爱华网分组分解法通常用于超过三项的多项式的因式分解，四项式的因式分解时，通常分组方法是：二二分组，三一分组。
例1、am+bm+an+bn
解：am+bm+an+bn=（am+bm）+（an+bn）（二二分组）
=m（a+b）+n（a+b）（提公因式法）
=（a+b）（m+n）（提公因式法）
或am+bm+an+bn=（am+an）+（bm+bn）（二二分组）
=a（m+n）+b（m+n）（提公因式法）
=（m+n）（a+b）（提公因式法）
第三节 分组分解法
【知识要点表解】
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法。
方法 | 分类 | 分组方法 | 特点 |
分组分解法 | 四项 | 二项、二项 | ①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组 |
三项、一项 | 先完全平方公式后平方差公式 | ||
五项 | 三项、二项 | 各组之间有公因式 | |
六项 | 三项、三项 二项、二项、二项 | 各组之间有公因式 | |
三项、二项、一项 | 可化为二次三项式 |
【方法主线导析】
●学法建议
本节的重点是设计分组，使其能够具有公因式或运用公式为分解，难点是分组的合理性，值得注意的是分组的方法没有固定的形式，要依据其特点，适当的分组，预见其分组后的结果情况。
●释疑解难
1．对于四项式的两两分组，若分组的方法不同会导致最后的结果不同吗？
[解答]不会，因为通过合理的分组分解，且使每一个因式都分解到不能再分解时，最后的结果一定是相同的。
2．若多项式带有括号，应如何分解？
[解答]若多项式带有括号，且括号内的式子相同时，可用换元后进行分组分解，若括号内式子不相同，又不便直接分组时，要将括号去掉，重新整理后再分组分解。
●典型例题
例1对4x2+2x-9y2-3y运用分组分解法分解因式，分组正确的是：（）
A．（4x2+2x）+（-9y2-3y）B．（4x2-9y2）+（2x-3y）
C．（4x2-3y）+（-9y2+2x）D．（4x2+2x-3y）-9y2
[分析]A．各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理。B．第一组可用平方差公式分解得（2x+3y）（2x-3y），与第二组有公因式2x-3y可提取，所以分组合理，C．与D．各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理。
[解答] B．
例2将x3-x2y-xy2+y3分组分解，下列的分组方法不恰当的是
A．（x3-x2y）+（-xy2+y3）B．（x3-xy2）+（-x2y+y3）
C．（x3+y3）+（-x2y-xy2）D．（x3-x2y-xy2）+y3
[分析]A．、B．各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C．第一组运用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式x+y，所以分组合理，D．第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当。
[解答]D．
例3 把下列各式分解因式
（1）7x2-3y+xy-21x
（2）x2-3ax-6ab-4b2
（3）1-x2+4xy-4y2
[分析]（1）按字母x、y两两分组，或按各项的系数比两两分组。（2）因为各项的系数之间无比例关系，按字母分组后又无公因式，所以应考虑符合公式的分组，即第一项、第四项一组，其余两项为另一组。（3）因为两项一组分组后，均无法继续分解，所以考虑三项、一项的分组，即把符合完全平方公式的项合为一组，另一项作为第二组。
[解答] （1）7x2-3y+xy-21x
=（7x2-21x）+（-3y+xy）
=7x（x-3）+y（x-3）
=（x-3）（7x+y）
或7x2-3y+xy-21x
=（7x2+xy）-（3y+21x）
=x（7x+y）-3（7x+y）
=（7x+y）（x-3）
2、3题略。
注意：虽然分组的形式不同，但分解的结果相同。
例4、 把下列各式分解因式
1、x2-4xy+4y2-3x+6y
2、x3-3x2+6xy-12y2+8y3
3、x2+4xy+4y2-9a2+6a-1
4、x2-2xy+y2-2x+2y+1
[分析]（1）五项式分组常为三项、二项，且把符合公式的分为一组，所以前三项一组，后二项为另一组，（2）第一项与第五项为一组，其答卷项为另一组。（3）前三项与后三项均符合完全平方公式，且两者之间的符号相反，又可用平方差公式。（4）依次分为三项、二项、一项共三组，使其化为二次三项式，再继续运用完全平方公式。
[解答]1、x2-4xy+4y2-3x+6y
=（x2-4xy+4y2）-（3x-6y）
=（x-2y）2-3（x-2y）
=（x-2y）（x-2y-3）
2、3、4题略。
例5 把下列各式分解因式。
(1)a(a-1)(a-2)-6
(2)(x+2)(x-2)-4y(x-y)
(3)y(y+2)+4x(x-y-1)
[分析]（1）（2）（3）都具有一个共性，即含有括号，且都无法再继续进行下去，这时，应考虑去掉括号，重新分组，则可“柳暗花明”，出现转机。
[解答]1、a(a-1)(a-2)-6
=a（a2-3a+2）-6
=a3-3a2+2a-6
=a2（a-3）+2（a-3）
=（a-3）（a2+2）
2、3题略。
例6已知x2+10xy+25y2-1=0，化简x3+5x2y+x2。
[分析]由已知条件，通过因式分解，可得到（x+5y）的值，从而可以化简的求代数式。
[解答]由x2+10xy+25y2-1=0，可得
x2+10xy+25y2-1=0
（x+5y）2-1=0
（x+5y+1）（x+5y-1）=0
x+5y+1=0或x+5y-1=0
当x+5y+1=0时，x3+5x2y+x2=x2（x+5y+1）=0
当x+5y-1=0时，x+5y=1，
x3+5x2y+x2=x2（x+5y+1）
=x2（1+1）
=2x2
[能力层面训练]
●知识掌握
1、用分组分解法把ab-c+b-ac分解因式分组的方法有
A、1种B、2种C、3种 D、4种
2、用分组分解a2-b2-c2+2bc的因式，分组正确的是（）
3、填空：
（1）ax+ay-bx-by=(ax+ay)-()
=()()
(2)x2-2y-4y2+x=()+()
=()()
(3)4a2-b2-4c2+4bc=()-()
=()()
●延伸拓展
10、化简1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)1998
