爱华网在微积分 中，一个函数 的不定积分，也称为原函数或反导数，是一个导数等于 的函数 ，即 不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。
其中 是 的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。
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例子
函数 是函数 的一个原函数，但实际上 的原函数有无穷多个。与 相差一个常数的函数都是 的原函数，因为常数函数的导数为零，例如： 。函数族 称为函数 的原函数族，也就是 的所有可能的原函数的集合，其中 叫做积分常数。从图像上来看，这是 垂直平移后得到的一组函数，几何上的解释就是它们在 轴同一点上的斜率都是一样的。
性质
微积分基本定理
不定积分的一个重要应用是计算定积分，微积分基本定理建立了两者间的关系。
微积分基本定理：如果 是闭区间 上的连续函数， 是 在 上的一个原函数，那么
证明：取区间 的一个分割： ，又设 ，根据拉格朗日中值定理有
所以
在闭区间 上连续，故黎曼可积，于是
于是：
因此， 的原函数族中的每个函数都可以叫做 的不定积分，简写作 ，因为在计算定积分时，积分常数在相减时消掉了。如果 定义在几个不同的区间上，那么每个区间上的积分常数可以互不相同。例如
就是 的不定积分的一般形式。它的定义区间是 。
积分上限函数
什么样的函数具有原函数是微积分理论中的基本问题。首先，每个连续函数都有原函数，并且由上面可知，原函数的个数是无限个。其次，对于一个有原函数的函数，它的原函数族中在某点取某个特殊值的只有一个。特别来说，对某个点，恰有一个在上取值为零的原函数，它可以表示为如下的积分上限函数：
下面给出积分上限函数是原函数的证明：
- 设函数，下证：
。
证明：
- ，其中，当时，趋向于。
- 所以有。
由此可以推出前面的结论：的原函数中在点上取值为的只有一个，就是。
这也可以看作是微积分基本定理另一个表达形式。
不连续的函数也可以有原函数，例如考虑函数：
- 当时，
这个函数在0上不连续，但可以验证函数：（时），是的原函数。
许多看似很“简单”的函数的原函数是无法用初等函数（指数函数、对数函数、代数函数、三角函数、反三角函数以及它们的不同组合）来表达的（但它们一样存在！），比如说如下几个不定积分：
- 。
积分技巧
求初等函数的不定积分比求它们的导数要困难得多。如上面所看到的，有些初等函数的原函数无法用初等函数来表达。以下是求不定积分的一些技巧。
不连续函数的积分
微积分基本定理要求为连续函数，但是，对于不连续的函数，我们仍然可以考虑求不定积分。对于什么函数有原函数，现在仍存在着未解决的问题。如今已知的结论有：
不定积分公式表
主条目：积分表- ，其 为常数；
- ，其是常数 ;
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- ，其， ;
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