爱华网把反例演绎得更精彩
| 来源： 作者：叶天荣 |
题目1：体积相等的两个长方体表面积也一定相等。题目2：表面积相等的两个长方体体积也一定相等。请判断上述的说法对吗？如果认为是错误的，请举出反例，并归纳出举反例的一般方法。
题目1的说法是错误的，即体积相等的两个长方体表面积不一定相等，譬如说一个长方体的长、宽、高分别是4、3、2厘米，那么它的体积是4×3×2=24立方厘米，表面积是（4×3＋4×2＋2×3）×2=26×2=52平方厘米，另一个和它体积相等的长方体的体积24立方厘米可以分解成长、宽、高分别是2、2、6厘米，这时它的表面积却是28×2=56平方厘米。当然长、宽、高也可以是8、3、1厘米，但它的表面积却是35×2=70平方厘米。由此可见体积相等的两个长方体表面积不一定相等。举反例的一般方法是将体积分解成三个因数相乘的形式，就可以得到长、宽、高的长度分别是多少。上述反例仅在整数范畴内，如扩大到小数、分数范畴，可以说它有无数组长、宽、高。
题目2的说法也是错误的，但举此反例就没有上述情况简单，所举数据凑巧可以出现；如果不凑巧，那么还真难找呢？所以一定要归纳出举反例的一般方法，可以避免无目的的乱凑。
根据需要我们将长方体分成二种类型：一种是二个面是正方形，另四个面是长方形的长方体，另一种是六个面都是长方形的长方体。
一个长方体的长、宽、高分别是4、4、8厘米，这时它的底面是正方形，表面积是80×2=160平方厘米，体积是4×4×8=128立方厘米。举反例时另一个长方体的表面积也应是160平方厘米，而它的体积由另一组长、宽、高而定，我们任意假设它的长=宽=8厘米，则它的底面积是8×8=64平方厘米，长方体的前面与右面面积之和是160÷2－64=16平方厘米，因为长=宽=8厘米，前、右面面积又相等，所以前面面积=16÷2=8平方厘米，高=8÷8=1厘米，即长、宽、高分别为8、8、1厘米，此时的表面积仍是80×2=160平方厘米，而体积却是8×8×1=64立方厘米。
归纳为一般方法为：（表面积的一半－底面积）÷2÷长=高
当长、宽、高分别是8、6、4厘米时，这时长方体的六个面都是长方形，它的体积是8×6×4=192立方厘米，表面积是104×2=208平方厘米。举反例时另一个长方体的表面积也看作208平方厘米，它的体积则应由另一组长、宽、高而定。我们任意假设长与宽分 别为10、2厘米，那么底面积为10×2=20平方厘米，而前面和右面面积之和为104-20=84平方厘米，所以高=84÷（10＋2）=7厘米，这时的体积为10×2×7=140立方厘米。
上述的结果是开放的，它的结果不是唯一的，长、宽、高可能是整数，也可能是小数，甚至是分数，但无论怎样，表面积相等的两个长方体的体积就是不一定相等，归纳举反例的一般方法为：（表面积的一半－长×宽）÷（长＋宽）=高，利用这种方法就可以求出表面积一定时长、宽、高另一种情况的反例。
事实上长方体中的底面是正方形属特例，也可以纳入六个面都是长方形的情况之中，所以归纳二种方法也可以统一为后一种方法即：（表面积的一半－长×宽）÷（长＋宽）=高。
