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《九章算术》简介
九章算术卷一方田
《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书，这大约是公元一世纪的下半叶。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。
后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。
《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。
《九章算术》是中国古代数学专著，是算经十书中最重要的一种．《九章算术》上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许多学者的整理、删补和修订，大约于东汉初年（公元一世纪）成书，是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后世的古代数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学的，许多人曾为它作过注释，其中最著名的有刘徽（公元263年）、李淳风（公元656年）等人．
现传本《九章算术》成书于何时，目前众说纷纭，多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术．这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音崔cuī）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章，它们的主要内容分别是：
第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。
第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；
第三章“衰分”衰分术就是按已知的比例分配某物的方法；衰分章还介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。
第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；
第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；
第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到十五世纪末以后才形成类似的全套方法。
第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。
第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到七世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。
第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到三世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约三个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。
勾股定理即西方所指的毕达哥拉斯定理：就是在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理是初等几何中的一个基本定理。
在中国，这个定理的记载最早见于《周髀算经》（约公元前一世纪前的西汉时期），书中有一段商高答周公问中有“勾广三，股修四，经隅五”的话，意即直角三角形的两条直角边是3及4、则斜边是5；书中还记载陈子答荣方问：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之、得邪至日。”
到了三国的赵爽（赵爽，字君卿。生平不详，约生活于公元三世纪初），在他的数学文献《勾股圆方图》中，运用弦图，巧妙地证明了勾股定理的理论。他把三角形涂成红色，其面积叫“朱实”，中间正方形涂成黄色，叫做“中黄实”，也叫“差实”。又曰：“按弦图，又可勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差相乘为中黄实，加差实，亦称弦实”。
弦图
赵爽在“勾股圆方图说--”中，结合几何与代数，利用面积的运算得出勾股形的证明如下：
赵爽首先以一直角三角形之弦为边长，做出一正方形，该正方形之面积称之为“弦实”，然后再以该正方形的四个顶点做出边长为“勾+股”长度之外接正方形，再利用“对称原理”，把外面的大正方形所残留的四个直角三角形，对称到弦实面积内，所得出的四个相同大小的直角三角形称为“朱实”。如此一来，弦实部分扣除朱实之后，剩余的小正方行为“黄实”。接下来，剩下的工作就是代数部分：
三国时期魏国人刘徽，在魏景元四年编写《九章算术注》，提出了“出入相补原理”，即把图形分割若干块后，各块面积和等于原图面积，他利用“出入相补原理”，成功地证明了勾股定理。
“出入相补原理”又称“以盈补虚”或“损广补狭”，（或称为割补术）是将平面图形或立体图形分割成若干部分，将它们重新拼合成其面积或体积为已知的图形，从而解决与面积、体积有关的问题，成为中国传统数学解决面积、体积和勾股、测望问题的重要方法。它起源于《算数书》、《九章算术》编纂的时代，不过现传最早的记载在赵爽《周髀算经注》的勾股圆方图说与刘徽《九章算术注》的方田、少广、商功、勾股等章中。它基于这样两个基本的前提：将一个图形分割成若干部分，则它们全体的面积或体积之和等于原图形的面积或体积；将一个图形平移或旋转不改变其面积或体积。这两个前提在中国传统数学著作中没有表述过，是当作不言自明的真理使用的。
刘徽在《九章算术》第九章“勾股”的勾股术“勾股各自乘、并而开方除之，即弦。”作注曰：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也。合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”
“股正方形”面积＋“勾正方形”面积＝“弦正方形”面积；即是：股的平方加上勾的平方等于弦的平方，这个证明的基本原理是利用平面图形的面积，巧妙加以移、合、拼、补之后，甚至无须代数运算，而突出勾、股、弦之间的关系，刘徽利用这种方法概括成一套基本原理，称为“出入相补原理”。这个原理是把一个平面图形从一处移置到另一处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积。
他以一直角三角形之三边为基准，分别作出三个正方形，如下图所示。以勾为边之正方形称为“朱方”，以股为边之正方形称为“青方”，以弦为边之正方形则为“弦方”。然后，将朱方与青方之区域，以出入相辅之道理拼成弦方，并依面积和之关系得出：弦方＝朱方+青方也就是：
勾股定理由此得到了证明。
在《九章算术》对几何问题的处理上，可以看出我们祖先的不足，例如，“方田”里的圆面积计算公式表明，对圆周率的估算是3，这与巴比伦人的结果相当。而球体积的计算公式只有阿基米德所获得的精确值的一半，再考虑到圆周率取3，误差就更大了。不过，书中所列直线行的几何形的面积或体积的计算公式，基本上是正确的。《九章算术》的一个特色是，把几何问题算术化或代数化，正如《几何原本》把代数问题几何化。遗憾的是，书中几何问题的算法一律没有推导过程，因此只是一种实用几何。
《九章算术》总结了自先秦以来的中国古代数学，它既包含了以前已经解决了的数学问题，又有汉朝时新发现的数学成就。一般认为，它在数学史上，标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代数学体系的初期代表作。
《九章算术》问世之前的中国先秦典籍中，记录了不少数学知识，但是却没有《九章算术》的系统论述，尤其是由易到难、由浅入深、从简单到复杂的编排体例，从而形成中国传统数学的理论体系。因而后世的中国数学家，都是从此开始学习和研究，唐、宋时，为国家明令规定的教科书，北宋时由政府刊刻，又是世界上最早的印刷本数学书。
《九章算术》中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如，关于比例算法的问题，它和后来在十六世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题，在阿拉
