注：数学本非我专业，以下说法欢迎纠错1.傅里叶变换的定义傅里叶变换从数学上的定义，为F(w)=int(x*exp(-jwt),t=-inf...inf)其中，int表示积分，t是时间，x是时域信号，inf表示无穷，exp表示指数运算。其含义说的是给一个无限长的时域信号和一个频点w，可以唯一确定一个复数F。于是，F和w就有了这种对应关系，考虑到F是个复数。F的绝对值和w关系叫幅频，F的幅角和w关系叫相频。2.matlab的fft命令helpfft可以知道这个和数学上的傅里叶不一样，因为计算机是离散的！因为计算机的时域信号存储量是有限的！比如等时采样得到的信号，高频分量是不可能获得的，对于比较大的w将无法计算。于是，fft这样计算傅里叶变换：把时域信号进行周期延拓，取一组w，就是时域信号的周期及该周期的二分之一，三分之一，直到n分之一，其中n是一个周期内的采样点。这样做的结果，就是对一段有限长的时域信号，将其长度作为基频率，分析基频和高频含量。当然，能分析到的最高频为n次谐波，再高次谐波由于香农定理而无法体现。3.写一个数学定义傅里叶变换的程序
将有限长时域信号不延拓，时域信号外的时间内，认为信号为零。于是获得无限长时域信号，取频点若干，分析其傅里叶变换。考虑到matlab对于由描点法定义的函数，数值积分时常用的方法有：矩形法，梯形法。一下代码采用梯形法，算例如下：
clearclc%% 输入信号t=0:1e-3:20;%时域信号的时间范围x=sin(t)+sin(1.5*t+1)+5*cos(0.5*t)+2*randn(size(t));%时域信号xw=[0:1e-2:2];%想要观察的频率范围%% 预定义y=w;a=w;j=sqrt(-1);%先定义变量维度，提高运算速度%% 计算频点for i=1:length(w) f=trapz(t,x.*exp(-j*w(i)*t)); y(i)=abs(f); a(i)=angle(f);end%% 输出subplot(3,1,1),plot(t,x)subplot(3,1,2),plot(w,y)subplot(3,1,3),plot(w,a)
算例中的时域信号，里有三个正余弦分量，一个干扰分量。等时采样，并认为采样频率足够高，即得到的信号是连续信号。
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