爱华网重温第二次数学危机开拓思维
摘要：英国科学家丹皮尔曾经说过：“在没有什么故事比科学思想发展的故事更有魅力了。”数学是历史最悠久的人类知识领域之一。本文对第二次数学危机进行重述，分析其影响及其启示，从而对我们今后学习数学有所帮助，引导人们向未知领域探索，促进数学繁荣和发展。
关键词：第二次数学危机 分析方法悖论
人类数学史上出现过三次“危机”，这实际上是数学发展中三次伟大的突破，都是人们认识领域中的变革性发展，都是人们头脑中数学认识结构的转换。第一次数学危机使数系扩展了，万物皆数的整数算术观念被动摇了，世界上竟存在着不能用整数表示的、不可通约的非比实数，被认为是“异物”的东西，成了新体系中合理的“存在物”。第二次数学危机是方法论的领域扩大了，确立了一种崭新的“分析方法”。“分析”的结果与“运算”或“证明”的结果有着同等程度的确定性。第二次数学危机先后沿续一百多年，无非是为“分析”结果的确定性寻找基础，寻求证明和建立“分析”的步骤程序。这在数学发展史上被称之为“分析中注入严密性”。第三次数学危机是人的认知领域扩展到无穷，扩大了人们的思维方式，通过对一系列悖论的研究，确立了关于无穷运算的规则。
本文将详细论述第二次数学危机并谈谈其所带来的影响及启示。
大家知道，在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。
微积分诞生以后，数学迎来一次空前的繁荣时期。18世纪被称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域，并获得了丰硕的成果。在数学本身他们有发展了微分方程的理论，无穷级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围。
18实际的数学家们知道他们的微积分概念是不清楚的，证明也不充分，但他们却自信他们的结果是正确的。为什么会是这样呢？部分答案是，有许多结果为观测和经验所证实，其中最突出的是天文学的预言，如哈雷彗星的再度出现。另一个原因是，那是的数学家确信，上帝数学化地设计了世界，而他们正在发展和揭示这种设计。可以说，这种信仰支撑着他们的精神和勇气，而丰硕的科学成果则养育着他们的心智，成为他们追求的精神食粮。
在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固，出现了越来越多的谬论和悖论。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。
虽然在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少注意到从逻辑上加强这门学科的基础，但并不是对薄弱的基础没人批评。一些数学家进行过长期的争论，并且，两位创立者本人对此学科的基本概念也不满意。对有缺陷的基础最强有力的批评来自一位非数学家，这就是著名的唯心主义哲学家贝克莱主教。他坚持：微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。我们以考察牛顿对现在称作求导数所用的方法，来弄明白这个特殊的批判。
牛顿在1704年发表了“曲线的求积”，其中他确定了 的导数，我们把牛顿的方法意译如下：
当x增长为x+0时，幂 成为 ，或 。
他们的增量分别为0和 。
这两个增量与x的增量0的比分别为1与 。
然后让增量消失，则他们的最后比将为1与 。从而 对x的变化率为 。
从引文中可以看出，偷换假设的错误是明显的。在论证的前一部分，假定0时非0的，而在论证的后一部分，他又被取为0.贝克来说：“在我们假设增量消失时，理所当然，也得假设他的大小、表达式以及其他，由于他的存在而随之而来的一切也随之消失。”他还说：“总之，不论怎样看，牛顿的流数算法是不合逻辑的’。这就是历史上著名的《贝克莱悖论》。
然而，微积分在逻辑上存在的问题毕竟是数学家的一个心病。总得想法解决这个问题。19世纪，这个问题终于解决了，微积分的逻辑基础建立起来了。这主要得益于严格的极限理论（康托尔、柯西等人创立）。
有了极限，牛顿的流数算法可以改为：
这一串式子中就没有矛盾了。
这里，关于符号“ ”的严格叙述确实不是很容易把握的。这个概念与“ ”的严格叙述在性质上叙述是一样的。最基本的是“”，亦即无穷小量 的叙述，这就是贝克莱所说的那个“鬼魂”。
我们分析一下正整数列
1，2，3，…，n,…
这实际上是一个“无穷大”（数列）最基本模型，它有以下两个特征;
1.数列中的数一个比一个大，这叫做单调递增，或者，广义的说不减；
2.找不到任何一个数比数列中的所有数大，这叫做此数列无界。
1.与2.合起来说是无界不减数列。
推而广之，即不只限于自然数列，对于一般数列
,
只要满足条件
1. n = 1，2，3，…
2.不存在任何比所有 大的数
那么， , 是一个无界不见列
对于数列
,
如果有一个不减数列
,
使得
，n =1，2，3，…
那么就称 是一个无穷小量。
如果对于 有b，使得
而 是一个无穷小量，那么 以b为极限。
这样的陈述，你就再也无法把它视为一个灵魂了，一个活生生的无穷小在你面前，而且极限的概念随之表达清楚了。两个世纪前的问题解决了。
第二次数学危机是数学方法论的原则扩张了。这“消逝量的鬼魂”并不是数学中的实体消失了，而是出现了一种崭新的行之有效方法——分析方法，对这一方法论原则的系统建构，便构成了近代数学分析理论的基础。
分析方法是计算方法和证明方法二者的综合，一般的数学教科书中通常称之为极限的方法，极限是否存在往往需要证明，求极限往往又通过计算步骤去逼近。
第二次数学危机的实质是把“分析”方法误解为“运算”的方法，而微积分理论的展开又是“分析”方法的运算化。分析方法发展的第三步是人们开始建构微积分的理论基础，为微积分注入严密性，建立极限理论，极限论的基础是实数理论，这是由柯西、维尔斯特拉斯、戴德金、康托等人完成的
重新审视第二次数学危机的实质，其意义决不仅仅是对历史赋予一种新的主体性解释，主要是对科学地传授和准确地理解数学分析的基本概念有着启发性的意义和方法论的价值。无论是在课堂的教学中，还是在学生的理解中，第二次数学危机的阴影总是挥之不去。要想完满地回答贝克莱对牛顿的指责，必须区别分析方法与运算方法的不同，也不能用运算的方法论原则去指责怀疑分析的程序化过程。戴德金也是在教学的过程中深深感到微积分程序化运算过程的基础不牢固。在1858年戴德金讲授微积分时，他曾写道：“我比以往任何时候更加强烈感到这种算法缺少真正科学的基础，在讨论一个变量逼近于一个固定的极限值的概念时，特别是在证明每个连续增加但不超过一切界限的量必定趋向于一个极限值这个定理时，我依靠的是几何上的证据。⋯⋯但是，决不能说以这种方式引入微分学是科学的，这一点谁也不会否认。至于我本人，这种不满意的感觉是无法克制的，以至于下定决心研究这个问题，直到为无穷小分析原理建立纯粹算术的和完全严格的基础时为止。⋯⋯这个定理或者与其等价的任何定理，在某种意义下足可以看作无穷小分析的基础。因此，还需要做的只是进一步揭示这个定理真正的算术起源，同时给出连续性的真正定义。”戴德金在这里奠定了极限运算的严格基础，但是，他没有指明“分析方法”是一个独立的方法，它既独立于运算方法和证明方法，又像“运算”和“证明”一样确定无疑，戴德金没凸现出这一独立的方法论原则，而是把分析方法淹没在“运算”和“证明”之中，所以微积分总带有一种神秘的感觉，今天我们应指明，微积分的创立也同时创立了一种崭新的分析方法原则，这恰是以往的教科书中所长期忽视的。发现了“分析方法”自然就揭开了微积分运算的神秘面纱。对微积分基本概念进行科学的理解和传授必须是逻辑和历史统一的原则，历史从那里开始，逻辑也应在那里开始。一般数学教科书追求的只是逻辑的严谨，忽视历史上概念的凸现与变革，弄清楚这一段历史的实质对微积分基本概念的理解与讲授有着方法论上的价值和意义。
通过第二次数学危机的分析，我们看到人类的心智有三个方面的能力：
其一是确定性判断能力，探索数学真理的系统是算术系统，其哲学逻辑是形式逻辑；
其二是不确定性判断能力，目前人们主要研究体现在随机性和模糊性的可选择性判别；
其三是可以通过人类的理性，依靠人心的数学直觉(哥德尔语)感受一些不可判定的真理．
其三的哲学逻辑体现了辩证逻辑的思想，计算机思想可能会在其一、其二能力方面超过人类，但它永远不会具有接受一些不可判定性指令的能力．
数学史上的危机充分表明,数学的发展从来不是完全直线式的,他的体系也不是永远和谐的,而是常常出现悖论。悖论在数学理论中的发展是一件严重的事,因为它直接导致了对于相应理论的怀疑,而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话,这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感。
数学发展的历史表明数学基础的深入研究和悖论的发现与相对解决有着十分密切的关系,每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识,甚至是革命性的变化,使数学体系达到新的和谐,数学理论得到进一步深化和发展。
由此可见,在科学发展的过程中,悖论的出现不是一种灾难和绝望,而是科学理论将获得突破性发展的征兆,是科学发展的强大杠杆,因此,我们在科学研究中应该善于发现和提出悖论。那么,如何才能发现悖论呢?尽管发现和提出悖论的背景是各不相同的,各有自己的具体情况,但从科学工作者的个人因素来看,下面几个方面对发现和提出悖论是重要的。
首先,应该具有正确的哲学指导思想,有怀疑批判的头脑,善于进行求异思维。悖论是对原有理论或概念的“反戈一击”,如果没有对原有理论的怀疑批判眼光,而是固守经典,迷信僵化,那就不可能发现原有理论所存在的问题,也就不可能提出悖论。从而就能够对现有理论始终采取怀疑批判性的审慎态度。因此,我们要发现悖论,首先应该自觉用马克思主义哲学来武装自己的头脑。
其次,必须对现有有关理论知识有深入细致的研究和全面系统的理解。悖论是对现有理论中逻辑矛盾的揭示。如果对现有理论一无所知,或仅一知半解,认识浮浅,那就不可能发现其中潜藏的逻辑矛盾,也就不可能提出悖论。因此,只有用怀疑批判的头脑对现有理论进行深入而系统的研究,才有可能发现悖论。
再次,还必须具有敢于坚持自己认为正确的观点、不为权威和传统势力所吓倒的大无畏精神。悖论往往是对原有经典和权威的一种“叛逆”。悖论一旦提出,可能会受到多方而的责难、压力、其至迫害,没有为真理而献身的精神,是很难敢于公开提出悖论的。“为寻求真理的努力所付出的代价,总是比不担风险地占有它要高昂得多”。
参考文献：
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