对全微分表示式求积分的一般方法 全微分怎么积分

对全微分表示式求积分的一般方法

陈建一

设有函数

f=g(x_1，x_2，…，x_n)<1>

<1>式两边对x₁ 求偏导数，有

〆f/〆x₁=〆g/〆x₁ +(〆g/〆x₂)(〆x₂/〆x₁)+ …+(〆g/〆x_n)(〆x_n/〆x₁)<2>

<2>式两边同乘以〆x₁=dx₁，并把求偏导数符号〆换成求微分符号d，则有全微分式

df = g₁dx₁ + g₂ dx₂+ … + g_ndx_n<3>

其中

g₁=〆g/〆x₁=dg/dx₁，，g₂=〆g/〆x₂=dg/dx₂，，…，g_n=〆g/〆x_n=dg/dx_n<4>

对<3>式两边求积分，将<4>式代入可得结果，有

∫df=∫g₁dx₁ + ∫g₂dx₂ + … + ∫g_ndx_n<5>

如果每一项都看成变量计算，则会有n倍的g，出现错误，错误的计算会算得

f = g +g + … +g右边为n个g

显然多了n-1个g，所以不能这样算。

正确的求全微分的公式应该是右边只计算n个积分中的一个积分，这样能够回到<1>式，计算公式是

∫df =∫g_idx_i，i=1,2,…n中的一个<6>

这样才有两边相等

f =g<7>

<5>式右边只要求出一个积分就有<1>式。所以对全微分表示式求积分时，要对其中一个变量求积分，这样有一个变量的微分dx_i不为0，可以求出积分值；而把其它变量看成不变，这样其它变量的微分dx_j就为0，积分也就为0。这样才能回算出<1>式。

也可以分别算出<5>式右边的n个积分，再两边相加，这就复杂多了，但能够说明问题。看下面计算

∫df = f =∫g₁dx₁=g<8>

∫df = f =∫g₂dx₂=g<9>

……

∫df = f =∫g_ndx_n=g<10>

<8>至<10>式相加，有

nf = ng

即

f =g<11>

<11>式与<1>式相同，这样先对<1>式求全微分得到<3>式，又反过来对全微分表示式<3>求积分，再次回到<1>式。

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