《抽屉原理》的第1课时 抽屉原理练习题及答案

自己上过、也曾听过其他教师执教《抽屉原理》一课。在该内容的教、学中，学生往往很难透彻理解“总有、至少”的意思。而教师为了让学生明白其意思、掌握其求法，可谓是“想千方设百计”。尽管如此，学生却依然“雾里看花”，而导致教师“愁在心头”。为此，我一直在思索、寻求一种能把这节课上的轻松、简明易懂的方法。现将自己的教学实践与所思浅呈出来，与同行探讨。

教材简析：

《抽屉原理》是人教版课标操作教材六年级下册p70-p73页数学广角内容，它主要研究的是与“存在性”有关的一类数学问题，如3名学生中，一定有2名学生同一个性别；367名学生过生日，一定有2个或2个以上的同学在同一天过生日……在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，就称之为“抽屉原理”。

教材这部分内容由3个例题和一个练习组成，分3课时完成（根据实际情况也可划分为2课时）。它借助3个例题呈现了抽屉原理的2种基本形式：

【原理1】如果把a+1只鸽子分成a个笼子，那么不管怎么分，都存在一个笼子，其中至少有两只鸽子。

【原理2】如果有a个笼子，Ka+1只鸽子，那么不管怎么分，至少有一个笼子里有K+1只鸽子。

具体编排如下：

通过课时主题图可以看出：教材编排十分注重以“操作、观察、交流、推理、表述”等学习方式，引导学生经历“数学证明”的过程，理解“抽屉原理”隐藏和蕴含的数学方法，培养“模型”思想，在建模过程中引导学生学会用一般性的数学方法思考问题，发展学生解决问题的能力。

认知基础分析：

在日常生活中，在学生的身边，“抽屉原理”的应用例子很多。除了前面提到的，还有，如：把3个足球放进2个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子至少放进2个或2个以上的足球。又如：任意13个人中,至少有2个人或2个以上的人是在同一个月份出生的。可见，这类问题在学生现实生活中是有一定感性经验的。

教学内容：六年级下册第五单元数学广角p70-p72：例1、例2

教学目标：

1、在具体情境中感知“抽屉原理”的存在与应用。

2、从具体问题情景的结果分析入手，引导经历“抽屉原理”的探究过程，理解“总有和至少”的意思，掌握“至少数”的求法。

3、通过操作、观察、推理、交流、表述等学习活动，发展学生的推理能力，构建公式模型，渗透建模思想。

4、会用“抽屉原理”解决简单的实际问题，通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

教学重难点：理解“总有和至少”的意思、构建公式模型求“至少数”

教具准备：课件、3个文具盒、4支铅笔

教学过程

一、开门见山，宣读课题，引出内容

出示课题：“抽屉”

师：认识这两个字吗？我们一起大声读出它。

问：在生活中，抽屉是用来干什么的？（装东西）

师：对，抽屉是用来装东西的，不过，生活中除了抽屉，能装东西的容器还有很多，那装东西的事件里面隐藏着什么学问呢？这节课我们就一起来研究“抽屉原理”。【板书：原理】

[教学思考：“抽屉”是学生非常熟悉的物体，生活中见的多，用的多。开课和学生齐读课题，然后用简洁的语言说明抽屉的作用，以“装东西的事件里面隐藏着什么学问呢？”宣布探究内容。由于好奇，学生会质疑：抽屉还有学问？这种“熟悉而又陌生”、“一知还有不解”的心理会促使学生产生强烈的继续探究欲望。]

二、操作验证，经历过程，发现规律

1、实物操作，初次感知“总有、至少”

把3支笔装进2个笔筒。

（1）动手分一分，看看有几种不同的分法。

（2）指名边演示、边口述、边课件显示：

问：谁看清楚了每种分法他是怎样拿、放铅笔的？边说边做给大家看。

生1：第一种是一次拿3支放到第一个笔筒里。

生2：第二种是先拿2支放到第一个笔筒里，再把剩下的1支放到第二个笔筒里。

师：第二种情况还有不同的拿、放方法吗？

生：先把每个笔筒各放1支，然后再把剩下的1支放进其中的一个笔筒。

[随生的回答，板书图示]

师：[引导学生看图]这种拿放方法，

可以让我们一目了然的看出：3支铅笔放进2个笔筒，不管怎么装，总有一个笔筒会装进2支铅笔。

[板书：总有]

问：“总有”是什么意思？

生：就是一定会有的意思。

[课件显示]

师：[引导学生看图]通过分的结果可以看出：把3支铅笔装进2个笔筒，虽然分法不同，拿、放的过程不同，但是不管怎么分，每种分法中总有一个笔筒会装进2支或2支以上的铅笔。这时，我们就说：“3支铅笔装进2个笔筒，不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进2支铅笔。”

【课件显示表格，并完善内容（师在“总有”、“至少”下面加着重号，以强调引起重视）】

[教学思考：从最小数据开始操作研究，便于让学生简洁、明了的经历不同的拿、放过程,使学生“一看就懂”，为正确理解“至少”作铺垫；同时体现数学建模简约性原则。]

2、勾忆“平均分”，切入新知“生长点”

把4支铅笔装进3个笔筒。

（1）动手分一分，看看有几种不同的分装法，说一说，你是怎么拿的。

（2）全班交流：指名边演示，边口述，教师根据交流有序显示不同的分法：

师：在这些分法中，你能发现什么吗？

生1：第三种两个笔筒都装了2支，一样多。

生2：第三种、第四种分法中，都有一个笔筒装了2支。

生3：第一、二种分法中，有一个笔筒的铅笔数都多于2支。

师：谁能综合表述一下这些同学的发现？

生：把4支铅笔装进3个笔筒，不管怎么分，总有一个笔筒会装进2支或2支以上的铅笔。

师：说得真好。这时，我们就可以说：把4支铅笔装进3个笔筒，不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进2支铅笔。

[师边说边完善表格里的内容]

师：刚才有同学们提到了“一样多”这几个字，你能根据这几个字联想起我们学过的什么知识吗？

生：在除法中，每份分的一样多，就是平均分。 [板书：平均分]

师：那我们能把4支铅笔平均分到3个笔筒吗？会遇到什么问题？

学生操作，指名演示给大家看。

生：我先把每个笔筒各放进1只，但是还余下了1支铅笔。然后把余下的1支铅笔在放进其中任意一个笔筒。

师：是这样吗？随着学生的操作表述，师用图示板书：

师：[引导学生看图示]这种先平均分总数，再分余数的方法，我们一目了然就可以看出：“4只笔装进3个笔筒，不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进2支铅笔”。

完善板书：

[教学思考:教学中要善于捕捉学生学习活动中出现的与探究新知有利的一切资源，以促进教学目标的有效达成。如：这一环节，学生动手摆放铅笔后，发现、交流：有2个笔筒装的一样多，都是2支。此时，我抓住“一样多”这个词，引导学生联想到“平均分”时，每份要分的“一样多”，从而诱导学生发现4（2、1、1）这种分法不仅可以2支、1支、1支的拿，还可以先1支、1支、1支的拿，然后再装余下的1支。最后再借助简明的图示表述不同的分法，把学生的“逐次罗列”繁琐思维慢慢转移到“平均分”的简洁思维上来，为后面构建公式模型作铺垫。]

3、自主合作，再次感知、理解“至少”的意思

把5支铅笔装进3个笔筒。

（1）同桌合作：动手分，用“塔式”分解法记录出所有不同的分装法，说一说你们的发现。[建议：罗列时注意有序操作和记录]

（2）全班交流：

①指名投影展示记录的分法。[教师板书]

师：罗列出所有的不同分法，我们把这种方法称为“枚举法”。

[板书：枚举法]

②对比观察罗列出的分法，你有什么发现？

生1：我发现每种分法中都有一个笔筒装进了2支或2支以上的铅笔。

生2：我发现每种分法中，笔筒中装得最多的支数分别是5、4、3、2支。[师：板书：最多 （并用圆圈圈出5、4、3、2）]

师：在每种分法中，你发现了哪个笔筒中铅笔支数最多，那在这些最多的支数中，谁又是最少的呢？

生：2支最少。[师：板书：最少（再次用方框圈出2）]

师：像我们刚才这样，在罗列的所有分法中，先找出每种分法中笔筒装铅笔的最多数，然后再找出的最多数中的最少数，这个数就是我们要认识的“至少”数。[板书：至少]

师：现在，能用自己的话说一说什么是“至少”吗？

生：就是先找最多，然后在最多的数中再找最少，这个数就是至少。

师：谁听清楚了？谁还能和他说的一样好？[指多名学生说]

师：“至少”数，我们可以这样精要、简明的说它是“最多的最少”。 [完善板书：最多中的最少]

生3：我还发现“2、2、1”的分法，可以用“平均分”的方法分。也就是先每个笔筒各放1支，然后把余下的2支再平分到任意的2个笔筒中。[随生的交流，板书图示]

师：通过这种分法，我们可以较快的知道：“5支铅笔装进3个笔筒，不管怎么装，总有一个笔筒至少会装进2支铅笔”。这种先平均分，再平分余数的方法，我们称为“假设法”，当待分的物品数较大时，用“假设法”更简便。[板书：假设法]

问：通过刚才的分析，我们可以得出什么结论？

生：把“5支铅笔装进3个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少装进2支铅笔”。

[完善表格]

[教学思考：“至少”到底是什么意思？这是理解抽屉原理的难点和关键点，在以往的教学经验中，学生认为“至少”就是“最少”。如果用单纯的讲解是很难让学生明白的。为了突破这个难点，我以教材为指针，给学生提供充分的实验操作、自主合作、发现交流机会，引导学生充分经历“枚举法”：找“最多中的最少”；“假设法”：先平均分总数，再平均分余数等探究活动，让学生在具体、清晰的拿、放操作中，在简明形象的图示观察中，充分经历知识的构建过程，逐步实现思维由具体形象到抽象的过渡，透彻理解“至少”的含义，有效突破教学重难点。]

4、寻找规律，构建公式模型求解“至少数”

把“5支铅笔装进2个笔筒，不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进几支铅笔？

师：请同桌合作：分一分、写一写、想一想、说一说,用刚才的方法尝试着得出结果。

生尝试探究后交流。

生1：“5支铅笔装进2个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少装进3支铅笔”。

生2：我同意他的结论。

师：说说你是怎样得出这个答案的？

生1：我先把2个笔筒都放进2支，再把余下的1支放进其中任意一个笔筒，就发现，不管怎么放，总有一个笔筒至少装进3支铅笔。[随生的回答，板书图示]

师：这位同学用的是“假设法”，先把2个笔筒各装进2支，这样就装进了4支，然后再把余下的放进其中一个笔筒。所以得出：“5支笔放进2个笔筒，不管怎么分，总有一个笔筒至少装进3支铅笔”。还有不同的方法吗？

生2：我用的是枚举法，我发现在每种分法中，最多的支数分别是5、4、3支，在5、4、3中，最少的是3支，所以我知道“5支铅笔装进2个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少装进3支铅笔”。[随生的回答，板书图示]

师：条理很清晰，现在我们可以在表格中填上自己的发现了。

[完善表格]

5、对比、感受优化的方法

师：现在我要考考同学们，看谁能够又快又对的答出我的问题！[借助表格，依次显示]

生1：

生2：

生3：

生4：

生5：

师：你们用什么方法判断的这么快？

生：用“先平均分，再分余数”方法。

问：有同学用“枚举法”吗？为什么不用“枚举法”？

生：铅笔的总支数太多了，不管是画图分析，还是用塔式法记录，都要写很多，也很费时间。

师：是啊，当待份物品数量较大的时候，用枚举法就比较麻烦，而用“假设法”就非常简便，比如把65支铅笔，装进8个笔筒，我们先假设每个笔筒各放进8支，这样就装进了64支铅笔，还余1支，把它放进8个笔筒中的任意一个笔筒中，这样就能很快知道：不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进9支铅笔。

[教学思考：枚举法是直观形象的让学生知道“至少”的来历，当数据较大时，再用枚举法就显得麻烦。因此枚举法还兼带着“抛砖引玉”的作用：引出假设法。假设法是解决该类问题的优化方法，也正是我们应该渗透给学生的思想方法。学生在对比中自然会感知到假设法的简明优越性，进而，不难发现“商+1”的规律。]

6、探究“至少”的形成过程，构建公式模型

师：我们已经会正确求解“至少”数，和同桌一起观察表中的结论，说一说“至少”数是怎样得来的？有没有更简便，更优化的方法得出“至少”数？

生讨论交流。

生1：我发现“至少”数可以用除法来计算。比如第一题用“3÷2=1（支）……1（支），再用 1+1=2”，就知道了总有一个笔筒至少会放进2支铅笔。第二题用“4÷3= 1（支）……1（支），再用1+1=2”，就知道了总有一个笔筒也至少会放进2支铅笔。

师：他的发现对不对呢？我们一起用他的方法在本上写一写，算一算。

生写后，展示。[课件完善板书]

5÷3=1（支）……2（支）1+1=2

5÷2=2（支）……1（支）2+1=3

7÷2=3（支）……1（支）3+1=4

8÷3=2（支）……2（支）2+1=3

15÷4=3（支）……3（支）3+1=4

25÷4=6（支）……1（支）6+1=7

65÷8=8（支）……1（支）8+1=9

问：计算的结果与表中的结论相同吗？关于“至少”数的求解方法，你有新发现吗？

生1：我发现“至少”数可以用我们以前学过的有余数的除法计算得到。

生2：我发现了“至少”数，就是用计算出的“商加上1”。

[板书：商+1]

……

师：同学们真是善于观察、善于思考、善于总结。综合2个同学的回答，你能用关系式表示出“至少”数的求解方法吗？

生1：被除数÷除数=商……余数至少数=商+1

生2：待分物品数÷要分的份数=每份数……余数

至少数=每份数+1

师：这两位同学的方法都很好。他们总结的方法可以帮助我们解决生活中类似的许多问题。

三、联系实际，拓展运用，巩固方法

看谁说的又快又好。

（1）23个梨分给7个人，至少有几个梨要分给一个人？

（2）在任意13人中，至少有2个人的生日在同一个月,想一想，这是为什么？

（3）31个同学做课间操要站成4行，总有1行至少要站几个人？

（4）一副扑克牌，去掉大小王，在52张牌中任意抽出5张，至少有2张牌的花色是一样的，为什么？

（5）六（一）班54个同学，要分成4组，不管怎么分，总有一个组至少要做几个同学？

[教学思考：思想方法是数学学习的灵魂和精髓。所谓思想，是指对数学知识和方法本质及其规律的认识；所谓方法，是指解决数学问题的根本策略和程序，它是数学思想的具体化反应。教学中，做为教师应“授之以渔”，教会学生用一个方法，解决多个问题，培养他们“迁移类推、举一反三、活学活用”的能力。因此，每一节课我都十分注重引导学生观察、发现、总结知识的规律、解决问题的方法，如本节课，借助有余数的除法，引导学生用操作、观察、图示、表格等方法构建解决“抽屉原理”问题的公式模型，就显的比较简明易懂；让学生遇到这类问题，觉得“有据可依”！当学生能够利用“商+1”的规律快速判断出至少数是几时，说明方法已经理解掌握，“模型”已经存在于他们的脑海了。]

四、抓住重点，精要交流，余味课外

师：把你认为在本节课中最重要的知识、认为理解最好的知识或还有疑惑的知识说给同学们听！

生1：我认为最重要得就是找至少数。我知道可以用枚举法找至少数，首先把所有的分法都罗列出来，然后找出每种分法中最多的数，最后在找出的最多的数中再找到最少的数，就是“最多中的最少”。

生2：我知道用除法就可以很快找到“至少数”。

生3：我知道“至少数”的意思，就是在分人或分物品的时候，先平均分，然后把余数再平均分，至少数就是两次平均数的和。【板书：两次平均分】

生4：我知道求“至少数”就是用“商+1”。

……

师：关于“至少数”的相关问题，早在19世纪，就有德国数学家迪里赫莱进行了研究，后来他把发现的规律、方法进行了总结，推广，并运用于解决其它数学问题，也就是我们今天学习的内容：抽屉原理，因为是他最先发现研究的，所以又称为“迪里赫莱原理”，也被称为“鸽巢原理”。

希望同学们在生活中也学会用数学的眼光观察问题、发现问题、思考问题，相信会有更多的原理出现！

[教学思考：在教学中，艺术的导入和精彩的讲授可以描绘出课堂知识的大体轮廓，使教学有其形；而课尾的总结，围绕重难点简明、精要的回味却犹如“画龙点睛”，不仅有助于学生理清知识结构，沟通内在联系，巩固理解知识，强加技能方法，还可首尾呼应，保持教学结构的完整性，促进教学过程更完美，余味课外。]

课后反思：

曾看到一位个老师发表了《把数学教的简单些》的文章，原文这样写道：我认识的一位数学老师，每次听他的课，总觉得时间过的很快，问起他的学生，学生也有这种感觉，而且都说，老师讲的很简单，很好懂。尽管如此，他教的班级数学成绩却总是最好的。于是，我向这位老师讨教上课的诀窍，这位老师说的很简单：“数学本身是复杂的，老师应该讲的简单一些。”……这段话引起我强烈的共鸣：学生缺少生活问题的处理经验，他们很难把数学学习与生活问题联系沟通起来，脱离具体的实例情景研究问题，无异于“隔山打牛”难上加难！数学本身就是抽象、深奥的，若不把它讲的简明一些，自然一些，我们的学生怎能明白和理解？这个观点深深的影响着我，并一直促使我在教学中换位思考着、探索着、改进着教学方法。《抽屉原理》一课，几年来我自己讲过也曾听其他老师讲过，可教学效果一直不如想象中的完美。经过多次的思考和尝试我认为：以“有余数的除法”作为新知教学的生长点，从小数据“分铅笔”开始，引导学生充分实践操作，通过观察、发现、交流、描述、总结等活动，把“抽屉原理”问题转化为一般的“数量问题”，把发现的方法和规律形成一个明确的关系、公式，对学生而言，在解决此类问题时“有据可依”，似乎简单一些。

经历了这一次教学思考，我深切感受到：要想收获理想的教学效果，教师首先必须在课前做到“博览群书”，装满自己的“一桶水”，对所教知识理清“来龙去脉”；其次，必须充分研究学情，清楚学生的已知和未知，估计他们学习的“障碍点”，并依此思考探究新知的“切入点”，为他们解决“障碍”找到最有效的途径；再次，必须采用操作验证、合作交流、发现总结多种学习方式、方法，和多媒体手段辅助教学，让学生充分经历知识的构建过程；最后，必须关注和巧妙处理课堂教学中的细节，才能收获成功；如：关键点、重难点的简明板书，要在恰当时机快速出现；学生交流中的关键字、词，要认真倾听，启发联想；不同的观点、重要的发现、精要的总结等等，都应让不同的学生重复、转述、用自己的话表达，依次巩固理解、体现主体……这一些的教学活动都需要教师细心发现，灵活处理。……上好一节课是不容易的，但是只要我们不断的思考，不断的改进，我相信能把课上的更好！

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