欧拉函数:
对于一个正整数n,小于n且和n互质的正整数的个数,记做:φ(n),其中φ(1)被定义为1,但是并没有任何实质的意义。
特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n)。
完全余数集合:
定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn,称呼这个集合为n的完全余数集合。
显然,对于素数p,φ(p)= p - 1.
对于两个素数p、q,他们的乘积n = pq 满足φ(n)=(p-1)(q-1)
证明:对于质数p,q,满足φ(n) =(p-1)(q-1)
考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1}
而不和n互质的集合由下面三个集合的并构成:
1) 能够被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个
2) 能够被————q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个
3) {0}
很显然,1、2集合中没有共同的元素,因此Zn中元素个数 = pq - (p-1 + q- 1 + 1) =(p-1)(q-1)
欧拉定理:
对于互质的整数a和n,有aφ(n) ≡ 1 mod n
{
注:
同余符号:
两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余
记作 a ≡ b (mod m)
读作a同余于b模m,或读作a与b关于模m同余。
比如 26 ≡ 14 (mod 12)
}
证明:
首先证明下面这个命题:
对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},考虑集合
S = {ax1 mod n,ax2mod n,...,axφ(n)mod n}
则S = Zn
1) 由于a,n互质,xi也与n互质,则axi也一定于p互质,因此
任意xi,axi mod n 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素xi和xj,如果xi ≠ xj
则axi mod n ≠ axi mod n,这个由a、p互质和消去律可以得出。
所以,很明显,S=Zn
既然这样,那么
(ax1 × ax2×...×axφ(n))mod n
= (ax1 mod n × ax2mod n × ... × axφ(n)mod n)mod n
= (x1 × x2 × ... × xφ(n))mod n
考虑上面等式左边和右边
左边等于(aφ(n) × (x1 × x2 × ... × xφ(n))mod n) mod n
右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n))mod n
而x1 × x2 × ... × xφ(n))mod n和p互质
根据消去律,可以从等式两边约去,就得到:
aφ(n)≡ 1 mod n
费马定理:
a是不能被质数p整除的正整数,则有 ap -1 ≡ 1 modp
证明这个定理非常简单,由于φ(p) = p-1,代入欧拉定理即可证明。
同样有推论:对于不能被质数p整除的正整数a,有ap ≡ a mod p
欧拉函数公式:
( 1 ) pk的欧拉函数
对于给定的一个素数 p , φ(p) = p -1。则对于正整数 n = pk ,
φ(n) = pk - pk -1
证明:
小于 pk 的正整数个数为 pk - 1个,其中
和 pk 不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (pk - 1-1)} 共计 pk - 1 - 1 个
所以 φ(n) = pk - 1 - (pk - 1 - 1) = pk - pk - 1 。
( 2 ) p * q的欧拉函数
假设 p, q是两个互质的正整数,则 p * q 的欧拉函数为
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) , gcd(p, q) = 1。
证明:
令 n = p * q , gcd(p,q) = 1
根据中国余数定理,有
Zn 和 Zp × Zq 之间存在一一映射
(我的想法是: a ∈ Zp , b ∈ Zq ⇔ b * p + a * q ∈ Zn 。)
所以 n 的完全余数集合的元素个数等于集合 Zp × Zq 的元素个数。
而后者的元素个数为 φ(p) * φ(q) ,所以有
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。
( 3 )任意正整数的欧拉函数
任意一个整数 n 都可以表示为其素因子的乘积为:
I
n = ∏ piki (I 为 n 的素因子的个数)
i=1
(注:∏是希腊字母,即π的大写形式,在数学中表示求积运算或直积运算,形式上类似于Σ,有时也用来代表圆周率值)
根据前面两个结论,很容易得出它的欧拉函数为:
I I
Φ(n) = ∏ piki -1(pi -1) = n ∏ (1 - 1 / pi)
i=1 i=1
对于任意 n > 2,2 | Φ(n) ,因为必存在 pi -1 是偶数。