爱华网黎曼空间
黎曼空间指的是一个n维微分流形M,在其上给定了一个黎曼度量g，广义相对论产生以来，黎曼几何获得了蓬勃的发展，特别是É.嘉当在20世纪20～30年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远，由此还发展了线性联络及纤维丛方面的研究。
常曲率黎曼空间Riemannianspace of constant curvature
截面曲率为常数的黎曼流形，它包括了欧氏空间、球面、双曲空间为其特例。在曲面论中,高斯曲率K为常数的曲面局部地为球面(K>0)，平面（K=0）或双曲平面(K<0)。在高维时高斯曲率的自然推广为截面曲率(见黎曼几何学)。如果黎曼流形M上任何点处的任何二维切平面，其相应的截面曲率均为常数K,则称此黎曼流形为常曲率黎曼空间。又称常曲率空间。由著名的舒尔定理知道,如果dimM≥3并且M上每处的截面曲率的数值与二维切平面的选取无关，则截面曲率也必与点的选取无关，即它必为常曲率黎曼空间。局部地,常曲率K的n维黎曼流形的黎曼曲率张量可表为此处gij为黎曼流形的度量张量,1≤i，j，k,l≤n。在适当的坐标系下它的黎曼度量为
局部地,它是n维球面(K>0)、欧氏空间(K=0)或双曲空间(K<0)。整体地说,单连通的完备常曲率空间只能是下列三种：球面、欧氏空间和双曲空间。如不单连通，则其通用覆盖流形必为上述三类之一。J.A.沃尔夫已完全解决了以球面为其通用覆盖的紧致的正常曲率空间的分类。
流形结
人们对常曲率黎曼空间感兴趣的原因在于这类黎曼流形结构简单，具有最大的对称性（即容有最大参数的运动群）,直观地说,这类空间是均匀各向同性的。它也同时作为共形平坦空间、爱因斯坦空间、齐性黎曼流形或对称黎曼空间等特殊黎曼流形的一类重要的例子。把它作为模型研究清楚以后，通过与这些标准的模型进行诸如曲率等几何量的比较，从而可得到对一般黎曼流形的一系列几何和拓扑的性质。
欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。 这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。 欧氏空间是一个的特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。 欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。 黎曼空间(Riemannian space)参考资料：http://baike.baidu.com/view/532712.htm黎曼曲面函数的黎曼曲面
数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被视为是一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。
黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义全纯函数。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。
每个黎曼曲面都是二维实解析流形（也就是曲面），但它有更多的结构（特别是一个复结构），因为全纯函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面（通常有几种不同的方式）当且仅当它是可定向的。所以球和环有复结构，但是莫比乌斯带，克莱因瓶和射影平面没有。
黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给与其它曲线，流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力。黎曼-罗赫定理就是这种影响的最佳例子。
形式化定义
令X为一个豪斯多夫空间。一个从开子集U⊂C到X的子集的同胚称为坐标卡。两个有重叠区域的坐标卡f和g称为相容的，如果映射fog-1和gof-1是在定义域上全纯的。若A一组相容的图，并且每个X中的x都在某个f的定义域中，则称A为一个图册'。当我们赋予X一个图册A,我们称（X,A）为一个黎曼曲面。如果知道有图册，我们简称X为黎曼曲面。
不同的图册可以在X上给出本质上相同的黎曼曲面结构；为避免这种模糊性，我们有时候要求X为极大的，也就是它不是任何一个更大的图集的子集。根据佐恩引理每个图集A包含于一个唯一的最大图集中。
例子
属性和更多的定义
两个黎曼曲面M和N之间的函数f:M→N称为全纯，如果对于M的图集中的每个图g和N的图集中的每个图h，映射hofog-1在所有有定义的地方是全纯的(作为从C到C的函数)。两个全纯函数的复合是全纯的。两个黎曼曲面M和N称为保角等价（或共形等价），如果存在一个双射的从M到N的全纯函数并且其逆也是全纯的（最后一个条件是自动满足的所以可以略去）。两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的。
每个单连通的黎曼曲面和C或黎曼球C∪{∞}或开圆盘{z∈C:|z| <1}保角等价。这个命题称为单值化定理。
每个连通黎曼曲面可以转成有常数曲率-1，0或1的完备实黎曼流形。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为双曲的;开圆盘是个经典的例子。有曲率0的黎曼曲面称为抛物的；C是典型的抛物黎曼曲面。最后，有曲率+1的黎曼曲面称为椭圆的；黎曼球C∪{∞}是这样的一个例子.
对于每个闭抛物黎曼曲面，基本群同构于2阶格群，因而曲面可以构造为C/Γ,其中C是复平面而Γ是格群。陪集的代表的集合叫做基本域。
类似的，对每个双曲黎曼曲面，基本群同构于富克斯群，因而曲面可以由富克斯模型H/Γ构造，其中H是上半平面而Γ是富克斯群。H/Γ陪集的代表是自由正则集，可以作为度量基本多边形。
当一个双曲曲面是紧的，则曲面的总面积是,其中g是曲面的亏格；面积可由把高斯-博内定理应用到基本多边形的面积上来算出。
前面我们提到黎曼曲面，象所有复流形，象实流形一样可定向。因为复图f和g有变换函数h=f(g-1(z))，我们可以认为h是从R2开集到R2的映射，在点z的雅可比矩阵也就是由乘以复数h'(z)的运算给出的实线性变换。但是，乘以复数α的行列式等于|α|^2,所以h的雅可比阵有正的行列式值。所以，复图集是可定向图集。
历史
黎曼最早开始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。
相关主题
参考
来自“http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=黎曼曲面&oldid=18357596”黎曼流形
背景介绍
爱因斯坦的广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲，测量的标准就是所谓的度量。度量是内蕴性质。具有度量的空间就称为黎曼空间。具体的定义
在微分流形以及黎曼几何学科中，一个黎曼流形是具有黎曼度量的实微分流形，换句话说，这个流形上配备有一个对称正定协变二阶张量场，亦即在每一点的切空间上配备一个2阶正定矩阵。给了度量以后，我们就可以向数学分析里做的那样，在黎曼流形上建立起微积分的理论。 欧氏空间R^n中有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2。它的矩阵表示就是单位矩阵。 欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。曲线和曲面的微分几何里，我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形，所以自然赋予了度量结构。 黎曼度量给定后，我们可以有唯一的确定出一个对称（即无挠）联络，并且它是保持黎曼内积。这个联络称为黎曼联络。 有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。在欧氏空间上，联络是0，所以这就是通常意义上的向量函数的微分。 黎曼度量还诱导出黎曼曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度，是内蕴性质，也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。曲率恒消失的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。 大数学家高斯最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率，发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。 这是一个非常了不起的发现。黎曼流体
黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度，角度，面积，体积，曲率，函数梯度及向量域的散度。 每个R的平滑子流形可以导出黎曼度量:把R的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理,所有黎曼流形都可以这样产生。 我们可以定义黎曼流形为和R的平滑子流形是等距同构的度量空间,等距是指其内蕴度量(intrinsicmetric)和上述从R导出的度量是相同的。 这对建立黎曼几何是很有用的。 黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间： 如果 γ :[a,b]→M是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度L(γ)为 （注意：γ'(t) 是切空间M在γ(t)点的元素;||·||是切空间的内积所得出的范数。) 使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在x与y两点之间的距离d(x,y)定义为： d(x,y) =inf{L(γ) : γ 是连接x和y的一条光滑曲线}。虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在:那就是测地线. 在黎曼流形中,测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容.。波恩哈德·黎曼
格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼[1]（GeorgFriedrich BernhardRiemann，1826年9月17日－1866年7月20日）德国数学家[1]，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。
生平
他出生于汉诺威王国（今德国下萨克森）的小镇布列斯伦茨（Breselenz）。他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。
1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。1842年祖母去世后，他搬到吕讷堡的约翰纽姆（Johanneum）。1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改学数学。
1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅可比、狄利克雷和斯坦纳门下。两年后他回到哥廷根。
1854年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何学，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为哥廷根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成为正教授。
1862年，他与爱丽丝·科赫（EliseKoch）结婚。
1866年，他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世。
贡献
他对数学分析和微分几何做出了重要贡献，对微分方程也有很大贡献。
他引入三角级数理论，从而指出积分论的方向，并奠定了近代解析数论的基础，提出一系列问题；他最初引入黎曼曲面这一概念，对近代拓扑学影响很大；在代数函数论方面，如黎曼-诺赫定理也很重要。在微分几何方面，继高斯之后建立黎曼几何学。
他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，柯西-黎曼方程，黎曼思路回环矩阵中。
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