大家都知道,在最普通的傅里叶变换公式中,自变量是圆频率与时间之间的转换,关系式如下:
而有时我们要得到的关系是以频率f为自变量的表达式,这时我们有时会常常就变换式前面的系数是否有1/2pi而纠结,现在我就要说明这个问题。但是在讲这个问题之前,我先纠正一个大部分人都在犯的错误,不知道你在不在这些人中,那就是关于函数名的意义,即F(w)中的F代表的含义。函数名是函数的代号它代表的是由自变量到函数值之间的映射关系(规律),举例来说;f(x)=3x+1,中的f代表将自变量乘以3之后再加1的一种运算。
而f(x)=6x+1中的f则代表将自变量乘以6之后再加1的运算,由此我们可以知道,直接在那里写什么F(f)和F(w)之间的关系的文章都犯了这个错误。所以本文中进行了区分。
按上面的公式进行傅里叶变换之后得到一个自变量为w的函数,其函数值代表该信号在圆频率为w处的频率分量,显然圆频率w=w0处的函数值,应该与频率f=w0/(2*pi)处的函数值相等,因为在实际的物理意义上它们代表着同一种频率。由此可得下面的推导。