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来源： 陈玉梅的日志
很多人觉得量子力学无法理解，我当初也这么觉得。为什么呢？可以从两个角度考察：
（先要花费很多笔墨谈一点哲学，甚至谈一点数学与哲学的关系。大家可能觉得这些是扯淡。其实不然。这样是为了引出“抽象”与“拓展”这两种科学思维。它们是使我们的“认识”得以深入的必要条件。。。。。。不过，对哲学不感兴趣的朋友可以跳过前几段，直接看后面的正文.为了区别，引言用斜体表示）
（1）哲学
爱因斯坦就因为这个而不理解量子力学。其实，哲学概念都是从科学事实中抽象出来的（比如时空观就是从物质运动的规律中抽象出来的）。关键在于，哲学一直在追求普遍性，因而将抽象出来的概念加以拓展。但普遍性必须寓于特殊性之中。这就是矛盾的症结所在。“高速”这一特殊性能否被从低速运动抽象出来并加以拓展得到的概念包容就不一定了。量子的哲学困境和相对论类似。经典物理（相对论也如此）都不涉及物质内部结构（前两天写过一篇日志《外在属性与内在属性》专门讨论过这个问题），因而从宏观过渡到微观会给思想带来革命性的冲击，使人觉得量子力学难以理解。其实，微观世界并非没有因果律，态演化的决定论形式与态测量坍缩的随机性构成了微观世界新的因果律。问题是，当哲学观念与科学事实矛盾时，应该坚持哪个呢？反思我们的思维过程，“抽象”没问题，而是“拓展”时出了问题。经典力学的决定论并非可以放之四海而皆准的被拓展。
哲学不是本文主要讨论内容，就暂且谈到这里吧
（2）数学
其实，数学与哲学不是没有联系的。可惜很多人偏偏大力鼓吹数学而排斥哲学。联系在哪里？就是前面提到的“抽象”与“拓展”。怎么抽象？不是常人说的“难懂”的意思，而是指概括出一般性。比如，“一根筷子与另一根筷子放在一起”“一只羊与另一只羊放在一起”具有共性，我们就说“1+1=2”，这就是抽象。怎么拓展？比如从有理数到实数再到复数；从二维空间到三维空间再到高维空间，等等。这样一“抽象”一“拓展”，就把数学和哲学的联系找到了，表明它们都是在追求普遍性。
关于数学与哲学的关系，也不是本文重点。所以暂且谈到这里吧。下面着重分析数学对于量子力学的致命影响。
………………………………………………………………引言结束，开始正文：
为什么学了一点儿量子力学就不白来一趟物理系呢？是否白来一趟物理系，主要基于两点：一是和名校物理系相比，来到燕大这样烂的物理系，学到的知识太有限；二是和高中相比，自己对物理的理解有多大长进。本文着重谈谈后一点。
第一点和第二点有什么区别呢？这要由知识的特点决定。即是说，量子理论和其他理论有很大区别。其他理论学的再多，也只是单纯地积累知识，思维方式不会有太大变革；而量子理论却使得思维方式变了。
量子力学和从前的课程大不一样，到底怎么不一样呢？力学与理论力学、热学与热力学统计物理、电磁学光学与电动力学虽然也有很多区别（后者比前者深刻得多，尤其比高中物理深刻得多），但终究还是可以沿用常规物理思维（只是对数学要求高了点）。而到了量子力学就大不一样了，对数学要求确实也高了，但不是高在语言描述上，而是思想上。即是说，前面列举的其他理论的思想基本上都是单纯的物理思想，对于它们来说数学只是一种语言表述；而量子力学的物理思想是基于数学思想的，量子力学中的数学不仅仅是语言还是思想。前面的物理思想不借助数学也能用日常生活的语言（中英文）表达清楚，读几本科普就能明白；而量子力学反映出来的物理思想必须借助数学才能表达清楚（我说的是真正弄明白，不是浅尝辄止），如果不熟悉数学，想读几本科普就明白量子力学的内涵是办不到的。要想真正明白量子力学的物理思想，必须下苦功夫钻研它的数学思想。
这几天听老师讲量子力学的矩阵形式，觉得特别轻松，所以心里暗自高兴——这完全得益于自己前一段时间努力啃数学——和数学系本科生一起听高等代数，和物理系研究生一起听群论。
为什么高等代数和群论对于量子力学这么重要？这是因为量子力学的基础就是Hillbert空间。Hillbert，大数学家，没什么好说的，关键是“空间”这个概念。空间是什么？很多人一提到空间就马上想到直角坐标系（物理修养好一点儿的，想到时空，即把时间与空间联系起来。但这样并没有多大进步。为什么？相对论的时空观这么伟大的东西还不够进步？是的。为什么？因为这样的概念对于理解量子力学有害无益！后面我们将会谈到，怎么样理解空间才有利于理解量子力学）这样当然直观。但很多时候大自然偏偏不喜欢直观。量子力学就是这么一个“叛徒”。“上帝喜欢掷骰子”的数学表述就是上帝喜欢抽象。所谓唯象理论，一般都是不深刻不本质的理论。
怎么又提到“抽象”了？当然啦。不然前面就没必要写个“引言”作铺垫了。怎么抽象？抽象后的空间和通常的“直角坐标系”那种几何空间有什么区别？
呵呵，允许我再谈一点哲学（其实是数学与哲学的联系）。数学一直在追求普遍性。如何达到普遍性？就是努力去发现不同事物的相同点。如何发现？抽象。只有“抽象”还不够，还得有“拓展”，或说抽象的目的就是为了更好地拓展。
那么，怎样将空间进行“抽象”然后“拓展”呢？就是要摒弃无关的特征，寻找本质的特征，或说保留那些有利于进行拓展的特征。空间的哪些特征利于拓展呢？你自己去思考吧，为了节省上网时间，我来个直接点的：不去从认识论角度探讨如何抽象来得到抽象空间，而是直接谈谈抽象空间的特点。给出一些特点后，和原来的三维几何空间比较一下，就知道摒弃了什么保留了什么了。
抽象空间就是集合。集合？与三维空间有什么共同特征？别急啊，且听我慢慢分解。有了集合，拓展就容易多了。可以把空间看做定义了某种运算的集合。线性空间就是定义了线性运算的集合。何谓线性运算？加法和数乘（严格说是对这两种运算封闭）。有了线性空间，还可以进一步拓展。比如规定度量性质——内积。实数域上定义了内积的线性空间，便是欧几里得空间。再拓展到复数域上，便是酉空间。针对内积的不同情况，便有不同的线性空间。其中内积收敛（平方可积）的，便是Hillbert空间。这就到了我们前面谈到的量子力学基础。但我们暂且不谈量子力学，先回答抽象空间从普通三维空间继承下来的特征。我们知道，空间都有一组基，空间中任一向量可以展开为这样一组基的线性组合。线性组合的系数便是在这组基下的坐标。“基”这个概念伟大啊。有了基的概念，便可以有维数。维数就是基矢的个数。这样高维乃至无限维空间就都不难理解了。一方面，“基”不一定是i，j，k一组单位矢量，也可以是一组函数，只要它们之间是线性无关的就可以（这就是保留下来的特征）；另一方面，“基”有很多种取法，不同取法便对应不同的表象（通常将量子力学划分为波动力学和矩阵力学，就是分别针对位置表象和能量表象而言的），不同表象之间可以相互转变（即表象变换，说白了就是坐标变换），变换可以通过算符（别怕，它并不是什么神秘东西，不过是一种线性变换而已）来进行。既然有多种取法，那自然愿意选最简单的一种。经过尝试发现，选择“正交归一”的基是最方便的。正交什么意思？这里，你又看到前面引言中“拓展”那个词。正交便是“垂直”那个概念的拓展。归一怎么回事？从矢量角度讲，便是将其单位化。但这样不利于拓展。怎么利于拓展？寻找更本质的特征。后来发现，利用内积来定义“归一”更加普适，符合我们“追求普遍性”的心愿。其实，“内积”更容易被当成积分（毕竟有一个“积”字嘛），而不是三维几何空间中的点乘。可是，积分与点乘，看起来好像相差十万八千里，怎么扯到一块去？这就显示出数学的威力来了。我们要抽象，抽象，再抽象，抽象出不同事物的共同特征，然后加以拓展。你没发现吗？点乘是矢量运算，而矢量有分量形式，于是点乘结果不是一项（对于三维几何空间来说是3项），而是几项的和。好了，有了这个求“和”，便可以和“积”联系起来了。只要将离散的量连续化，便可以将求“和”化成“积”分。这个“求和与积分互化”可比高中时三角函数的“和差化积、积化和差”伟大多了。因为它不仅仅是一种运算方法，还是一种思想。思想？没错。数学不仅仅是语言还是思想。回忆一下最初是怎么引入定积分的吧，就是将整个曲线下的面积分割再求和。分割越细，求得的面积近似值越接近真实值。“由近似认识精确”，便是微积分思想的精髓。你去反思，“由近似认识精确”这种数学思想在物理学中占了多大比例。我们总是将一个函数作泰勒级数展开，然后略去高次项。我们这个“求曲线下的面积”包含了两个伟大的思想。一是“由近似认识精确”，一是“求和化成积分”。这两个数学思想都对物理学构成致命的影响，不论经典的还是现代的。实际上，从经典场论过渡到到量子场论就使用了“求和与积分互化”的思想（哲学上，反映了离散与连续的辩证统一）。好了，扯得远了，让我们再回过头来看刚才提到的内积。在三维几何空间中是两个矢量的分量相乘再求和，拓展到抽象空间（一种集合）中便是两个函数相乘再积分。那怎么归一呢？就是积分值为1.为什么非要是1呢？这可不能单纯地认为只是数学问题（为了数学上的一致性：拓展要保留部分原有特征），它还有物理意义呢。量子力学中，将波函数展开为本征函数的线性组合，组合的系数就是前面提到的坐标，系数的平方和其实是发现粒子的概率（波恩的统计解释），概率当然为1了（对于非相对论情形，要求粒子数守恒。到了量子场论，允许粒子产生湮灭，另当别论）。这和内积有什么关系？呵呵，我们不仅要重视结果，还要重视过程。结果是积分值为1，运算过程是怎样的？一方面，既然要求粒子数守恒，至少应该使积分收敛，于是便有了“平方可积”这个概念，这不就是前面提到的Hillbert空间吗？对加法和数乘运算封闭的集合便是线性空间，实数域上定义了内积的线性空间便是欧式空间，推广到复述域便是酉空间，其中内积收敛（平方可积）的便是Hillbert空间。看起来像绕口令，其实是反映了数学的逻辑严密性。另一方面，这个“系数”可以通过本征函数与波函数求内积（也就是本征函数的线性组合那个式子与本征函数自己求内积）得到。这其中可有点学问。“本征函数的线性组合那个式子与本征函数自己求内积”这话有些蹊跷。既然展开需要一组基矢，言外之意是本征函数不止一个。那么，将这么一个线性组合的表达式与哪个本征函数求内积呢？假设它是ψ1，显然，这个组合的表达式中必然也包含了一个ψ1，并且包含了其他的本征函数ψ2.如果1与1作内积便是1，1与2作内积便是0.更一般地，把这里的1换成m，2换成n，即是说m与n相等时内积为1，不相等时为0.这就是δ符号（克罗内克符号，过渡到连续情形，便是狄拉克函数）。这么一个符号有意思啊。怎么有意思呢？如果我们试图将它用矩阵表示出来，便会发现这个矩阵除了主对角线外的其他元素都是0.换句话说，“正交”意味着对角矩阵。矩阵表示？感觉很抽象吗？其实，这是将抽象的线性代数理论形象化的最简单办法。“表示成矩阵”的结果固然美观，但如何表示呢？这个转化的过程会不会很难？其实也不太难。你不是已经熟悉矢量了吗？我们可以将它拓展为张量。标量就是零阶张量，矢量就是一阶张量。很自然地，我们会问二阶张量是什么。它就是矩阵。更高阶的，那就是“立体矩阵”了。张量这个复杂的东西不应该陌生，因为你最熟悉的电磁场就是张量，表示出来是4×4矩阵（之所以是4×4而不是3×3，就因为电动力学的数学基础是相对论，而相对论主张时间与空间不可分割，构成统一的4维时空。对于3维空间里的张量，其矩阵便是3×3的，例如极化矢量，之所以不是2维而是3维，是由空间各向异性造成的）。张量本身是抽象的，表示成分量形式（即矩阵）就容易理解了。我们的波函数也如此。张量以其分量为一组基，我们的波函数就以其本征函数为一组基，这不是很自然吗？好了，我们前面反复谈本征函数，究竟什么叫本征，为什么它就能反映出“本质特征”呢？我们前面不是提到表象、又提到矢量了吗？现在就把这两样东西整合起来。在表象变换（不深奥，就是坐标变换）中，矢量的大小、矢量间的夹角是不变的。这有什么意义？几何中两矢量大小相乘再乘以夹角的余弦便是内积！不论怎么变换，矢量的度量性质（内积）是不变的。它不依赖于坐标系的选择。既然矢量本身的性质（如度量性质）不随坐标系（或说的更本质些，基矢）的改变而改变（其实，对称也是一种变换中的不变性，即变换后与原来重合。而描述这种对称变换的数学便是群论。呵呵，这种“变中之不变”听起来有点“拓扑学”的味道，其实薛定谔方程式有拓扑结构的，程然学长比较关心的Berry曲率就反映了这一点。不过，这在哲学上是容易理解的，对称不变性与拓扑不变性都反映了变与不变的辩证统一），那么当然就是它的比较本质的特征了（本质特征，简称本征）。坐标系是什么？物理学中就是参考系啊。物理规律不随参考系改变而改变，这很自然嘛。似曾相识吧？这就是相对论的基本原理啊。等等，不是谈量子力学吗，怎么扯到它的死对头上去了？其实，相对论与量子力学之所以不好统一，不在于“相对性原理”，相对性原理在哪里都对。关键在于另外一个基本原理（对于狭义，就是光速不变原理；对于广义，就是等效原理）。所以，如果微观客体也遇到需要考虑相对论的情形，量子与相对论就不再是死对头，而可以联姻了。比如微观粒子也会有跑得特别快的（接近光速），这就需要考虑狭义相对论，于是量子电动力学应运而生。至于加速系与引力场的等效，也不是与量子力学毫无关联，只是关联大小问题（说的深点，就是“弱等效”还是“强等效”的区别）。这个问题至今未被大师们解决，我们小辈就不敢妄谈了。所以，学术讨论就此结束吧，下面谈点闲话。我倒是很想回到本文标题，谈谈为什么“总算没有白来一趟物理系”。
曾谨言《量子力学导论》（第二版）最后几页谈到量子力学教学与创新人才培养，其中有这么一句：“真理总是朴素的。我相信，一切理论，不管它多困难和多抽象，总有办法深入浅出地讲清楚。做不到这一点，常常由于教师自己对问题的理解太肤浅”。我这几天听吴老师的量子课，没想到竟然能听明白，对“真理总是朴素的，不论多难，总有办法理解”颇有感触。我想，这一方面是吴一东老师对量子力学理解比较清楚，另一方面得益于前一阵子我去旁听高等代数和群论课。前面那一大段线性代数理论就是旁听高等代数课时产生的；而开头的引言（并且贯穿全文）中提到的“抽象与拓展”就是群论老师亲口说的（他从集合论讲起，使得群的概念不至于太难懂。前面说了，有了集合，就可以定义抽象空间。并且，可以从子集来类比理解子空间，就可以根据交集为空来定义子空间的“直和”。有了集合，就可以拓展得到群的概念。当然，在拓展之前需要进行抽象。群的定义就是从“对称变换”中抽象出来的，它就是对称变换的集合）。在此特别对三位老师一并致谢。另外，感谢李靖阳学长，是他建议我去听数学系的课。还要感谢潘逸文学长，他用数学来理解物理的做法对我影响很深。还有很多可敬可爱的学长，不一一列举了。
量子力学经受住近100年的考验，也算是真理了吧（尽管不是终极真理）。真理是朴素的，那么，量子力学应该也是可以理解的。那为什么很多人不理解呢？正如开头说的，这些人要么不理解其哲学含义，要么不理解其数学基础。我想，不理解其哲学是因为头脑中残留了太多从经典物理中获得的成见；不理解其数学是因为对数学抱有偏见。我用自己的亲身经历证明，量子力学的数学并不像想象中那么困难，线性代数如此，群论和泛函分析也如此（尽管后面两门课程我还没有真正学会，但已经明白了其基本思想和结论是如何影响量子力学的）。
当然，这些并不能表明我已经学会了量子力学。因为我只是觉得自己在渐渐入门，好多问题还不会解答。尤其是做习题，对我来说绝对是超级挑战。学了四大力学才知道，即使理解了基本的知识点，也未必能做出习题。。。。。。虽然我只是对知识本身感兴趣，但习题还是不得不做的。因为我得考研。之所以考研，是因为我的大学学习资源太匮乏。在燕大，有前面提到那3位老师水准的人寥寥无几；而且，即使有群论课（还有量子场论课），学时也太少，天才的老师在短短32学时也讲不出什么（而名校，如中科大，同样课程的学时相当于我们的5倍）。所以，在燕大这样的环境中，很容易产生“白来一趟物理系”的感觉，这是一大心理问题。而能写出今天这篇日志，实属不幸中之万幸。其实，我一直在寻找使自己在逆境中不至于自卑的理由。所以，本文取名为“不白来一趟物理系”，以鼓励自己和那些与我有同样沦落天涯的朋友。
最后，顺便回复“zhuge”朋友的问题：数学思想是怎样促进物理进步的？我查阅了物理学史，发现：1.哥白尼提出日心说是因为觉得托勒密地心说的数学描述太复杂；2.欧姆受到傅里叶的启发而发现欧姆定律，并且因为德国不重视数学而遭到同事排挤；3.麦克斯韦试图给法拉第的力线以数学描述而建立麦克斯韦方程组；4.数学分析导致最小作用量原理的发现和分析力学的建立，量子场论等现代物理中有个基本思想就是寻找哈密顿量；5.“对称性导致守恒律”这条原理是数学家发现的，此后，寻找对称便成了物理学家面对未知世界的先导思想
所以，数学不仅仅是描述物理规律的语言，也不仅仅是有了物理规律之后再给它以更深刻的支撑（如纤维丛的数学思想支撑规范场的物理思想，群论和泛函分析的数学思想支撑量子力学的物理思想，微分几何的数学思想支撑广义相对论的物理思想等），还是导致物理发现的思想先导。
