爱华网
你了解无理数e吗
转载
π和e是数学中两个重要的无理数,在中学由于关于圆、椭圆及旋转体的有关计算中离不开π,三角、反三角函数更是与π密不可分，有角图形都与π有关……，可以说π对于广大中学生来说已经相当熟悉了.但对于e,中学生却知之甚少,在高中代数的对数一章里首次出现以e为底的自然对数后,其后却不常见,其实e和π一样,也是应用极其广泛的一个数.
1、e的产生
e是作为一个数列极限而出现的,即e=,它是一个无理数,其近似值为2.71828……,最先使用“e”这个符号的是瑞士数学家欧拉（Euler1707－1783）；最先猜测e是超越数的法国数学家刘维尔(Liouville,1809－1882)，而最早证明e是超越数的是法国数学家厄米特（ Hermite,1822－1901）.
2、e有哪些方面的应用
我们知道对数的引进是为了简化运算,由于我们已经习惯了使用十进位数,因此从实际计算角度出发,采用以10为底的“常用对数”是比较方便的.但是人们在进行理论研究中,发现使用e为底的对数比使用常用对数更为方便,特别是,反映自然界规律的函数关系,若是以指数形式或对数形式出现,则必定是而且只是以e为底的;在微积分里,如果我们求ax与logax的导数,则有(ax)'=ax·lna,(logax)'= 这里不可避免地出现以e为底的自然对数,而以e为底的指数和对数的导数在形式上则简单得多:(lnx)'= ,(ex)'=ex,更有(ex)(n)=ex·(e的n阶导数),它是唯一具有这一特性的函数;利用e为底的指数函数还可定义出一类函数---双曲函数,如:shx=,chx=,它们不仅与三角函数有许多类似之处,而且在工程技术等方向也有着广泛地应用,如一根质量均匀的绳子固定两端让绳子自然下垂(不绷紧),这时绳子下垂的形状看似一条抛物线,其实它是双曲余弦函数chx=;在原子物理和地质科学中考察放射性物质的衰变规律或地球年龄时要用到e,这一点在中学教材中已有所反映;在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时要用e;在计算储蓄利息及生物增殖问题时若用复利律进行计算,也离不开e;不仅如此,e也会出现在意想不到的地方,如“将一个数分成若干等份,要使各等份的乘积最大,怎么分？”这个问题竟要和e打交道!答案是:使等分的各份尽可能地接近e(读者可自行举例证之);又如被称为“数学王子”的德国数学家高斯(Gauss,1777-1855)在1792年仅15岁时发现的“素数分布定理”---从1到任何自然数N之间所含素数的百分比,近似等于N的自然对数的倒数,且N越大,这个规律越准确…….
3、e与π,i,l的关系
π和e都与许多数学问题和自然现象中的理论问题有关,它们之间也有着内在联系,世界上最先使用虚指数的意大利人法革纳(Fagnano,1682-1766)于1719年得到了π=4ln,这里把数学里四个特殊的数π,e,i,l巧妙而简单地联系起来了.1740年欧拉又给出了一个重要公式欧拉公式:eix=cosx+isinx,当x=π时,这个公式也将π,e,i,l巧妙而简单地联系在一起,这个公式的使用使复数除代数运算和三角运算外又有了一种新的指数运算了.此外有人还研究过π和e这两个超越数的近似值之间的规律:
π=3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 3832 7950288……
e＝2.7182 8182 8459 0452 3536 0287 4713 5266249…
小数点后第12位数字相同,第16、17、20、33位数字也分别相同,有人猜想“π和e的小数表达式中,大体上每10位中,有一位数字相同,”这样一个小概率事件在这里总能发生,这不能不说也是一种规律,或其中还蕴含着某种更为丰富的规律性还没有被我们发现.转载储柄南老师的文章
