转载 高次方程和韦达定理的推广 三次方程韦达定理

高次方程和韦达定理的推广

很久以前，人们就解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问题。然而对一元三次方程的求解却使众多的数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终。
1494年，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论。他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。然而到了十六世纪有更多的数学家参与到一元三次方程的研究中来。我们知道一元三次的标准形式是：x^3+sx^2+tx+u=0。数学家费罗。他在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在1500年左右，得到了x3+mx=n这样一类缺项三次方程的求解公式。但是他为了保住自己的研究成果将自己的解法绝对保密。直到他去世的时候才把这个公式传给了他的女婿和一个学生菲奥尔。

然而在15世纪近中叶,数学家塔塔里亚,他也宣称自己发现了三次方程的求解公式。菲奥尔很不服气，于是约塔塔里亚进行比试。二人相约在米兰进行公开比赛。双方各出三十个三次方程的问题，约定谁解出的题目多就获胜。

塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法。于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的所有题目，而对方对他的题目却一题都做不出来。这样他以30:0的战绩大获全胜。塔塔利亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解
法。到1541年，终于完全解决了三次方程的求解问题。他的方法如下:
一元三次方程的一般形式是
　　　　　　x^3+sx^2+tx+u=0
如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如
　　　　　　x^3=px+q
的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有
　　　　　　a^3-3ba^2+3ab^2-b^3=p(a-b)+q
整理得到
　　　　　　a^3-b^3=(a-b)(p+3ab)+q
这里的a和b理论上有无穷个取值。于是我们一定可以找到这样的a和b。满足

x=a-b 且 p+3ab=0

于是，方程

a^3-b^3=(a-b)(p+3ab)+q
化为

a^3-b^3=q
两边各乘以27a^3，就得到
　　　　　　27a^6-27a^3*b^3=27qa^3
由p=-3ab可知
　　　　　　27a^6+p^3=27qa^3
这是一个关于a^3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。
在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛后不久，卡尔达诺听说了这一故事。在此之前他对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到结果。于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亚这位解三次方程大师的奇妙技巧。为此他多次向塔塔利亚求教三次方程的解法，开始都被塔塔利亚拒绝了。但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后，他于1539年3月25日向卡尔达诺公开了自己的秘密。卡尔达诺并没有遵守自己的诺言，1545年他出版《大术》一书，将三次方程解法公诸于众，从而使自己在数学界名声鹊起。然而，这种失信大大激怒了塔塔利亚。1546年他在《各式各样的问题与发明》一书中严斥卡尔达诺的失信行为，于是一场争吵无可避免地发生了。
1548年在米兰的公开辩论使这场冲突达到白热化。卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣了一位学生出马。这个学生的名字叫费拉里。他后来成为了四次方程求根公式的发现者在这场公开的辩论中，塔塔利亚先以三次方程的迅速解答取得优势，而费拉里则指责对方不能解四次方程。于是一场数学争论逐渐演变成一场无聊的谩骂。最后客场作战的塔塔利亚以失败而告终，后者宣称了自己胜利。

由于卡尔达诺最早发表了求解三次方程的方法，因而数学上三次方程的解法至今仍被称为“卡尔达诺公式”又称"卡丹公式"，塔塔利亚之名反而湮没无闻了。
在以后的几百年里，代数学家们主要致力于求解五次乃至更高次数的方程，但是一直没有成功。1824年，阿贝尔证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式。但是对于高次方程，韦达定理仍然有它的推广式。一般地，对一个n次方程

∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn，我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，∏是求积。

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