微分算子 微分算子法

一、概念精髓

1、概念精髓：积分变微分

对大多数人来说，积分难于上青天，微分三下五除二。

微分算子法正是将积分的难转化为微分的易。

这也正是引入微分算子法的最大最好的理由依据

2、概念 正误分辨

说明

D是微分，1/D 是积分。

在其前的都是因式，其后的都是待微分或积分的

分辨

x(1/D)e^x =(1/D)xe^x =e^x(1/D)x ? 错，因为顺序不一样，

待积分的项也不一样，分别为e^x，xe^x，x

sinxD(e^x) =e^xD(sinx)?错，因为待微分的项分别为e^x,sinx

总之，在有微分算子的式子中不要以为就像普通的因式相乘一样可以前后交换因式。

但是，它以算子为分界，只分前后两部分，如xe^xsinx(1/D)x³cos4x前面的因式中

xe^xsinx是可交换的相乘，后面的待微积分的x³cos4x也可交换(是因式)。

二、方法 单纯项

这是基础，要牢记

若f(x)含常数系数，直接保留不变。这适合所有算子公式。

1、f(x)=e^kx(纯幂函数)直接代入系数

如y^”+2y^’+3y=4e^5x→y^*=(1/D²+2D+3)4e^5x=(1/(25+10+3))4e^5x

=4/38e^5x=2/19e^5x

2、f(x)=v(x)=a₀x^m+a₁x^m-1+…a_m-1x+a_m(纯多项式)用长除法

如y^”+2y^’+3y=4x²+5x+6→y^*=(1/D²+2D+3)4x²+5x+6

长除法就是仅对1/(D²+2D+3)的除法用小学的除法计算式来算。

限于文本方式无法直观示出。本例中先以1除以3得商1/3，要减的乘积

为1+2/3D+1/3D²，余数为-2/3D-1/3D²。再除以3得商-2/9D，要减的乘积

为-2/3D-4/9D²-2/9D³，余数为1/9D²。此时3次方项不必再写出，因为此

多项式的最高次为2。再除以3得商1/27D²，至此计算结束，

即1/(D²+2D+3)=1/3-2/9D+1/27D²。

∴y^*=(1/3-2/9D+1/27D²)4x²+5x+6(上面是积分，现已变为微分)

=(4/3x²+5/3x+6/3)+(-2/9*8x-2/9*5)+(1/27*8)

=4/3x²-1/9x+32/27

这算是一个较复杂的例子，但若用待定系数法应该会更复杂。

例y^”+2y^’=6→ y^*=(1/D²+2D)6=1/D(1/D+2)6 =1/D(1/2)6=3x

本例说明①分母可提D的因式时要先提出来(不提也能正确计算，

只是算时略繁)，算时作积分。②f(x)只是常数时只要一步除法，

不用出现D，如本例1/D+2的商为1/2。

例y^”+2y^’=6x→ y^*=(1/D²+2D)6x=1/D(1/D+2)6x =1/D(1/2-D/4)6x

=(1/2D – 1/4)6x=3x²/2 - 3x/2

本例说明先提D的因式(是积分式)，后项长除法得出商，再两个

乘回去以化简，可以减少微分积分次数。

3、f(x)=sinax或cosax

三、方法 组合项

1、f(x)=e^kxv(x)

2、f(x)=e^kxsinax或e^kxcosax

3、f(x)=xsinax或xcosax

4、f(x)=xe^kxsinax或xe^kxcosax

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