爱华网“比的认识”教学实录与评析
（已发表）
浙江杭州市安吉路实验学校牛献礼执教
江苏南京市东方数学研究所陈今晨评析
教学内容：人教版课标实验教材小学数学六年级上册“比的认识”
教学目标：
1、经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义，认识比的各部分名称，会求比值，理解比和分数、除法的关系。
2、感受比在生活中的广泛应用，并能利用“黄金比”的知识解释一些简单的生活现象，解决有关比的实际问题，体会比的应用价值。
教学重、难点：理解比的意义。
教学过程：
一、观察比较，初步感知比的意义。
师：美丽的西湖是杭州的名片，苏东坡有诗赞美：“欲把西湖比西子，淡妆浓抹总相宜”。下面我们来看看三张不同的西湖图片（出示三张图片）
（全班统计，大多数同学喜欢图片 A。调查现场的听课教师，绝大多数也选择了图片A。）
师：看来不管是大人还是小孩，大家的感觉相同，在这三张图片中，大家都不约而同地选择了A。谁来说一说自己的想法？
生1：图片B太高了，显得很窄；图片C又太扁了，景物都看不清楚。
师：你的意思是图片B和C长和宽的长度不协调，是吗？
生1：是的。
生2：我觉得图片A的长与宽之间，比例比较匀称，看起来舒服。
师：看来长方形图片好看不好看还与它的长和宽有关。长方形A的长和宽之间到底有什么关系，才让大家都感觉它们比较美观呢？这节课我们就从数学的角度去探寻其中的奥秘，为自己的感觉寻找一个理性的解释。
（出示长方形A的长与宽的数据：长8厘米、宽5厘米）
师：怎样用算式表示这张图片长和宽的关系呢？
生1：8－5=3（厘米）
师：这是用减法表示长和宽相差多少，还可以怎么表示两者关系呢？
生2: 5÷8=5/8。
师：表示什么意思呀？
生2：表示宽是长的5/8。
师：对啊！这是用除法来表示两者之间的倍数关系。宽是长的5/8，长就是宽的——
生：8/5倍。
师：在数学上，两个数量之间的相除关系还有一种新的表示方法：比（板书）。比如说，在长方形A中，长是宽的8/5倍，可以说成长和宽的比是8比5；宽是长的5/8，可以说成什么？
生：可以说成“宽和长的比是5比8”。
师：说得好。不过，同样是比较长和宽的关系，为什么一个是5比8，另一个是8比5呢？
生：5比8是宽和长的比，8比5是长和宽的比，不一样。
师：看来，用比表示两个数的关系时，这两个数的位置能随意颠倒吗？
生：不能。
（评析：因地制宜地以学校所在名城、著名风景点和历史名人的著名诗句作为素材，引导比的概念，增添了所创设教学情境的人文化色彩，显得信手拈来，十分贴切自然。教者对比的意义讲解，适时地穿插在与学生的对话之中，发挥了说明、解释、强调、补充提醒具体意义等多种教学功能。）
二、辨析质疑，归纳概括比的意义。
（投影出示如下两类组比的思考素材——：
①围棋小组有男生5人，女生4人。
②一辆汽车4分钟行驶了5千米。
你认为以上哪一组中的两个数量之间的关系可以用比来表示？请写下这个比，并想一想比出来的结果表示什么意思？如果你认为不能用比来表示，也请写出理由。
（学生独立思考，动笔书写，相互交流。）
生1：第①组中的两个数量之间的关系能用比来表示，男生和女生人数的比是5比4，女生和男生人数的比是4比5。
师：同意吗？
生：（众人异口同声）：同意。
师：第②组中路程和时间的关系呢？
生1：不能。
（全班大多数人认同这一意见，个别人面露困惑，但未表示反对。）
师：请说一说你是怎么想的，为什么不能用比来表示呢？
生1：因为这两个数量的单位不相同，所以不能用比表示。
师（有意挑起争端）：听起来似乎有道理，而且大多数同学都支持这个观点，但真理有时候却掌握在少数人手里，难道没有人提出反驳意见吗？
生2：（鼓起勇气）我觉得这可以说成两个数量的比。因为以前我们发现比与除法有关嘛！5千米是路程，4分钟是时间，路程与时间也能相除呀！
生3：我反对，这里5÷4的得数表示什么呢？得数表示，每分钟的千米数，它是“速度”，不表示倍数关系啊？
（生2无语、坐下。）
师：看来大家对第2题还是有争议的。路程和时间这两个数量跟前面的一组数量有很多的不同：单位不同、除得的结果不同，但是它们有没有相同之处？
生：有，它们都是用除法计算的。
师：说得真好！尽管它们有那么多的不同，但是都可以用除法比较它们之间的关系，除法运算的结果正如他说的那样，形成了一个新的量——“速度”，所以路程和时间之间的关系也能用比来表示。感谢几位同学的积极思考，大胆交流，促进了我们共同认识了比。
（学生都恍然大悟，教师继续揭示——
③物美超市的香蕉5元钱4斤。
师：请看这一组的两个数量，它们可以组成比吗？
生4：可以用比来表示，总价÷数量=单价。
师：比的结果表示什么？
生：表示“单价”。
师：你们很善于迁移思考，说得真好！刚才的几组数量，不管是两个同类的量，还是两个不同类的量，都能用比来表示它们之间的关系。请大家想一想，归纳一下：什么是比呢？
（学生小组讨论，然后汇报。）
生：比就是除法。
生：两个数量之间只要有相除关系，就能用比表示。
师：大家归纳得真好！在数学上，把两个数相除又叫做两个数的比。（板书）
（出示：④淘气买了5枝钢笔，每枝4元。）
师：这两个数量之间的关系能用比来表示吗？
生：单价和数量之间是相乘的关系，没有相除的关系，不能用“比”来表示它们的关系。
师：没错！你真棒！那么，能不能改换一下条件，使两个数量的关系能用比来表示呢？
生：可以算出总价20元，用它与数量5枝相比，或者用总价20元与每枝4元的单价相比。
师：说得真好！两个数量之间具有相除的关系，才能用比来表示。
（评析：教师通过逐步揭示预设的四组数量，组织学生成功地探讨比的意义。集中力量解决学生的困惑之处，对于具有较好认识基础的同类数量的比较花费力气较少，而对于不同类的两个数量之比则舍得花大气力，认知过程组织得相当充分。其间教者引导有法，讲解有度，充分尊重学生意见，肯定其认识成果成为课堂讨论获得成功的策略保证。））
三、自学交流，认识比的各部分名称。
师：现在我们知道了比与除法联系密切，除法里有除号，比当然也要有——比号。有谁知道比号怎么写吗？（板书“：”）它与标点符号中的冒号类似。知道为什么这么写吗？其实这是一种人为规定。
（出示：十七世纪，德国数学家莱布尼兹认为，两个量的比，包含有除的意思，但又不能占用“÷”，于是他把除号中的小短线去掉，用“:”表示。后来，这种表示方法逐渐在全世界被采用。）
师：莱布尼兹的发明很有道理。比号从除号中变化出来表示了比与除法关系密切，又和除法有区别。其实，考察数学的发展历史可以发现，很多数学知识都是人为规定、约定俗成，经过某位数学家创造出来后，逐渐被大家认可，最后成为世界通用的数学语言。现在请同学们自己看书。
（学生看书自学，认识比的各部分名称，全班交流。）
1 ：4= 1÷4 = 1/4
前项 比号后项比值
师:怎样求比值?
生:求比值就是用比的前项去除以后项。
师：比值通常用最简分数表示，能除尽时也可以用小数或整数表示。想一想，比的前项、后项和比值分别相当于除法算式或分数中的什么？
（小组讨论后全班交流。）
生：比的前项相当于除法算式中的被除数，也相当于分数中的分子；比的后项相当于除法算式中的除数，相当于分数中的分母；比值相当于除法中的商和分数中的分数值。
师：根据它们之间的关系，比也可以用分数的形式表示，比如：1:4可以写作1/4，读作一比四。3:5可以写作3/5，读作三比五。“分数、除法和比”的关系密切，那么，它们之间有什么区别呢？
生：分数是一种数，除法是算式，比表示相除的关系。
师：讲得很好！它们各有各的作用，彼此相互联系又有区别。分数是数，除法是一种运算，是求两个数的商的运算，可以用分数表示除法运算的结果。而比的定义是“两个数相除又叫做两个数的比”，表示的是一种关系。那么，为什么学了分数还要学“比”呢？这是因为分数刻画的是整体与部分量的关系，而比刻画的是部分量与部分量的关系。
（评析：学生掌握的并非是一个个零散的概念，而应该是有着相互联系的一个整体。引导学生思考“除法”、“分数”、“比”这三个概念之间到底有着什么样的联系与区别，为什么它们有着这么密切的联系而还要区分理解等等。这样有利于使学生对三者之间关系更加清楚，同时也可加强对三者意义的再认识，让学生体会数学知识的紧密相连性，形成网络体系。）
四、应用拓展，深化理解比的意义。
师：在生活中，我们经常用比来表示两个数量之间的关系。
（出示：一瓶洗洁精，使用说明上写着：原液与水的比是1：2。）
师：你知道1 ∶ 2表示什么意思吗？
生1：说明水是原液的2倍。
生2：表示1份原液要加2份水。
生3：原液是水的1/2。
生4：原液占1份，水占2份，一共是3份。
师：大家理解得很正确，1:2表示两个数量之间是1份与2份的关系。如果一瓶洗洁精的质量是600克，那么，原液和水各是多少克？
生1：原液是200克，水是400克。
师：你是怎么算的？
生1：600÷3=200（克）200×2=400（克）
（出示：在足球世界杯半决赛中，巴西队以1 :2不敌荷兰队，没能进入决赛。）
师：这个比赛中的1:2和洗洁精的成分中的1:2意义一样吗？为什么？
生：不一样，体育比赛中的1:2表示的是两个队的得分情况，巴西队进了1个球，荷兰队进了2个球。而洗洁精成分中的1:2表示原液占1份，水占2份。
师：说得好！体育比赛中的比表示得分的相差关系，而数学上的比表示相除关系。
4、师：我们回过头来看看刚才观察比较的西湖图片，为什么很多同学都感觉宽和长的比是5：8照片比较美观呢？
（出示：早在100多年前，德国著名心理学家费希纳就做过类似的实验。他设计了各种比例的长方形，先后请了592人来参观，并投票选出了最美的长方形。长8宽5，长34宽21、长13宽8、长21宽13的长方形被评为最美的长方形。结果发现：这些感觉最美的长方形的宽与长的比值都接近于0.618，0.618: 1就被称为“黄金比”。当一个物体的两个部分之间的比大致符合“黄金比”时，会给人以一种优美的视觉感受。）
师：我们来算一算这个长方形的长和宽的比值是多少，5:8=5÷8=0.625，非常接近于0.618这个黄金比的比值数，所以它看起来比较美观。明白了吗？我们运用数学知识为自己的感觉找到了一个理性的证明。其实，黄金比在生活中的应用很广泛，许多建筑作品、艺术作品为了给人以美感，都是按“黄金比”来设计的。请大家欣赏图片。
（出示五角星、维纳斯女神等图片，介绍黄金比的应用。）
（评析：这个环节同样是教学亮点纷呈。首先，以比的生活化应用素材带领学生来探究其含义，体现应用价值。学生理解的多元化、个性化丰富了对比的具体意义认知。进而，推出“已知总量和有关比，求各个分量的问题”这真是“上坡不觉坡”——引领学生进入了按比例分配的问题境界，为后续的教学做了有效的孕伏与铺垫。其次，教者出示了体育比赛中的比分与数学上的比进行比较，探讨其形同而实异的区别，匡正易于混淆的生活概念。最后，安排“黄金比”知识拓展，调动故事史料、计算验证、极具美感的图片欣赏等手段，舒缓认知疲劳，造成课堂“后手翘”的感受效果。）
四、课末总结（略）。
【总评】
这节成功的概念教学公开课彰显的教学特色令人印象深刻:
一是积极引导学生自探自学数学。从引入图片的比较选择，到比的具体意义的探究理解；从比的各部分名称的领会，到根据比的意义和总量对组成比的各部份量进行推算，从比与除法与分数关系的探索，到黄金比的验证，都能让学生通过自我探索，自学课本，深度参与，自主地完成认知过程。学生在这样的课堂上多方面获得学习发展满足，成就了自主地位。
二是教学精力的“好钢用到刀刃上”。在学情调研的基础上，教者明确本课教学的接受障碍和认知症结所在，做出合乎学情的科学预设，重点对两个不同类数量之比的意义反复多角度探究，由认知的趋同引向不同，再经质疑、争辩达到新的认同。抓住比的意义理解这一重点，对于“洗洁精组成比”的理解，舍得花功夫让学生个性化地表达——有的以倍数概念来说明，有的用分数形式去表示，有的则用份数思想作解释，确保落实到位。
三是选材上突出数学文化的渗透熏陶。杭州名城的西湖美景，著名诗人的吟咏名句，黄金分割的发现掌故，著名建筑、维纳斯等形象的审美展示，这些文化元素的添加使得数学课堂的理性幻化出人文化艺术风味。
四是对教材教法的创新性突破。用长方形长宽之比引导比的组成中，加进美景图片的形象包装，比号表征形式与除法符号间渊源联系的深度挖掘，黄金分割比的实验溯源，对数学符号知识人为规定性与合理性的双重启迪，不同类数量组比的关系探究，以及体育比分两数关系解释等多处富有新意，闪现了教者教学创造性光芒。
