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第一节 思想和原理
第二节 模型和步骤
第三节 应用和案例
第一节 思想和原理
一个经济系统或一个生产过程可以看成一个单元在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这些活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。这样的单元被称为决策单元（DecisionMaking Units，DMU）。
DMU的概念是广义的，可以是一个大学，也可以是一个企业，也可以是一个国家。在许多情况下，我们对多个同类型的DMU更感兴趣。所谓同类型的DMU，是指具有以下特征的DMU集合：具有相同的目标和任务；具有相同的外部环境；具有相同的输入和输出指标。同一个DMU的不同时段也可视为同类型DMU。
评价的依据是决策单元的“输入”数据和“输出”数据。根据输入和输出数据来评价决策单元的优劣,即评价单位间的相对有效性。每个决策单元的有效性将涉及两个方面：（1）建立在相互比较的基础上，因此是相对有效性；（2）每个决策单元的有效性紧密依赖于输入综合与输出综合的比（或理解为多输入—多输出时的投入—产出比）。
数据包络分析（Data EnvelopmentAnalysis，简称DEA）是著名运筹学家A.Charnes和W.W.Copper等学者以“相对效率”概念为基础，根据多指标投入和多指标产出对相同类型的单位进行相对有效性或效益评价的一种新的系统分析方法。它是处理多目标决策问题的好方法。决策单元相对有效称为DEA有效。
通过输入和输出数据的综合分析，DEA可以得出每个DMU综合效率的数量指标。据此将各决策单元定级排队，确定有效的决策单元，并可给出其它决策单元非有效的原因和程度。即它不仅可对同一类型各决策单元的相对有效性做出评价与排序，而且还可以进一步分析各决策单元非DEA有效的原因及其改进方向，从而为决策者提供重要的管理决策信息。
自从1978年提出第一个DEA模型－模型以来，DEA方法不断得到完善并在实际中被广泛运用，DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，这主要体现在以下几点：
（1）DEA以决策单元各输入输出的权重为变量，从最有利于决策单元的角度进行评价，从而避免了确定各指标在优先意义下的权重；
（2）假定每个输入都关联到一个或者多个输出，而且输出输入之间确实存在某种关系，使用DEA方法则不必确定这种关系的显示表达式。
（3）DEA最突出的优点是无需任何权重假设，每一输入输出的权重不是根据评价者的主观认定，而是由决策单元的实际数据求得的最优权重。因此，DEA方法排除了很多主观因素，具有很强的客观性。
例如有4所小学S1、S2、S3、S4，在校学生分别为1200、1000、1600、1400，首先按800名学生的规模折算各校教职工数和建筑面积的投入，折算后的数据见下表：
就培养800名学生来看， S1、S2、S4三所学校的投入处于Pareto最优，即不可能在保持其中一项投入不变的情况下，减少另一项投入。由S1、S2、 S4三点连成的折线生产前沿面，凡是在前沿面上的点的投入状态均处于Pareto最优。
如S1和 S4的中点M，其坐标值为：
即用22.5名教职工和2150平方米的建筑可组成培养800名学生的学校，其亦处于Pareto最优状态。
由上图可以看出，所谓生产前沿面是生产可行集的一条数据包络线，它是在现有的绩效水平下举办800名学生的规模学校，需要投入教职工和建筑面积的最低限。称处于生产前沿面上的点为DEA有效。而点S3并非DEA有效。
对比点P和S3的投入， 表明S3的绩效只相当于S1和 S4的95.8%
上面用作图法衡量一个组织是否DEA有效，只适用于投入和产出变量总数和不超过3个的情况。但能给我们一些启发…
第二节 模型和步骤
一、模型介绍
在社会、经济和管理领域中，常常需要对具有相同类型的部门、企业或者同一单位不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为决策单元。评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。投入指标是决策单元在社会、经济和管理活动中需要耗费的经济量；产出指标表明经济活动产出成效的经济量。根据投入指标数据和产出指标数据评价部门、企业或时期之间的相对有效性。
设某个DMU在一项生产活动中的输入向量为,输出向量为。
我们可以用（x，y）来表示这个DMU的整个生产活动。
现设有n个DMUj（1≤j≤n），DMUj对应的输入、输出向量分别为：
xij为第j个决策单元对第i种类型输入的投入量；yrj为第j个决策单元对第r种类型输出的产出量。xij和yrj为已知的数据，可以根据历史资料得到。
由于在生产过程中各种输入和输出之间的地位与作用不同，因此要对DMU进行评价，需要对它的输入和输出进行“综合”，即把它们看作只有一个总体输入和一个总体输出的生产过程，这样就需要赋予每个输入、输出恰当的权重。（见图2）
问题是，由于我们对输入、输出量之间的信息结构了解较少或者他们之间的相互代替性比较复杂，也由于我们想尽量避免分析者主观意志的影响，我们并不事先给定输入、输出权向量：，而是先把它们看作变向量。然后在分析过程中再根据某种原则来确定他们。
每个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数，我们可以适当的取权系数v和u，使得≤1。
现在，对第j0个决策单元进行效率评价。一般来说，越大，表明能够用相对较少的输入而得到相对较多的输出。如果我们要对进行评价，看在这n个DMU中相对来说是不是最优的。我们可以考察当尽可能地变化权重时，的最大值究竟是多少。以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元（含第j0个决策单元）的效率指数为约束，就构造如下的模型：
上式是一个分式规划问题，使用Charnes-Cooper变化，即令：
则可得到C2R的的线性规划模型：
的对偶形式：
应用线性规划对偶理论，我们可以通过对偶规划来判断的有效性。为了讨论及应用方便，进一步引入松弛变量s+和剩余变量s-，将上面的不等式约束变为等式约束：
下面给出几条定理与定义：
定理1：线性规划P和其对偶规划D均存在可行解，所以都存在最优值。假设它们的最优值分别为与，则＝≤1。
定义1：若线性规划P的最优值＝1，则称决策单元为弱DEA有效。
例：四个人的输入输出见下表，试用DEA方法分析其有效性。
例：某银行的四个分理处的投入和产出情况见下表，要求分别确定各分理处的运行是否DEA有效。
解：先确定分理处1是否DEA有效
求解结果为E=1，说明分理处1的运行DEA有效。同理可求得分理处3和4，E=1，但对于分理处2，E=0.966,即分理处2的运行非DEA有效。
检验的DEA有效性时，可通过构造一个稍加变化的模型可使这一检验简化。这就是具有非阿基米德无穷小的模型（祥见有关文献）。利用此模型可以一次性判断出决策单元是DEA有效，还是弱DEA有效，或者是非DEA有效。
下面举一例—DEA在工业行业科技发展评价中的应用，说明DEA评价的全过程
把某一工业行业科技实力发展视作DEA的一个决策单元，它具有特定的输入和输出。为了使各DMU具有可比性以及DEA综合评价指标的合理和有意义，必须选择好评价系统的输入和输出指标体系，以利于实现系统的客观描述和评价。
1、工业行业科技实力评价指标体系设计的原则
(1)充分、全面性原则。
(2)独立性原则。
(3)导向性原则。
(4)均匀平滑性原则。对于周期较长的指标采取三年平均；对发展速度异常的指标，基期数值用基期与报告期数值平均代替。
(5)可操作性原则。指标体系数据从现有统计指标中产生。
(6)综合、系统性原则。
(7)可比性原则。要尽可能采用相对指标，便于各类企业进行对比；对于行业之间的对比，我们采取各指标的发展速度。
根据上述原则，分别选择了12项输入和输出指标，分成7个组分别建立了广州市工业科技实力DEA评价指标体系。
2、指标体系中各项指标的含义
(1)研究与开发（R&D）人员占全体职工比重I1，此指标反映行业中从事研究与开发人力投入的比重。
(2)科技活动人员中科学家和工程师的比重I2。这一指标反映行业科技活动中人力投入的质量和管理水平。
(3)机器设备原值中微电子控制机器设备原值占有率I3。这一指标反映企业机器设备的现代化程度。
(4)企业科研机构固定资产原值与原固定资产原值比率I4。该指标反映企业开展科技活动的物质基础。
(5)技术引进投资占总支出比率I5。这一指标反映企业引进高新技术的程度。（三年平均）
(6)科技活动经费支出与产品销售收入比率I6。这一指标反映企业对科技进步的重视程度。
(7)每百名科技活动人员的专利授权数O1。该指标在专利授权方面反映科技成果的数量和质量。（三年平均）
(8)每百名科技人员科技成果获奖数O2。此指标反映科技成果的水平。（三年平均）
(9)新产品销售收入占产品销售收入比率O3。这一指标反映企业开发新产品的经济效益。
(10)新产品出口额占产品销售收入比率O4。此指标反映新产品在国际市场上的竞争力。
(11)万元技术引进投资新增企业增加值O5。该指标反映企业技术引进的经济效益。（三年平均）
(12)企业通过ISO9000系列质量认证体系的产品频率O6。这一指标反映企业管理的总体水平。
3、建立输入输出指标体系并进行评价
输入输出指标的选择主要是反映评价目的和评价内容。在科技发展能力的DEA评价中，原则上应包含以上的12项输入和输出指标，它们反映科技的开发能力、质量技术水平和管理水平的高低，也反映科技人力、物力和财力投入产出效果。但是经验和理论表明DEA方法选择评价指标的重要性，在不同的指标体系中DEA评价结果是不同的，因此应用中要考察DEA评价结果随着指标体系的变化而变化的情况以及其中包含的有价值的信息。为此我们把指标体系分组（见表1）：
为了使工业各行业之间具有可比性，对上一节所选择的12项指标均采用发展速度为其相对数，基期为1988年行业的指标数值，而报告期为1999年行业的指标数值。这样12项指标均表示各行业关于指标1999年的发展速度，从而可比。
根据广州市工业行业统计数据情况，剔除缺少值多的行业和合并部分同类行业，得到广州市14个工业行业数据，以上一节指标体系分组情况进行DEA模型计算，表2给出了这些评价方案的综合评价指标(DEA有效性系数)、平均综合评价指标值及各行业的排序名次。
4、结果分析
（1）总的结论
（2）产品开发、技术和管理水平的DEA结果分析
（3）人力、物力、财力投入产出的DEA结果分析
三、步骤总结
（1）明确评价目的：DEA方法的基本功能是“评价”，特别是进行多个同类样本间的“相对优劣性”的评价。这样就有一系列的问题需要明确，如哪些DMU能够在一起评价、通过什么样的输出/输入指标体系进行评价，选择什么样的DEA模型进行评价等等。
（2）选择DMU。在实际中下面两点可以帮助我们选择DMU。①用DMU的物理背景或活动空间来判断，即DMU具有相同的外部环境、相同的输入、输出指标和相同的目标任务等；②用DMU活动的时间间隔来构造。
（3）建立输入/输出指标体系。1）要考虑到能够实现评价目的。通常可将各决策单元的效用型指标作为系统的输出指标，将成本型指标作为系统的输入指标。2）能全面反映评价目的。3）要考虑到输入向量、输出向量之间的联系。可向专家咨询或进行统计分析，也可在初步确定了输入/输出指标体系后，进行试探性地DEA分析。如果在用了几组样本数据进行分析后，个别指标对应的权重总是很小，这说明这样的指标对DMU有效性的影响不大，可以考虑删除这些指标。
（4）收集和整理数据资料。评价指标中可以包含人文、社会、心理等领域中的非结构化因素，需要按可靠标准给以量化赋值，如分为若干级别，以数字表示。在实际应用中，投入指标和产出指标均有不同的量纲，由于DEA方法并不直接对指标数据进行综合，因而建立模型前无需对数据进行无量刚化处理。当然，也可在建模前先作无量刚化处理
（5）DEA模型的选择。需要从以下几方面进行考虑：1）由于具有非阿基米德无穷小的DEA模型在判断DMU是否为（弱）DEA有方便之处，所以在实际中这一模型常被应用。2）为了得到不同侧面的评价信息，在可能情况下，尽量选用不同类型的DEA模型同时进行分析，再把分析结果相互比较。
（6）分析评价结果并提出决策建议。利用DEA规划模型的求解结果，判断各决策单元的DEA有效性如何，找出非有效性决策单元的无效原因及其改进措施，形成评价结果报告，并向上层决策单元领导提出建议以辅助决策。
第三节 应用、案例
一、DEA在中国区域投资的分级有效性评价中的应用
1、变量与决策单元的选择
输入指标：年总投资(亿元)，年从业人员(万人)，年平均能源消费总量(万吨标准煤)；输出指标：年国内生产总值GDP(亿元)，年居民最终消费总量(亿元)；决策单元：决策单元为按现有行政区划的30个省、自治区、直辖市（未包括西藏）。在评价过程中使用了各个指标在分析时间段内的平均值，以消除峰值数据的影响。
2、评价思路与评价结果
在应用DEA进行有效性测度时，如果决策单元评价值为1就有效，否则即为无效。但是，无效DMU之间的优劣性无法简单地从评价值的大小进行排序对比分析。为了克服上述缺陷，提出如下改进：首先，对所有DMU进行第1次评价；然后，剔除有效的DMU，对其余无效的DMU元进行第2次评价、如此重复进行，当所剩余DMU均无效或有效时停止。其中，第1次评价值为1的DMU称为第1级有效，第2次评价值为1的DMU称为第2级有效，……其余依次类推，就可以得到DEA分级有效评价结果。
3、中国区域投资有效性的雁行形态
从以上的形态图不难看出，中国区域经济的发展的“头雁”群依然是东部省区，特别是东南沿海地区，而东中西部的梯度趋势依然很明显。西部大开发任重而道远，在增大投资力度的同时必须进一步探求影响投资有效性的因素并寻求对策；与此同时，还不应忽视“头雁”对中国经济有效发展的拉动作用。
二、DEA在企业技术创新成果评价中的应用
技术创新是以市场为导向，将科技潜力转化为经济优势的创新活动。在市场竞争日益激烈的今天，不断提高技术创新能力，是企业发展和规模膨胀的主要动力。许多企业已充分意识到这一点，并加大了技术创新的投入力度，取得了一定成效．但同时也暴露出一些问题，比较突出地表现为一些创新成果在成果转化时由于缺乏科学地论证和评价，进入市场后很快就夭折，浪费了大量资源。因此，有必要研究一套合理的指标体系和先进、可靠的评价方法，以及时优选出更具市场潜力和竞争力的技术成果，从而大大降低技术市场化的风验。
1、评价方法的可行性研究
技术创新作为一项从研究开发、成果转化、规模生产、经营销售到取得市场的系统工程，是一个具有多种投入和产出的复杂大系统，因此特别适合应用DEA进行评价。
2、技术创新成果评价指标体系：在选择指标时考虑以下因素：
1)技术创新是一个周期性的技术经济过程，评价指标应全面、客观地反映其中的投入产出状况。
2)技术创新的方向应与企业发展战略相一致。
3)创新成果在市场经济条件下更应重视其市场价值。
3、模型求解
（1）数据采集和处理：收集了五项技术创新成果，采用德尔菲法得出各项指标的具体数值。
（2）评价成果。将指标数值代入模型，经计算，可得评价结果。从计算结果来看，成果3为DEA有效，即为最优创新成果。
练习案例：
企业之间的竞争从本质上讲是人才的竞争，因此人力资本的投资对现代企业保持竞争优势具有战略性的意义。然而，企业通常只注重对人力资本的投入，却忽视了对其输出量的分析研究，这无疑会造成人力资本的无效投入或者有效需求的投入不足，针对这种情况，企业迫切需要了解人力资本的利用程度。这里要求同学们用DEA方法，对各人力资本决策单元的相对有效性进行研究。
1 输入和输出的指标
企业从招聘直至正式使用人力资本需要花费一定的成本，这些成本主要涵盖了员工工资、医疗福利、岗位培训等。另外，用工风险的选择也会直接影响企业的收益。企业的输出指标可以分为顾客满意度和员工满意度。这里的顾客是指消费企业人力资本并且享受其成果的内部单位(产品生产方)和外部单位(原料供应方、销售方和最终消费者等)。只有满足顾客需求的人力资本投资才能真正实现人力资本的价值。员工是企业人力资本投资的收益者，只有令员工满意的投资才能切实发挥人力资本的潜能，取得预期的投资收益。
2 指标体系
在使用度量指标时选择相对度量指标体系，并制定了相应的评判标准(满分为5分，各标准的分数由左及右降低)。具体数值可以由专家和管理人员组成的评定小组对各项指标进行确定。
3 实例计算
这里以三家企业为样本，研究它们某年度人力资本使用的相对业绩，有关数据及评估结果见表2。从计算结果来看，企业B和企业C为DEA有效，即它们都充分地使用人力资本；而企业A为DEA相对无效，原因可能是成本投入过多，或者产出过少。
