爱华网“韩信点兵”与“中国剩余定理”
2014年12月19日星期五
四（7）班郝春睿
韩信是中国古代一位有名的大元帅。他少年时就父母双亡，生活困难，曾靠乞讨为生，还经常受到某些泼皮的欺凌，胯下之辱讲的就是韩信少年时被泼皮强迫从胯下钻过的事。
后来他投奔刘邦，展现了他杰出的军事才能，为刘邦打败了楚霸王项羽立下汗马功劳，开创了刘汉皇朝四百年的基业。
江苏淮安民间流传着一则故事——“韩信点兵”，还有成语“韩信点兵，多多益善”的说法。
“韩信点兵”的故事
相传有一次，韩信将军1500名将士与楚王大将李锋交战。双方大战一场，楚军不敌，败退回营。而汉军也有伤亡，只知道大约死伤了四百多人，但一时还不知伤亡多少。
于是，韩信让剩余兵士3人站一排，结果多出2人；5人站一排，又多出4人；7人站一排，多出6人。韩信不假思索说出人数为1049人，众兵士皆拜服。
我们也可以理解为：3人站一排，结果少1人；5人站一排，结果少1人；7人站一排，结果少1人。
3×5×7=105（人）由于死伤四百多人，所以人数应为1000多。
105×10=1050（人）1050-1=1049（人）
韩信是如何凭借交换队列的方式及三个余数，快速算出士兵的总数的呢？
韩信的算法：2×70+4×21+6×15=314（人）314+105×7=1049（人）
明代的数学家程大位在《算法统宗》用诗歌概括了韩信的算法，他写道：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆月正半，除百零五便得知。
意思是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘上21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果按要求加上或减去105或105的倍数，这样就知道所求的数了。
当然，答案不是唯一的，每差105，都是另一个解答，但如果结合实际问题，答案往往就是唯一的了。例如这一一队士兵的大约人数，韩信应是知道的。
后来，“韩信点兵”问题的推广及其解法，被称为“中国剩余定理”。
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数”的题目：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
2×70+3×21+2×15=233233÷105=2……23
中国剩余定理
1247年南宋的数学家秦九韶把《孙子算经》中“物不知其数”一题的方法推广到一般的情况，得到称之为“大衍求一术”的方法，在《数书九章》中发表。这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学家高斯和欧拉发现。所以世界公认这个定理是中国人最早发现的，特别称之为“中国剩余定理”（Chineseremaindertheorem）。
“中国剩余定理”不仅有光辉的历史意义，直到现在还是一个非常重要的定理。1970年，年轻的苏联数学家尤里.马季亚谢维奇（Матиясевич）（28岁）解决了希尔伯特提出的23个问题中的第10个问题，轰动了世界数学界。他在解决这个问题时，用到的知识十分广泛，而在一个关键的地方，就用到了我们的祖先一千多年前发现的这个“中国剩余定理”。
