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不同的称谓反映不同的目的。以下的称谓就代表了不同的研究目的。黎曼空间：称具有黎曼度量的空间叫做黎曼空间。空间上赋予了一个度量，叫做黎曼度量。研究基于黎曼度量的空间的各种性质。注：这里的度量必须是黎曼度量。黎曼度量：正定对称的二次全微分函数，是正定二次型。强调度量本身的特点。黎曼流形（光滑流形）：具有黎曼度量的微分流形。研究黎曼度量下的微分流形特性和性质。微分流形：带有微分结构的拓扑流形。也就是在流形上可进行微积分计算。拓扑流形：拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间的拓扑空间。这些同胚是流形的坐标图（坐标卡）。柔软性带来橡皮筋特性，其柔软性基础上的某种结构不变性就是拓扑特性。所以，如果流形根据其柔软性整体上同胚于一个拓扑空间而且研究目的是流形的拓扑性质与局部欧氏性质之间的关系，这样的流形被称之为拓扑流形以突出其拓扑特性与局部欧氏特性关系。研究具有局部欧氏结构的集合的拓扑性质。流形（Manifold）：是局部具有欧氏空间性质的空间。流形的局部（局部和无穷小，这需要赋予度量，这个度量就是欧氏度量）的结构是刚性（硬，来自度量，具有微局部几何结构性，带来微积分计算）的，而整体结构是软的（适应各种场合的特性）。这是一个矛盾的说法，所以，微分角度是无穷小，由这些无穷小的“颗粒”柔软的构成了整体，即流形。流形的柔软带来了软体一样的流动性。注：江泽涵首先把Manifold翻译为流形，其意思是整体结构是软的，如流动的流体；局部上是刚性的，变一个局部影响整体，局部的变化传递到整体上。------------------------------------------------------------引力：是反映空间扭曲的一个几何现象。扭曲空间：度量不均匀，或说，度量不是常量的空间就是扭曲的空间。 考察者身处在扭曲空间里是无法直接体会到空间扭曲（如同画在橡皮面上的人，当橡皮面弯曲或伸缩时其上的人是感觉不到弯曲或伸缩的，但是，相对于它的平直空间上观测可看到橡皮面的弯曲）。他可测量自己所处的空间是否存在空间扭曲，测量的量是所谓的度量。度量是空间的内蕴性质。注：任何测量都是相对的，比较一个所谓的平直空间来确定一个空间是否弯曲。这个时候，测量者同时可观测到两个空间才可以测量到另一空间的弯曲。也就是，度量函数变量构成平直的欧式空间。相对于这个欧式空间，判断度量函数本身所代表的曲面的弯曲。 这个就是相对论的奥秘所在。很多人并没有理解这个问题，也许包括研究理论物理的一些人。很多人在说相对论时混乱的使用不同的空间体系，最后错误的导出牛顿力学的结果。所以，在不少的大学课堂上出现错误的解读相对论；也有一些是错误的批判或否定相对论的“理论”或“见解”。对提出所谓的“理论”和“见解”的人们，被一些专家教授们称赞为“有发展前途”或“奇才”。这些明明是缺乏基本的数学知识和物理学上的抽象思维能力导致的，怎么能与“奇才”和“有为”挂钩呢？也许从另一个层面说明，对一般人来讲相对论确实不容易 接受。所以，相对论初期只有2.5个人懂得相对论也不奇怪。也许，这个状况现在也好不到哪里去。
