爱华网幂函数教案（第一课时）
太湖县徐桥高中王志余
教材分析:幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。然后推广一般幂函数的图象和性质。
学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。
教学目标：知识目标：（1）掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.
能力目标：培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。
情感目标： （1）加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析
教学重点：从五个具体函数归纳认识一般幂函数的一些性质并简单应用
教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括一般性质.
教学方法和教学手段：探索发现法和多媒体教学
教学过程
一、创设情景，引入新课
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？
（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数）
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积s=a2,这里S是a的函数。
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积v=a3,这里V是a的函数。
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a=s1/2,这里a是S的函数
问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度v=t-1，这里v是t的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)
这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题）
二、新课讲解
（一）幂函数的概念
如果设变量为x,函数值为y，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？
这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的定义吗？
幂函数的定义：一般地，我们把形如y=xσ的函数称为幂函数，其中x是自变量,α是常数。
【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念）
区别：
对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数
对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数
试一试：判断下列函数那些是幂函数
（1）y=0.98x（2）y=2x3（3）y=x-2（4）y=x1/6
我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？（研究图象和性质）
（二）几个常见幂函数的图象和性质
在初中我们已经学习了幂函数y=x，y=x2,y=x-1的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数y=x3,y=x1/2的图象吗？
【探究二】观察函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2的图象，将你发现的结论写在下表内。
函数 | y=x | y=x2 | y=x3 | y=x1/2 | Y=x-1 |
定义域 | R | R | R | [0，+∞） | (-∞,0)∪(0,+∞) |
值域 | R | [0,+∞) | R | [0，+∞） | (-∞,0)∪(0,+∞) |
奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 | 非奇非偶 | 奇 |
单调性 | 在第Ⅰ象限上单增 | 在第Ⅰ象限上单增  | 在第Ⅰ象限上单增 | 在第Ⅰ象限上单增 | 在第Ⅰ象限上单减 |
定点 | （1，1） | （1，1） | （1，1） | （1，1） | （1，1） |
图象分布 | 第Ⅰ,Ⅲ象限 | 第Ⅰ,Ⅱ象限 | 第Ⅰ,Ⅲ象限 | 第Ⅰ象限 | 第Ⅰ,Ⅲ象限 |
【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2的共同性质。
（1）函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2的图象都过点（1，1）
（2）函数y=x,y=x2,y=x3,,y=x1/2在（0，+∞）上单调递增；
归纳：幂函数y=xα的性质。
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过（1，1）
（2）当α>0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞）上增函数
特别地，当α>1时，x∈（0，1），y=xα的图象在y=x的下方
当0<α<1时，x∈（0，1），y=xα的图象在y=x的上方
（3）当 α<0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数。
（4）幂函数的奇偶性：令α=q/p(其中p与q互质，p,q∈N)
Ⅰ)若p,q都为奇数则y=xσ为奇函数
Ⅱ) 若p奇数,q为偶数则y=xσ为偶函数
Ⅲ) 若p为偶数，q为奇数则y=xσ为非奇非偶函数
【例1】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。
（1）y=x4/5（2）y=x-5/3（3）y=x-4
分析：根据你的学习经历，你觉得求一个函数的定义域应该从哪些方面来考虑？
方法引导：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域。
（1）若函数解析式中含有分母，分母不能为0；
（2）若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；
（3）0的0次幂没有意义；
（4）若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0；
求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组。
结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域。
归纳分析如果判断幂函数的单调性（第一象限利用性质，其余象限利用函数奇偶性与单调性的关系）
【例2】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）
(1)0.33________0.43(2) 0.5-2________(-0.6)-2
(3) 31/2__________41/2(4) 0.50.2____________0.20.5
分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小
三、课堂小结
1、 幂函数的概念。
2、 幂函数的图象
3、 幂函数的性质的应用。
四、课外作业
㈠课本第79页习题2.3第1、2、3题
(二) 1. 下列命题中正确的是( )
A.当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；
B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；
C.若幂函数y＝xn的图象关于原点对称，则y＝xn在定义域内y随x的增大而增大；
D.幂函数的图象不可能在第四象限．
2. 下列函数中不是幂函数的是( )
A.y＝x2； B.y＝x； C.y＝2x； D.y＝x－1．
3.已知函数f(x)＝x(a－1)
当a＝ 时，f(x)为正比例函数；
当a＝ 时，f(x)为反比例函数；
当a＝ 时，f(x)为二次函数；
4. 函数y＝xa(a∈Q)的图象，当0＜x＜1时，在直线y＝x的上方；当x＞1时，在直线y＝x的下方，则a的取值范围是 ．
5．⑴求函数y＝(x＋2)－2的定义域、值域．讨论当x增大时，函数值如何变化？并画出图象；
⑵问上述函数的图象与函数y＝x－2的图象有何关系？
五、教学后记
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，课本内容较少，但高考内容不少，应适当引申，所以设计了一些课本上没有的题目类型，以扩展同学们的视野，同时由于作图的内容较多，建议扫抓住关键点作图，要会熟练地运用计算机或计算器作图，强化对知识的理解。
