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Y = A * X --> DY/DX = A'
Y = X * A --> DY/DX = A
Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B'
Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A' 1. 矩阵Y对标量x求导： 相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了 Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx] 2. 标量y对列向量X求导： 注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量 y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX =(Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)' 3. 行向量Y'对列向量X求导： 注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。 将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。 重要结论： dX'/dX = I d(AX)'/dX = A' 4. 列向量Y对行向量X’求导： 转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。 注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。 dY/dX' = (dY'/dX)' 5. 向量积对列向量X求导运算法则： 注意与标量求导有点不同。 d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX) d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U' 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X 6. 矩阵Y对列向量X求导： 将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。 注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。 7. 矩阵积对列向量求导法则： d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX) d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX) 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A 8. 标量y对矩阵X的导数： 类似标量y对列向量X的导数， 把y对每个X的元素求偏导，不用转置。 dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ] 重要结论： y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV' y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU' y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' -2VU' + 0 = 2(XU-V)U' 9. 矩阵Y对矩阵X的导数： 将Y的每个元素对X求导， 矩阵求导公式我的收藏 2010-06-0111:36:15 阅读269 评论0 字号：大中小订阅 基本公式：
Y = A * X --> DY/DX = A'
Y = X * A --> DY/DX = A
Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B'
Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A' 1. 矩阵Y对标量x求导： 相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了 Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx] 2. 标量y对列向量X求导： 注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量 y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX =(Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)' 3. 行向量Y'对列向量X求导： 注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。 将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。 重要结论： dX'/dX = I d(AX)'/dX = A' 4. 列向量Y对行向量X’求导： 转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。 注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。 dY/dX' = (dY'/dX)' 5. 向量积对列向量X求导运算法则： 注意与标量求导有点不同。 d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX) d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U' 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X 6. 矩阵Y对列向量X求导： 将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。 注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。 7. 矩阵积对列向量求导法则： d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX) d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX) 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A 8. 标量y对矩阵X的导数： 类似标量y对列向量X的导数， 把y对每个X的元素求偏导，不用转置。 dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ] 重要结论： y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV' y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU' y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' -2VU' + 0 = 2(XU-V)U' 9. 矩阵Y对矩阵X的导数： 将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。 参考文献： Matrix Calculus 的文献： http://www.psi.toronto.edu/matrix/intro.html#Intro http://www.psi.toronto.edu/matrix/calculus.html http://www.stanford.edu/~dattorro/matrixcalc.pdf http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf http://www4.ncsu.edu/~pfackler/MatCalc.pdf http://center.uvt.nl/staff/magnus/wip12.pdf | 
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