伴随矩阵秩r(A*)与r(A)的关系是怎么来的问题补充:即r(A)=n===>r(A*)=n r(A)=n-1===>r(A*)=1 r(A)<n-1===>r(A*)=0顺便求证AB=0 r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n
最佳答案利用等式A·A* = |A|·E_n (n阶单位矩阵)即可得第一个关系。当r(A)<n,有|A|=0,
于是:若r(A)小于n-1,
则每个n-1阶子阵的行列式为0,从而由A*的定义知A*=0; 若r(A)等于n-1,
则由A·A* = |A|·E_n知,A·A* = 0。
但是由不等式 r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n 知, 0 = r(A·A*) ≥ r(A) + r(A*) - n = n-1 + r(A*) -n = r(A*) -1 即r(A*) ≤ 1。但是A至少有一个n-1阶子阵的行列式不为0,于是由A*的定义知r(A*) = 1回答的补充:不等式r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n 就是参考资料的内容,摘录证明如下:首先注意一个矩阵的秩在它乘以一个可逆矩阵时不变,即:r(AB) = r(A),其中B是可逆矩阵。这由秩的定义(用行向量的线性相关性)可以得到。于是考虑以下分块矩阵XA 0E B其中E是n阶单位矩阵。显然,仍由行向量的线性相关性可得r(X) ≥ r(A) + r(B)。于是只须证r(X) = r(AB) + n。为此,考虑分块矩阵YE -A0 E和分块矩阵ZE -B0 E直接计算可知W = Y·X·Z具有以下分块表示0 -ABE 0当然Y和Z均可逆(行列式都是1),于是r(X) = r(W)。后者显然是 n + r(-AB),当然,r(-AB) = r(AB),得证。
参考资料:许以超《线性代数与矩阵论》,定理4.4.8转自百度知道
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