转载 长方体的表面展开图 长方体的11种展开图

【活动目标】

1．通过展开与折叠，感受立体图形与平面图形的关系：了解长方体可以按不同的方式展开成平面图形。

2．经历和体验图形的变化过程，发展空间观念，积累数学活动经验。

3．在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验，建立自信心；培养学生的分类讨论、降维、转化等数学思想。

【活动重难点】

重点：通过展开、折叠，感受立体图形与平面图形的关系；

难点：学会利用类比转化的方式分析问题、解决问题。

【设计说明】

在第1课时研究正方体的表面展开图的基础上，教师根据学生学习情况设计了长方体的表面展开图这一综合与实践活动。从知识本身来看，立体图形（尤其是长方体包装盒）在学生生活中处处可见，因此，学生对几何模型很熟悉；从学习过程来看，由于在学习§5.3展开与折叠（1）时已接触过正方体的表面展开图，因此，学生学习上有一定的知识基础和制作过程的体验；从活动经验来看，学生已初步体验到操作、思考、再操作的学习过程，这样对学习长方体的表面展开图就得心应手了。因此，本节课的教学是从学生原有的认知基础出发，以学生自主探索、合作交流为主要方式，让学生经历数学知识的形成与应用的过程。具体来说，一是要通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在思维积极的状态中进行主动探究，明确长方体的表面展开图与正方体的表面展开图之间的区别；二是通过动手操作的活动感受长方体的表面展开图与正方体的表面展开图之间的联系，为探究长方体的表面展开图的情况做铺垫；明确“怎么想”与“怎么写”之间的关系；三是通过与正方体的表面展开图的探究的类比，明确“怎么做”与“怎么想”之间的关系；四是通过积累活动经验，进一步体验“操作——思考——再操作”这一数学实验探究的过程，积累数学活动的经验。

【活动过程】

1．复习旧知，引入新课

（1）展示制作好的长方体（为了研究的方便，故统一制作长、宽、高分别为5cm、3cm、1cm的长方体）：

我们上节课研究了正方体的表面展开图，发现了它的表面展开图有11种，知道了立体图形与平面图形之间的关系。

你能说说手中的长方体是如何制作的？

（2）点明课题：由此可见，我们有必要了解长方体的表面展开图。

（通过说一说制作过程，帮助一部分用六个面制作长方体的同学发现：可以先画出长方体的表面展开图，然后再通过折叠制作长方体，一方面感受两种方法在制作时的优劣，另一方面可以自然地引入本节课的主题，即研究长方体的表面展开图。此外，这一过程可以为研究长方体的表面展开图提供一些事例。）

2．合作交流，探索新知

（1）剪一剪

请同学们拿出事先准备好的长方体，在合作小组内尽可能采用不同的剪法，把它展开成平面图形．（剪完之后，在黑板上进行展示）

（学生有了研究正方体的表面展开图的经验，所以在展成平面图形的过程中比较游刃有余。通过学生动手剪，一方面有助于学生感受长方体的表面展开图，另一方面为研究长方体的表面展开图积累素材。）

①要得到长方体的表面展开图，需要剪开多少条棱？

②长方体的表面展开图和正方体的表面展开图一样多吗？

③长方体的表面展开图有多少种？我们可以怎样研究？

（要得到长方体的表面展开图，需要剪开7条棱，学生根据展开图中未剪开的棱或展开图中“边”的条数都可以得到结论。学生根据长方体的长、宽和高与正方体的长、宽和高的区别上已感受到了长方体的表面展开图与正方体的表面展开图有区别，而且从学生动手剪开的事例中也感受到了这一点）

（3）理性分析

师：我们如何来研究？长方体的表面展开图究竟有多少种？

（通过这样的问题，让学生从已有的经验，通过与正方体的表面展开图类比，找到理性分析的方法。从而让学生从“怎么做”到“怎么想”的过渡，让学生学会实践加思考的学习方式。）

①模仿正方体的表面展开图分类研究：长方体的表面展开图可以分成哪些类型？

（通过与正方体的表面展开图类比，让学生猜想：长方体的表面展开图也可以分为1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型、3-3型。）

②具体分析：拿1-4-1型先来分析。当中的“4”，可以是怎样的4个面展开而成的？

（通过学生的思考，可以发现这四个面可以是前上后下、前右后左、上右下左，而且可能会想到每一种情况下又会有两种不同的分类。明确了本题的第一重分类，可以为研究下面的情况作有效地铺垫。）

前右后左；

（通过这样的分类，让学生感受分类的必要性，以及初步了解分类的方式。同时，让学生自主发现：每种分类中出现的两种情况经过变换可以是一样的，提高了学生的辨别能力；另一方面通过这样的探究，帮助学生化解思维中的盲点。然后在此基础上分析完成它的第二重分类。）

③深入研究：对于1-4-1型“前上后下”的展开方式深入研究

下面还剩下两个侧面，这两个侧面如何摆放可以成为长方体的表面展开图？

如果上面的1×3放在①号位置，那么另一个1×3可以放在①、②、③、④，这样可以形成4种不同的展开图。

如果上面的1×3放在②号位置，那么另一个1×3可以放在②、③、④，这样可以形成3种不同的展开图。

（以上探究过程要充分发会学生的主体性，让学生积极地自主参与，让学生自己发现得到研究的方法，学会“去伪存真”，感受到数学研究的方法和体会数学研究的乐趣。）

（4）数学归纳：对于剩下的情况我们可以做类似猜想：对于长方体的表面展开图1-4-1型共有30种情况。

（通过两次类比的学习方式，学生获得了长方体的表面展开图1-4-1型的所有情况。第一次与正方体的表面展开图类比，分析得到了长方体的表面展开图的1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型、3-3型四种类型；第二次类比正方体的表面展开图1-4-1型的类比，分析得到了长方体的表面展开图1-4-1型的所有情况。在 这一过程中学生把类比思想、分类思想演绎得淋漓精致，而且学生还学会了观察图形的特点，从而“去伪存真”。）

（5）思维延伸：对于其他的方式，你找到研究的方法了吗?

（有了前面的活动积累，解决剩余的问题对学生来说不是难事，故此处可先分组，让学生在组内交流思路，后由学生独立完成探究过程，教师巡回指导学困生。通过这一过程，一是巩固思考方法，二是此活动形式也有利于开阔学生的视野，形成一个既有独立思考，又有互相合作，广泛交流的学习氛围，培养了学生合作精神。）

①2-3-1型共有以下18种（抓住相邻三个面只有3种情况，以下只展示了一类情况6种）

②2-2-2型共有3种(抓住中间两个面只有3种情况)

③3-3型共有3种(抓住相邻三个面只有3种情况)

（以上过程的探究，可以在自主学习的基础上，再进行小组合作学习，这样更有利于学生自主掌握分类的思想方法，学会“去伪存真”的辨别能力。同时，可以根据课堂教学情况，作为课后探究的延伸与拓展。）

3.总结回顾，内化提升

1．本节课你有哪些收获?你认为重点是什么?

2．本节课所运用的学习方法对你今后学习有什么启示?谈谈你的看法。

3．你还有什么疑惑吗？

【活动反思】

本人在教学《§5.3展开与折叠》过程中，发现学生在研究正方体的表面展开图的过程中，学生浓厚的兴趣，积极探究的热情充分表明：学生在类似活动中，充满好奇心和兴趣，通过动手、动脑，能很好地培养学生做数学、学数学的能力。在课后反思的过程中，本人感到：虽然教材在长方体的表面展开图的教学上没有要求学生探索出它的所有表面展开图，但这一探究过程能很好的调动学生的学习积极心，而且探究过程中所运用到的类比学习方式、分类的数学思想方法对于学生的可持续发展而言都是非常重要的。更可贵的是，能够提供很好的“活”、“动”机会，何不尝试一下呢？通过实践，我有了以下感受：

1．活动切入了学生的兴趣点。兴趣是最好的老师。学生在对长方体的表面展开图充满好奇的情境下走进了数学综合与实践活动过程，在动手实践、动脑思考的过程中，慢慢揭开了长方体的表面展开图的“神秘面纱”，获得了成功的体验。

2．活动提高了学生的思维能力。本课从学生认知的实际情况出发，创造性地使用教材。教学过程以数学活动为载体，以启迪学生思维发展、学生数学能力为核心展开，注重“知识过程”，“过程”是丰富多彩的。为了让学生体会长方体的表面展开图的多样性，通过学生动手的实践操作先感受，其次通过与正方体的表面展开图类比，积极动脑寻求解决问题的方法，通过分类，逐步解决思维的障碍，从而找到解决问题的方法。这样不仅找到了旧知识的生长点，也让学生形成了新的认知方式，学生良好的思维方式也得以培养与提高。同时，本活动实践了《数学课程标准》中指出的““综合与实践”是以一类问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验的重要途径” 。

3.活动锻炼了不同层次的学生。在活动过程中，考虑到不同层次学生在活动中如何参与程度，所以在教学过程中创造了动手剪、动脑想等实践活动，体现了《数学课程标准》中“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。尤其是对学有余力的学生而言，思维及学习方式都得到很好地发展。

总之，《数学课程标准》把数学综合实践活动通过对内容、方法、环境等方面的改革，在学习内容上为学生的实践活动提供了条件，从教学方法上提供了保证，从环境和氛围上提供了动力，使学生有思考和表达的机会，有表达自己想法和展示自己才华的场所。但数学综合实践活动有别于传统的数学活动，在数学教学中，是一个新生事物，要切实上好数学综合实践活动课，还需要我们广大的小学数学教师努力去实践、研究，探索出一种能使学生的创新意识和实践能力都能得到较好发展的教学新模式。

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