爱华网例谈数学归纳法的几种表现形式
徐 辉
数学归纳法是高中数学中最基本也是最重要的方法之一，它的实质在于将一个无法（或是很难）穷尽验证的命题转化为证明两个普遍命题：“p(1)真”和“若p(k)真，则P(k+1)真”。数学归纳法有多种表现形式，下面我们结合例题对之作一个简要的阐述。
一、第一数学归纳法此即高中数学所学习的数学归纳法，设p(n)是关于自然数n的命题，若
①（奠基）p(1)成立；
②（归纳）假设p(k)成立可以推出p(k+1)成立，则p(n)是对一切自然数n均成立。
例1：(参见例6).
二、第二数学归纳法 设p(n)是关于自然数n的命题，若
①（奠基）p(1)成立；
②（归纳）假设当n≤k（k为任意自然数）时p(1≤n≤k)成立可以推出p(k+1)
成立，则p(n)是对一切自然数n均成立。
第二数学归纳法的变式：
①成立；
②假设和成立，可以推出成立，则对一切自然数成立。
例2：已知数列其中（n=1,2,…）求证：
（n=1,2,…）
证：(1)n=1时,,
而.故当n=1时命题成立;
当n=2时，，
, 故当n=2时命题也成立.
(2)假设当时命题成立,即,则当时,
.
所以时命题也成立,从而原命题对一切自然数均成立.
三、跳跃式数学归纳法 设p(n)是关于自然数n的命题，若
①成立；
②假设成立（为任意自然数）可推出成立，则对一切自然数成立。
例3、试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n>7,nN)分的邮资。
证：(1) 当n=8,9,…,15时,直接验证知命题成立.
(2)假设当n=k(k>7)命题成立,则当n=k+8时,命题显然也成立.
故原命题得证.
四、双重数学归纳法
设是与两个独立的自然数m和n有关的命题，若
①成立；
②对任意的自然数，假设成立可以推出和都成立，则对任何自然数m和n,都成立。
例4：已知求证：
证：(1)当m=n=1时,不等式成立;
(2)对任意的k,l,假设有和,则
即和都成立,故原命题成立.
五、跷跷板数学归纳法有两个与自然数有关的命题An,Bn,若
①A1成立；
②假设Ak成立可推出Bk成立；假设Bk成立可推出Ak+1成立，则对于任意自然数n, 命题An和Bn均成立。
例5: 设0<a<1, 已知 a1=1+a, an=, 求证对任意,都有.
证: 令An: , Bn:
(1) 当n=1时,,故A1成立.
当n=2时,,
故A2成立.
(2) 假设当时,An成立,即有, 则
, 故Bn成立;
假设Bn成立,即an>1(n), 则,故Ak+1成立.
综上(1)和(2)所述知对任意的和均成立,故对任意的,都有 .
六、反向数学归纳法设p(n)是关于自然数n的命题，若
①p(n)对无限多个自然数n成立,
②假设p(k+1)成立可推出p(k)成立,则命题对一切自然数n都成立.
例6: 设求证:.(#)
证: (1) 首先证明当时不等式成立(对m用第一数学归纳法)
当m=1时,n=2m=2,显然成立；
假设当m=k(k)即n=2k时，有,则当m=k+1,即n=2k+1时，
。故当m=k+1，不等式也成立。
从而当时，不等式成立。
(2)(对n用反向数学归纳法) 假设当n=k+1时,(#)式成立,
则当n=k时，令Ａ＝，
从而
所以，即，故当n=k时，(#)式也成立，从而对一切自然数n(#)式都成立．
