爱华网第十九章————四边形定理总结概要
平行四边形
定义：在同一平面内两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
性质：（1）平行四边形的对边相等且平行。
（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
其他性质：（选择填空可直接用，大题需要证明的结论）
（1）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形。
（2）过对角线交点的任意一条直线将平行四边形分成面积相等的两部分。
判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
其他命题（真命题但不能作为平行四边形的判定方法）
（1）一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形
（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质： （1）矩形具有平行四边形的所有性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
其他性质：（选择填空可直接用，大题需要证明的结论）
（1）矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形
（2）矩形问题往往转化为直角三角形或等腰三角形的有关知识解决。
判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
其他命题：（真命题但不能作为矩形的判定方法）
（1）有四个角是直角的四边形是矩形
（2）四个角都相等的四边形是矩形。
（3）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形。
对称性：矩形既是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心，也是轴对称图形，有2条对称轴。
菱形
定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质：（1）具有平行四边形的一切性质。
（2）四条边都相等。
（3）对角线相互垂直。
（4）每条对角线平分一组对角。
(5)菱形的面积公式——方法1：底乘高。方法2：对角线乘积的一半。
其他性质：（选择填空可直接用，大题需要证明的结论）
(1)菱形的对角线将菱形分成四个面积相等且全等的直角三角形。
(2)菱形问题往往可以转化为等腰三角形或直角三角形的有关知识来解决。
（3）在含60°角的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。
（4）菱形具有轴对称性，线段之和最短问题可借助对称转化为两点之间线段最短
判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
（3）四条边相等的四边形是菱形。
（4）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
其他命题：（真命题但不[]能作为矩形的判定方法）
对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
轴对称：菱形既是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心，也是轴对称图形，有2条对称轴，对称轴是两条对角线所在的直线。
正方形
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
性质：1.四个角是直角
2.四条边都相等
3.两条对角线相互垂直、平分、且相等，每条对角线平分一组对角。
判定:1.定义法：平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角
2.矩形法：菱形 + 一个角是直角
3.菱形法: 矩形 + 一组邻边相等
对称性: 既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴。
梯形
梯形定义：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。
直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。
等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形。
性质：（1）等腰梯形的两条腰相等。
（2）等腰梯形在同一底上的两个底角相等。
（3）等腰梯形的两条对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是上下底中点的连线所在直线。
（5）等腰梯形（这个非等腰梯形同理）的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分之一。
判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。（梯形+两腰相等）
（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（梯形+同一底上两个底角相等）
（3）对角线相等梯形是等腰梯形。（梯形+两条对角线相等）
说明一个四边形是梯形的方法：
方法一:一组对边平行。另一组对边不平行
方法二:一组对边平行且不等。
中点四边形:
（顶点为各边的中点，需讨论对角线&中位线）
(1)顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是_______________
(2) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点,构成的四边形是__________
(3)顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是_______
(4)①顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是_________
②顺次连结矩形各边中点构成的四边形是_________
③顺次连结菱形各边中点构成的四边形是_________
④顺次连结正方形各边中点构成的四边形是_________
⑤顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是__________
⑥顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是__________
答案: (1) 平行四边形(2)菱形(3)矩形 (4) ①平行四边形② 菱形 ③矩形 ④正方形 ⑤平行四边形⑥菱形
三角形的有关定理
（1）在直角三角形中，300角所对的直角边等于斜边的一半。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（3）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
以上三个定理的逆命题也是正确的：
（1）在直角三角形中，如果一个角所对的边是斜边的一半，那么这个角是30度。
（2）三角形中如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（3）过三角形一边中点，平行于三角形另一边的直线必定平分三角形的第三边。
