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一、行列式定义
行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢？
行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的代数和（共有n!项）。（这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！）
对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依据行列式的性质和展开法则。
二、行列式性质
行列式的那几条性质其实也很容易记忆。
1、行列式转置值不变。这条性质说明行列式行、列等价，凡是对行成立的，对列也成立。
2、互换两行（列），行列式变号。
3、两行（列）相等，则行列式为0。
4、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！
5、两行（列）成比例，则行列式为0。
6、行列式加法运算：某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。
7、某行（列）同乘一个数加到另外一行（列）上，行列式值不变。
这7条性质往往组合使用来求行列式的值。尤其第7条性质，一定要会熟练运用来将一个行列式化为三角行列式（既要会对行使用，也要会对列使用），最好能自己多做点练习。
三、行列式行（列）展开法则
行列式的行（列）展开法则其实是一种降阶求行列式值的方法。
行列式的行（列）展开法则一定注意一点，即一定是某行（列）每个元素同乘以自己对应的代数余子式。（即我一直强调的：要配套。）
如果是某行（列）每个元素同乘以另外一行（列）对应位置的代数余子式则值为零。（即：不配套。）
以上两个定理大家应该学会反向使用。也就是如果发现有类似的n-1阶行列式的代数和的话，可以根据上述定理合并成一个n阶行列式。（推论的证明不就是如此嘛！这种方式可以用来解决一些特殊问题。）
行列式行（列）展开法则往往和行列式的性质配合使用。
此种方式求行列式值不能作为通用方式，因为它的运算量太大了。但是可以采取这种方式找到规律，得到行列式的值的递推公式，从而求值。
以下图片为行列式行（列）展开和利用性质7求行列式值的效率对比。（引用自《线性代数及其应用》DavidC.Lay著）
第167页：
第172页：
四、克莱姆法则
克莱姆法则是用来求线性方程组解的一种方法。（不过这种方式有局限性，因为行列式是方的，所以要求方程组必须是方程个数与未知数个数相同才行。）
在这里呢，需要大家对方程组的解的情况有个大致了解（第三章还会详细讲解）。
1、非齐次线性方程组当系数行列式不等于零的时候有唯一解。
2、齐次线性方程组当系数行列式不等于零的时候有唯一的零解。（因为齐次线性方程组无非是非齐次线性方程组的一种特殊情况而已）
3、非齐次线性方程组当系数行列式等于零的时候有两种可能：无穷解或无解。
行列式等于零说明行列式中的某一个（或多个）行可以由其他行利用行列式的性质组合而得到，所以行列式中出现了零行。
若行列式这种行之间的组合，对于整个对应的方程来说，也会把方程组中的某些方程消去的话，即方程组中有多余（也可说：无效）方程，则方程组无穷多解。
而若这种过程，使得行列式的某些行能变成零，而整个对应的方程却不为零（大家可以想象一下这种形式什么样），说明方程组中出现了矛盾的方程，则方程组无解。
4、齐次线性方程组当系数行列式等于零的时候只能是无穷多解。
以上大致列了一下第一章的内容，没有举实例，以后有时间再补充。
