转载 用概率公式P乘＝1-e-P加解题及应用一例 mba逻辑题解题公式

用概率公式P乘＝1-e^-P加解题及应用一例：

美国科普大师马丁·加纳德（1914-）在他的著作《啊哈！灵机一动》中提到一个数学趣味题：取帽子。他在著作中是这样描述的：“以‘至少一个’形式的问题，是著名的娱乐数学问题，它通常以一个的形式给出，n个男人把帽子寄存在饭店里，粗心的存帽姑娘漫不经心，随便递出对号牌，那么至少有一个人能取回他自己的帽子的概率是多少？当n增加时，这个概率很快达到其极限（1-1/e），略大于1/2。这里e是一个著名的相关系数，称做欧拉系数等于2.71828，它在概率问题中经常遇到，如同几何问题中的圆周率。”

得到这一结论的计算过程是这样的：

因为每个男人能取回自己的帽子的可能性是1/n，不能取回自己的帽子（取到别人的帽子）的概率是1-1/n。又因每个男人各自有一次取回帽子的机会，共有n次机会，所以，n个男人中至少有一人取回自己的帽子的概率就是：

P₁＝1-（1-1/n）ⁿ≈1-1/e=1-e^-1（n要足够大）。

现在，我把此题引申出下面二个问题：

1、假设男人们再重复一次来取自己的帽子的话，至少能取回自己帽子的概率是多少？

2、假设每人寄存有二顶帽子，每人至少取回一顶自己的帽子的概率是多少？(帽子重新寄存)

对于第一个问题，因每人再重复一次，则共有2n次机会能取回自己的帽子，所以，至少有一人能取回自己帽子的概率是：

P₂＝1-（1-1/n）²ⁿ≈1-1/e²=1-e^-2

对于第二个问题又有二种情况：

(1)、当不重复取帽子（每人只取一次）时，至少能取回一顶自己的帽子的概率是（每人寄有二顶帽子，取回一顶自己的帽子的机会是原来的二倍）：

P₃＝1-（1-2/n）ⁿ＝1-(1-1/n)²ⁿ≈1-1/e²=1-e^-2

(2)、当再重复一次取帽子时，至少能取回一顶自己的帽子的概率是：

P₄＝1-（1-2/n）²ⁿ＝1-(1-1/n)⁴ⁿ≈1-1/e⁴=1-e^-4

下面我再一次把此问题引申：

在上述各种情况下，问到底会有多少人取回了自己的帽子？（因上述解答的是“至少一人”取回了自己的帽子的概率，我们还不知道实际有几人取回了属于自己的那顶帽子。）

要计算出“到底有多少人取回了自己的帽子”，首先应计算其概率：

依据本论文概率公式P乘＝1-e^-P加

在上述结论P1＝1-e^-1中，P加＝1表示“实际人数取回了自己帽子的累加概率”，而这一累加概率为1，表明已有1人有100%机率取回了自己的帽子；

同理：

在上述结论P2＝1-e^-2中，P加＝2表明已有2人有100%机率（100%+100%＝200%＝2）取回了自己的帽子(可以是同一人。下同)

在结论P3＝1-e^-2中，P加＝2也表明已有2人有100%机率（100%+100%＝200%＝2）取回了自己的帽子。

在结论P4＝1-e^-4中，P加＝4表明已有4人有100%机率（100%+100%+100%+100%＝400%＝4）取回了自己的帽子。

通过以上的计算，出现了累加概率P加>1的事实，但这是根据统计累加得到的统计概率值，这与基础概率定义0≤P(A)≤1并不产生本质上的矛盾。

本文是将加纳德的“帽子问题”引申后得到的各种计算结果，事实上，这就是大自然的普遍规律：

当今最为成功、最有应用前景的物理前沿学科量子论，它其实就是概率论，这一理论的核心就是“不确定性原理”。这与赌博一样是一种不可预测的或然规律，正如霍金在他的著作《果壳里的宇宙》描述的：“宇宙其实就是一个巨大的赌场，赌场各个角落都是骰子在不停地转动……”。

我们知道，赌场掷骰子是一个不断重复的过程（就如宇宙一秒也不能停止它的运转），所以本文引用加纳德的“帽子问题”参照这一客观事实，将其引申出了前面的各种（重复）情况。

不过，在客观事实面前，我们还需解决如下一个概率基础问题：

依照客观规律，本文就是将加纳德“取帽子问题”引入“重复”过程，但这一结果是会出现P加>1的事实。

当今，我们的基础概率是把P加<1（断重复）的结果当成了概率，比如：掷一枚均匀的硬币一次时，出现一次正面的概率是P加＝0.5，掷二次时，出现一次正面的概率是P加＝1；掷一枚均匀的骰子1次时，出现一次6点的概率是P加＝1/6，掷5次时，出现一次6点的概率是5/6，掷6次时，出现一次6点的概率是1。但问题是：既然硬币还是骰子是要不断地重复掷下去的，这就必然会出现P加>1的事实，比如：掷4次硬币，出现一次正面的概率P加＝4/2＝2，掷36次骰子出现一次6点的概率P加＝36/6=6。

对此问题，国际数学科学中心(ICMS)科学主任、英国伦敦大学学院数学教授、英国皇家学会利弗休姆研究员基思·鲍尔（Keith Ball,1960-）教授在他的著作《怪曲线、数兔子——及其他数学探究》第5章“生日问题”中，将这种P加>1的结果看作是P乘“组概率”带来的“期望值”。基思·鲍尔教授论述道：“若期望值为K，则事件不能发生的概率为e^-K（即：若期望值为K，则事件发生的概率为P＝1-e^-K）。”[另注：基思·鲍尔教授这一结论与本论文建立的概率公式几近一致，但不同的是：1、基思·鲍尔教授把“K”看作是概率P引发的期望值，而本论文则认为“K”是与累乘概率P乘相匹配（关联）并与之等价的一个累加概率值P加；2、基思·鲍尔教授是采取取对数的思路得出这一结论的，而本论文取得这一公式的思路（P乘＝1-e^-P加）与基思·鲍尔教授完全不同。]我以为这是不恰当的，这是因为：概率意义上对“期望值”的定义是：“对概率进行加权求和”，比如：如果有60%的概率赢100元，有30%的概率输20元，其期望值是：100元×60%-20元×30%＝60-6＝54元。但是，在上述分析和计算中，P加值是通过概率公式P乘＝1-e^-P加得来的结果，在数学意义上是一个“e”律指数计算过程，P加并未与任何事“权”相关联（比如：帽子的“人”，钞票的“元”）。因此，P加仍然应是一个概率值，只不过是一种累加统计概率而己，我们不能在“未改变任何条件下”把随机事件“断重复”时计算出的P加<1当作概率，而却把随机事件“重复”时计算出的P加>1不当作是概率了。

回望概率理论的创立及发展历程，从卡尔丹（1501-1576）著《赌博论》、伽俐略（1564-1642）著《关于骰子游戏的思想》、惠更斯（1629-1695）著《论赌博中的计算》、贝努里（1655-1705）著《猜度术》等等数学家都是从赌博游戏中探讨概率理论。卡尔丹、伽俐略解决的是骰子出点规律，惠更斯解决的是“二个赌点问题”，贝努里解决的是硬币或骰子等一系列随机事件大数规律。而本论文试图解决的是硬币或骰子等一系列随机事件累乘概率P乘与累加概率P加二者之间的随机关联作用机制问题，是以期用我们的概率理论去揭示大自然非线性混纯（无序与有序、线性与非线性、随机与定机、平衡与偏离矛盾共存系统作用）的规律。

论文说明人：林雄春（湖南·郴州）

2013年1月2日

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