晚年，正处在宋理宗在位的朝廷腐败、宦官专权时代。赵昀先后重用权臣史弥远、董宋臣、丁大全、贾似道等人，尤其是史弥远和贾似道的两度专权，内乱朝纲，打击排挤魏了翁、董槐、许奕、真德秀、吴潜等一批忠臣良相；外向金、蒙妥协求和，苟且偷生，致使宋朝逐步走向衰亡。步入青年的秦九韶，结识了魏了翁、真德秀、许奕、吴潜、高定子、高斯得、姚希得、叶适、李心传、李梅亭、陈元靓等一批忠臣良相和学者，站在抗金抗蒙主张抗战方，把自己研究的天时、军旅数学用于军事，而卷入了南宋的政治集团斗争，使之受到投降派的攻击、诽谤。
中国科学院郭书春（自然科学史研究所研究员）认为：余嘉锡、钱宝琮等学者评价秦九韶主要依据刘克庄、周密对秦九韶的指控，而没有将这些指控放到南宋末年南宋统治集团与蒙古贵族的民族斗争、南宋统治集团中主战主和两派斗争十分激烈、南宋末年政治腐败吏制黑暗的社会背景下考察。实际上，刘、周追随投降派贾似道，秦九韶支持抗战派吴潜，他们是政敌，而政敌的指控是不可信的。同时，数学史界对秦九韶《数书九章序》中的9段系文一直缺乏研究，而这9段系文恰恰反映出秦九韶是一位具有实事求是的科学态度和创新精神，关心国计民生，主张施仁政，支持抗金、抗元战争的政治抱负，并将数学看成实现这些主张的有力工具的思想的学者。由此可见，作为学者决不可轻下定论，否则误导读者、玷污圣贤，像余嘉锡、钱宝琮等人在这点上就是缺乏历史唯物主义和辩证法思维的。
杨国选（安岳县委宣传部长）对秦九韶这位卷入南宋抗金抗蒙主战派和投降派政治斗争冲突中的伟大数学家在四川的史籍做了细致考究，客观分析和探究了秦九韶及当时的那些主战派与投降派之间的人物关系及历史事件，给这位伟大的数学家在政治取向、道德情操方面留下的盲点、疑点和不实之词，予以释疑、还真。杨国选从三台图书馆找到了明朝嘉靖29年编著的《郪县志》，在卷八查到“绍定二年十月，秦九韶擢县尉”的重要资料；他还考察了秦九韶与魏了翁及鹤山书院的关系。另外，华东师范大学教授周瀚光论述了秦九韶科学精神的现代品格，认为主要表现在“坚持不懈的求道精神，反对模袭的创新精神，实事求是的治学精神”等三个方面。
因此，今天我们应全面研究认识秦九韶这位当时世界伟大的数学家一，不仅要研究其伟大的数学成就，而且还应根据历史唯物辩证法，将其人生命运还原到南宋复杂的政治军事斗争环境中去分析、复原其真实人品和道德情操，而不应受少数历史上的流言蜚语所颠倒是非、数典骂祖。只有坚持具体的历史分析方法，才能读好史书，透视人物。通过秦九韶思想、命运、人品的细致评析和客观复原，可使我们进一步吸取治学经验。认真全面地考证，谨慎客观地评析，这是每一位读书人的良知和学养！不动脑筋、死读史书，胡凑故纸、肆意乱评，不仅侮辱了先贤，而更是侮辱了学者自己。
为纪念这位伟大的数学家，人们修建了秦九韶纪念馆（1998年9月正式开工建馆，2000年12月峻工落成），中科院院长路甬祥亲自题词，四川师范大学确定秦九韶纪念馆为“秦九韶数学史教育研究基地”。秦九韶纪念馆座落在安岳县城南郊1公里的云居山腰，紧邻旅游景点圆觉洞。占地面积6561平方米，建筑面积1538平方米，为仿宋古建筑，整个建筑典雅别致。秦九韶纪念馆的正殿，正中的汉白玉雕像就是秦九韶。左右分别立有一匾，右匾记载了秦九韶的生平，左匾是秦九韶籍贯考证者邵其昌同志撰写的题记。
2000年12月1－4日，在秦九韶纪念馆举行了落成典礼暨秦九韶《数书九章》学术研讨会。中科院院士、北京天文台名誉台长、原北京天文台台长王绶王官、中科院院士、四川大学校长刘应明、内蒙古大学教授李迪、中国数学学术研究会副理事长郭书春、中国科技馆馆长王渝生、美国博士Johnson、中国科学史学会副理事长陈久金、陕西天文台研究员刘次沅、四川师大原副校长杜心华、四川省社会科学院研究员查有梁等专家、教授、学者和资阳市、内江市、安岳县领导出席了会议。中国科学技术馆、中国数学史学会、中国科学技术史学会、中国科学院数学研究所、中国科学院自然科学史研究所赠送了匾牌。
秦九韶生平
秦九韶（1208—1268），字道古，四川普州（今安岳）人，嘉定元年（1208）春诞生在普州（1）、（2），绍定二年（1229）十月，秦九韶擢郪县县尉（3）、（4），绍定四年（1231）八月，秦九韶参与魏了翁平抑泸州蛮夷，葺其城楼橹雉堞（5），绍定五年（1232）八月乙丑进士（6）、（7），绍定六年，秦九韶在魏了翁带领吴潜等督视潼川府路、成都府路时认识吴潜，魏了翁和吴潜同秦九韶去拜望病中的许奕（8）、（9）。端平三年（1236）一月，秦九韶擢升湖北蕲州（今湖北蕲春县）通判（10）、（11），嘉熙元年（1237）年秋，秦九韶知和州（今安徽和县）（12）、（13）。嘉熙二年（1238），秦九韶回临安丁父忧（14），秦九韶在杭州丁父忧期中，发现西溪两岸的群众过河很不方便，在西溪上设计修建一座桥，名“西溪桥”，数学家朱世杰为纪念秦九韶，将桥命名为“道古桥”（15）、（16）。嘉熙三年（1239），秦九韶在杭州处理完父亲的后事之后，便和母亲、妻子回到湖州西门外父亲早年备置的宅第，继续丁父忧（17）。秦九韶在湖州丁父忧期中，与知庆元府（浙江宁波）吴潜交尤稔（18），着手改建父亲备置的住宅（19）。淳祐三年六月，吴潜回湖州丁母忧，秦九韶与被夺官的吴潜交往更是密切（20）。淳祐四年（1244），秦九韶以通直郎出任建康（南京）府通判，十一月，秦九韶丁母忧，解官离任，（21）回湖州为近八旬的母亲守灵，将潜心研究、用于实践中的数学成果，著书《数学大略》。此时，吴潜也在湖州丁母忧，两人交往甚犹。淳祐八年（1248），《数学大略》得荐于朝（22）、（23）。淳祐九年（1249），目录学家陈振孙，在编书目时向秦九韶请教（24）、（25），淳祐十年年（1250），秦九韶卸任建康通判，出任苏州州守。宝祐二年（1254），九韶出任江宁（江苏南京）府知府、沿江制置司参议官，管理江南十府粮道（26），宝祐四年去职。宝祐六年（1258），秦九韶由贾似道荐于李曾伯为琼州守，凡数月去之（27）。开庆元年（1259）十月，吴潜第二次入相，秦九韶有江东（江苏南京）议幕之除。又除司农丞前去平江（府治在今苏州市）措置米餫，俱以事罢（28）。景定元年（1260），秦九韶知临江军（江西清江县西临江镇，南宋为临江军，辖清江、新喻、等县）（29）。景定二年（1261）六月，秦九韶广东梅州知军州事。咸淳四年（1268）二月（30），秦九韶在梅州治政近六年左右，得知朝廷为吴潜追复爵禄，了却心中惦念的沉冤，在梅州辞世，时年六十一岁。
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秦九韶主要数学成就
1、秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著
秦九韶潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，所写成的世界数学名著《数学九章》，《癸辛杂识续集》称作《数学大略》，《永乐大典》称作《数学九章》。全书九章十八卷，九章九类：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问）共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，给出答案；“术曰”，阐述解题原理与步骤；“草曰”，给出详细的解题过程。此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的最高水平。我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》（1247年）是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术（不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。”
2、秦九韶的“大衍求一术”，领先高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”
秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无尚荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。
3、秦九韶的任意次方程的数值解领先霍纳572年
秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳（W·G·Horner，1786—1837年）的同样解法早572年。秦九韶的正负方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。
此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年布丢（Buteo，约1490—1570年，法国）给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。
秦九韶还创用了“三斜求积术”等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式，与海伦（Heron，公元50年前后）公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有现实意义。秦九韶还在十八卷77问“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法，至今仍有意义。
大衍求一术
中国古代求解一类大衍问题的方法。大衍问题源于《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。宋代数学家秦九韶在《数书九章》（1247年成书）中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术。德国数学家C.F.高斯是在1801年才建立起同余理论的，大衍求一术反映了中国古代数学的高度成就。
中国剩余定理
中国剩余定理
民间传说着一则故事——“韩信点兵”。
秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
首先我们先求3、5、7、的最小公倍数105（注：因为3、5、7为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），乘以10,然後再加23，得1073（人）。
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.
① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
解：除以3余2的数有：
2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….
它们除以12的余数是：
2，5，8，11，2，5，8，11，….
除以4余1的数有：
1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….
它们除以12的余数是：
1， 5， 9， 1， 5， 9，….
一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.
如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是 5＋12×整数，
整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.
②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.
解：先列出除以3余2的数：
2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，
再列出除以5余3的数：
3， 8， 13， 18， 23， 28，….
这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23，38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30，…，
就得出符合题目条件的最小数是23.
事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.
那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是105×10+23=1073人
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」
答曰：「二十三」
术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（ChineseRemainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
秦九韶算法
把一个n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形式：
f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0]
=(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0]
=((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0]
=......
=(......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
v[1]=a[n]x+a[n-1] 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v[2]=v[1]x+a[n-2] v[3]=v[2]x+a[n-3]
...... v[n]=v[n-1]x+a[0]
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值（注：中括号里的数表示下标)上述方法称为秦九韶法。到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法。
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附录《秦九韶评述》
秦九韶的少年时代
一、秦九韶出生
秦九韶出生在南宋，父秦季槱，字宏父，普州人，绍熙四年（1193），与乔行简、崔与之、陈亮等同年登进士第。庆元三年（1197）丁乙，秦季槱接替宇文子震出知潼川府，嘉泰四年（1204）癸亥，秦季槱回普州丁父忧，杨辅接替秦季槱知潼川府（31），开禧三年（1207）仲冬，秦季槱丁父忧除，奉诏回朝廷，任秘书省秘阁（32）。嘉定五年（1212）六月，秦季槱接替刘光祖知巴州，很有可能，秦季槱此时才将母亲、妻子和秦九韶接到巴州团聚。嘉定十二年三月乙亥，兴元军士权兴等作乱，秦季槱守巴州失陷，他才和母亲、妻子、秦九韶回到临安。嘉定十五年后，擢升工部郎中、秘书少监兼国史院编修官、实录检讨官、直显谟阁，宝庆元年六月，以直显谟阁知潼川府，绍定二年五月（1229），秦季槱以显谟阁奉祠临安府，许奕除宝谟阁直学士知潼川府（33）。嘉熙二年（1238），秦季槱在临安辞世。
二、九韶“早岁侍亲中都，因得访习于太史”的学习生活
秦季槱回朝廷相继做了工部郎中和秘书少监，给秦九韶提供了良好的学习环境。秦九韶充分利用父亲掌管天下城郭、宫室、舟车、器械、符印、钱币、山泽、苑囿、河渠之政、营造工程、皇家古今经籍图书、国史实录、天文历数之事等有利条件和机会，集中精力，向‘太史局的吴泽、靳大声、杨忠辅、刘孝荣等有学识的太史、官吏、学者学习，使之成为博学多能的青年学者。”秦季槱三位同庚（同生于淳熙五年，即1178年）、同年登进士甲科的挚友许奕、魏了翁、真德秀，既是南宋敢于直面朝廷腐败，敢于抨击史弥远、贾似道等奸臣，主战抗击外来入侵的忠臣，又学识渊博，秦季槱比许奕、真德秀、魏了翁早六年入士及第，论年龄为长。他们四人同时立朝，政治倾向相同，都忠臣良相，有着特殊的四方关系，还是秦九韶的长者，秦季槱必然会恭请挚友为子师，督促秦九韶虚心向他们学习渊博精深的知识，三位长者对秦九韶的关心、呵护自然是不言而喻，且魏了翁，“少长，英悟绝出，日诵千余言，过目不再览，乡里称为神童。年十五，著韩愈论，抑扬顿挫，有作者风”（34）。秦九韶年少“不闲於艺，因得访于太史，又尝从隐君子受数学”、“性极机巧，星象、音律、算术以至营造等事，无不精究”（35），两人少时天赋、性格极其相似，魏了翁必然更是喜欢和器重秦九韶，做他的良师益友。聪慧好学的秦九韶，不仅潜心向真德秀、魏了翁、许奕学习诗词、天文、祭祀、历法等知识，十分崇敬他们的刚直不阿的道德情操，学习他们对国事的忠悃，对奸臣的愤激（36）。
秦九韶虚心向叶适学习哲学、文学、政论，尤其是叶适“强调‘道’存在于事物本身之中，‘物之所在，道则在焉’。提倡对事实作实际考察：‘夫与折衷天下之义理，必尽考详天下之事物而后不谬’”等思想对秦九韶影响很深（37）。数年后，秦九韶“数数之传，以实为体”（38）的论断经典，应该说是受叶适“夫与折衷天下之义理，必尽考详天下之事物而后不谬”思想的极大影响。或许就是叶适“‘道’存在于事物本身之中，‘物之所在，道则在焉’”这一哲学思想在数学上的演进。同时，秦九韶还虚心向杨简学习诗词、历法和哲学思想，尤其是“心即是道，宇宙的变化即人心的变化过程，以明心为修养之本”等哲学思想体悟很深。秦九韶还拜李梅亭为师，学习骈俪、诗词、游戏、毬马、弓剑（39）、（40），后来李刘与秦九韶成为朋友，经常有来往（41）。
秦九韶的数学启蒙之师是隐君子陈元靓。绍定三年之前，陈元靓已经有瘾君子之称，他和朱鉴等一起在临安的机会最多，他看的书极多，尤其是新书，对数学很有研究，到过文化发达的城市，居处距临安不远，去临安不是很困难，秦九韶拜师向他学习数学就是情理之中的事情，“朱熹、陈元靓都是道学家，或者说对秦九韶有影响，秦认为‘数与道非二本’的‘道’可能是通过瘾君子陈元靓学来的（42）。应该说：秦九韶随父亲在临安期间的数年间，已经把全部精力用在学习上。他正是这样通过向多方面的人学习，才逐渐成为一名学识广博的青年学者。
秦九韶的数学成就
宋理宗淳祐四年（1244年），十一月，秦九韶解官建康通判，回湖州丁母忧，一边为母亲守灵，一边把自己几十年勤奋学习、苦心钻研、实践、总结的数学成就结晶，精选出来的较有代表性的81个问题，分为9类，每类9题，编辑成18卷，淳祐七年，世界最高水平的数学名著《数书九章》成书。秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，达到了当时世界数学的最高水平。
秦九韶在前人工作的基础上，提出一套完整的利用随乘随加逐步求出高次方程正根的程序，亦称“正负开方术”，现称秦九韶法。这也是“增乘开方法”的主要特点。有人说，计算机发明以后，解方程变得有趣了．确实是这样，秦九韶的高次方程数值解法，可以毫无困难地转化为计算机程序。在《数书九章》中，秦九韶列举了20多个解方程问题，次数最高达10次．除一般方法外，还讨论了“投胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”等特殊情形，并将其广泛应用于面积、体积、测量等方面的实际问题．在西方，关于高次方程数值解法的探讨，经历了漫长的历史过程，直到1840年，意大利数学家P．鲁菲尼(Ruffini，1765-1822)才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理数根的近似值问题，而1819年英国数学家W．G．霍纳(Horner，1786—1837)在英国皇家学会发表的论文“用连续逼近法解任何次数字方程的新方法”中，才提出与增乘开方法演算步骤相同的算法，后被称为“霍纳法”。秦九韶的成就要比鲁菲尼和霍纳早五六百年。
秦九韶对于一次同余组解法的理论概括，是他在数学史上的另一杰出贡献．中算家对于一次同余式问题解法的研究是适应天文学家推算上元积年的需要而产生的．最早见于记载的一次同余问题是《孙子算经》中的“物不知数问题”(亦称“孙子问题”)：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几有何？”这相当于求解一次同余组：
秦九韶的大衍求一术与他的高次方程数值解法一样，简洁、明确、带有很强的机械性，其程序亦可毫无因难地转化为算法语言，用计算机来实现．在《数书九章》中，秦九韶通过大量例题，如“古历会积”、“治历演纪”“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计地”等等，展示了大衍求一术在解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题中的广泛应用．由于在许多问题中，模数Ai并非两两互素，而中国传统数学没有素数概念，所以将模数化为两两互素是相当困难的问题．秦九韶所设计的将模数比为两两互素的算法，尽管还不完善，但仍比较成功地解决了这一难题，有人称之为“没有素数的素数论”。综观他在求解一次同余组问题的各项成就，正如中科院研究员李文林、袁向东所说：“所有这些系统的理论，周密的考虑，即使以今天的眼光看来也很不简单，充分显示了秦九韶高超的数学水平和计算技巧。”在西方，最早接触一次同余式的是意大利数学家L．斐波那契(Fibonacci，约1170-1250)。他在《算盘书》中给出了两个一次同余问题，但没有一般算法．直到18—19世纪，L．欧拉(Euler，1743)、G．F．高斯(Gauss，1801)才对一次同余组进行深入研究，重新获得与中国剩余定理相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。1852年，英国传教士、汉学家伟烈亚力(A．Wylie，1815-1887)发表《中国数学科学札记》(Jottingson the science of Chinesearithmetic)，其中谈到了大衍求一术．从1856年到1876年，德国人L．马蒂生(Matthiessen，1830-1906)等西方学者又多次指出大衍求一术原理与高斯方法的一致性，从而更加引起了欧洲学者的瞩目．德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。《数书九章》中，除了前面提到的大衍求一术和正负开方术两项重要成就外，还记载了不少其他方面的成就．例如，他改进了线性方程组的解法，普遍应用互乘相消法代替传统的直除法，已同今天所用的方法完全一致；在开方中，他发展了刘徽开方不尽求微数的思想，最早使用十进小数来表示无理根的近似值；他对于《九章算术》和《海岛算经》的勾股测量术也多所阐发；他在几何方面的另一项杰出成果是“三斜求积术”，即已知三角形三边之长求其面积的公式．
《数书九章》的内容非常丰富，我们不仅可以找到数学和天文历法乃至雨雪量等方面的珍贵资料，而且还可以从中了解到南宋时期户口增长、耕地扩展、赋税、利贷、度量衡以及货币流通、海外贸易等等社会经济领域的真实情况。
秦九韶的哲学思想和数学思想
关于秦九韶的哲学思想和数学思想，显然与宋代儒学中的道学学派一致。他明确指出“数与道非二本也”，再加上数学实践的切身体会，使他对于数学的重要性产生了较为清楚的认识。秦九韶高度评价数学的作用，反对轻贱数学的世俗看法。他说，数学研究“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物，讵容以浅近窥哉！”秦九韶将数学的应用概括为大、小两个方面，实际上继承了中国传统数学思想关于数学的作用的论述。然而，秦九韶通过自己的数学研究实践，认识到“所谓通神明，顺性命，固肤末于见”，而将自己的才智专注于“经世务，类万物”的“小者”上，十分重视和注意搜求天文历法、生产、生活、商业贸易以及军事活动中的数学问题，“设为问答，以拟于用”，尽力满足社会实践的需要，并告诫人们要学好数学，精于计算，以避免由于计算错误而引起的“财蠹力伤”等等不良后果。古今中外，许多人为文做事，尤其是在“神明”、“性命”这类问题上，常常不懂装懂，自欺欺人。秦九韶与此相反，坦诚地承认自己对“大者”的体会十分肤浅。在中国古代大数学家中，只有秦九韶在对数学的作用的认识上如此坦率，反映了他具有不慕虚荣、实事求是，“知之为知之，不知为不知”的科学精神（43）。《数书九章序》还集中体现了秦九韶关心国计民生，体察民间疾苦，反对政府和豪强的横征暴敛，主张施仁政，秦九韶恪守传统道德的恕道，将自心比人心，认为下层受欺压、盘剥的民众需要仁政，就像自己溺水需要救援,自己饥饿需要吃东西一样紧迫。同时，秦九韶不甘寂寞，在国难当头与乱世之中，在政治腐败、黑暗之时，不去避世免祸，而是企图通过“嗜进谋身”，以自己的知识为社会服务，他主张抗金、抗蒙（44），站在董槐、魏了翁、乔行简、崔与之、吴潜等抗战派一边，为抗金、抗蒙战争效力。尤其是深深卷入了统治集团的内部斗争，在投降派贾似道与吴潜的斗争中，他属于抗战派吴潜的营垒，引起了贾似道、刘克庄、周密辈的嫉恨，被吴潜冤案株连，遭到诋毁，贬逐；刘克庄、周密的文字又流传到后世，人们不察，铸成了千古奇冤。现在是该将被颠倒的秦九韶的形象颠倒过来的时候了（45）。
总之，秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新，既关心国计民生，体察民间疾苦，主张施仁政，又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。清代著名数学家陆心源（1834－1894）称赞说：“秦九韶能于举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。”德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿(G"Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。
参考文献
（1）乔行简词《贺秦秘阁季槱得子》，《孔山文集·拾粹》（乔行简《孔山文集》已佚。[清]金华人将《全宋诗》、《全宋文》等所有收录和引用乔行简《孔山文集》的文萃，辑成乔行简《孔山文集·拾粹》，[清]光绪二十一年（1895年）
（2）杨国选《秦九韶生卒约年新考》
（3）杨国选2004年湖州全国全国秦九韶学术研讨会大会学术报告论文《秦九韶在四川》；
（4）明·嘉靖29年（1550年）《郪县志》卷八
（5）绍定四年（1231）八月，进宝章阁待制、潼川路安抚使、知泸州。泸大藩，控制边面二千里，而武备不修，城郭不治。了翁乃奏葺其城楼橹（橹：这里指船只渡口）雉堞（雉堞：zhidie：古代城墙上成齿状的矮墙），增置器械，教习牌手，申严军律，兴学校，蠲（juan免除）宿负，复社仓，创义塚），建养济院。居数月，百废俱举。弥远薨（1233），上亲庶政，进华文阁待制，赐金带，因其任。”《宋史》·三十七·传·儒林七·魏了翁
（6）绍定五年（1232）八月乙丑，赐进士徐元杰……秦九韶等四百九十三人登科及第，出身有差。《宋史》卷四十一"理宗纪797页
（7）《徐元杰传》、徐元杰《忠愍遗集》卷十八
（8）“右丞相郑清之和参知政事兼同知枢密院事乔行简，向宋理宗保荐魏了翁，擢端明殿学士、同签枢密院事督视京湖军马，帅参谋官吴潜、参议官赵善翰、马光祖，到南宋边陲利州路、潼川府路、成都府路督视。”（《宋史》卷二百一十四·宰辅五·5612页）（《宋史》三十七·传·儒林七·魏了翁12965页）
（9）魏了翁在督视潼川府路、成都府路时，和吴潜、秦九韶同去拜望病中的许奕，话边陲治理（《钦定四库全书》集部112别类魏了翁《鹤山集》卷九十一《哭许侍郎奕文》）
（10）杨国选《秦九韶在蕲州》
（11）南宋中书舍人刘克庄《后村先生大全集》卷八十一《缴秦九韶知临江军状》
（12）杨国选《秦九韶生平年谱考》
（13）南宋中书舍人刘克庄《后村先生大全集》卷八十一《缴秦九韶知临江军状》
（14）杨国选《秦九韶生平年谱考》
（15）《杭州市市志》“道古桥，杭大路西侧之西溪路上，长8.4米，宽6.5米，石拱桥，宋代嘉熙年间（1237～1240）”道古建造。元人朱世杰为纪念建桥人道古，书镌‘道古桥’。咸淳（注：宋度宗年号1265～1274年）”《临安志》卷二十一：“‘道古桥，本府试院东’。清嘉庆八年（1803）九月重建，桥栏板上又重建石刻”
（16）杨国选《道古桥的寻访和考究》
（17）李增伯在《代回潼川秦守贺生日》诗：“……已办霅水松江之钓，尚供祁山斜谷之屯……”
（18）“嘉熙元年（1237）六月丙午，以吴潜为工部侍郎知庆元府（浙江宁波）、沿海制置使。嘉熙二年六月，以吴潜为淮东总领财赋、知镇江府（江苏镇江）。嘉熙三年三月辛未朔，以吴潜为敷文阁直学士、沿海制置使兼知庆元府（浙江宁波）。五月，以吴潜为兵部尚书、浙西制置使、知镇江府。”（《宋史》·本纪第四十二·理宗·二809、820、821、823页）
（19）周密《癸辛杂识·续集·秦九韶》
（20）淳祐二年（1242）五月，豪臣言之建宁府吴潜有三罪，诏夺职，罢新职。”（《宋史》·本纪第四十二·理宗·二823页）
（21）《景定建康志》卷二十四，官守志—通判厅，“东厅题名：秦九韶，通直郎，淳祐四年八月到任，十一月丁母忧解官离任。”
（22）周密《癸辛杂识》记载：秦九韶‘或以历荐于朝，得对，有奏稿及近所述《数学大略》’
（23）是年，秦九韶‘或以历荐于朝，得对，有奏稿及近所述《数学大略》’。李迪《秦九韶传略》
（24）中科院数学研究所研究院郭书春《秦九韶—将数学进之于道》：“淳祐九年，陈振孙家居安吉州（湖州），断定秦九韶会晤陈振孙在是年。”
（25）《中国数学通史》宋元卷·秦九韶：“与秦九韶同时代的目录学家陈振孙，在编书目时向秦九韶请教，特别是历法方面的书。”
（26）《景定建康志》卷二十五官守志二，诸司寓治制置司：“宝祐续题名记：宝祐二年六月既望金华王野林士集：参议，宝祐吴蒙、李仲鳌、秦九韶、印应雷……
（27）（台湾版《文渊钦定四库全书》集部118别类·李曾伯《可斋续稿后》卷六：李增伯给皇帝的奏折《回宣谕兵粮奏》、《回奏宣谕》
（28）宋刘克庄《后村先生大全集》卷八十一：开庆元年（1259）十月，吴潜第二次入相，秦九韶有江东（江苏南京）议幕之除。又除司农丞前去平江（府治在今苏州市）措置米餫（yun运粮食），俱以事罢。
（29）南宋中书舍人刘克庄《后村先生大全集》卷八十一《缴秦九韶知临江军状》
（30）杨国选《秦九韶的生卒约年新考》
（31）《宋川陕大郡守臣易替考》第80页
（32）乔行简《孔山文集》卷十三：《贺秦秘阁季槱得子》‘探春到。岷儒听莺报，玉燕来早。正韶之眠重，……戊辰四月乙卯’”
（33）明．嘉靖《潼川府志》卷20．官绩；（《宋史》三十五．列传一百五十六．许奕
（34）《宋史》·三十七·传·儒林七·魏了翁
（35）周密《癸辛杂识》秦九韶
（36）“向南宋著名理学家、刚直不阿的有识忠臣真德秀、魏了翁学习，尤其是真德秀、魏了翁的品格，他们对国事的忠悃，影响秦九韶尤深。”《中国通史》第七卷1920页，《中国数学通史》宋元卷·第二章《秦九韶》
（37）《中国通史》第七卷·叶适
（38）秦九韶《数书九章序》
（39）周密《癸辛杂识》秦九韶
（40）《中兴以来绝妙词选》卷八：“李公甫名刘，号梅亭。
（41）著名数学史家李迪《秦九韶传略》：“秦季槱与李刘是同事，挚友，秦九韶向李梅亭学习骈俪诗词是情理中事，后来李刘与秦九韶成为朋友，经常有来往。”
（42）著名数学史家李迪《秦九韶传略》
（43）秦九韶的数学成就均参考《世界著名数学家传记》上集《秦九韶》
（44）中科院自然科学史研究所研究员、著名数学史家郭书春《重新品评秦九韶》
（45）中科院自然科学史研究所研究员、著名数学史家郭书春《重新品评秦九韶》
注：《秦九韶简评》引自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_4072badf010007bx.html
