爱华网有趣的数论
彭翕成pxc417@126.com
武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079
初等数论的教材也无非是这样：整除、不定方程、同余、同余方程、二次同余方程、原根和指数、连分数、质数分布等。但也正如各大高校争相编著微积分教材那样，初等数论的书也如同雨后春笋般冒出。
虽早已有珠玉在前，如闵嗣鹤、严士健所著，潘承洞、潘承彪所著等，可编写者还是前赴后继。原因也很简单，就是他编的写的是他的名字，我编的则是我的名字。反正初等数论的内容在高斯的时代就早已基本定型了，又不是你个人的原创，原样照抄又奈我何？
是安于现状、得过且过，还是锐意进取、不断创新，不同的人选择不同的路。当把眼光投向初等数论的一些科普读物时，我们就能感受到顶级专家和一般作者的区别。正如阿贝尔所说：向大师学习，而不是向大师的门徒学习。
我平时研究几何较多，但有时也会读读一些数论专家所写的小册子，感觉其中确实乐趣无穷。下面几道题，我认为是很有意思的，很可能激发你对数论产生热情。
【例1：三角平方数有多少个？】数学中讲求数形结合。有些数可用图形来表示，如：三角数指的是可排列成三角形的数，前几项是1，3，6，10，15，21，28，36。平方数指的是可排列成正方形的数，前几项是1，4，16，25，36。容易发现1和36同在两列数中。请问这样的三角平方数有多少个呢？
【例3：必有4的倍数】任意几个自然数，可确保其中必有四个数的和是4的倍数。容易发现6个自然数是不够的，譬如：2、2、2、3、3、3。
证明：此题考察的抽屉原理。
7个整数中任取三个，则必有两数之和为偶数，记为a1+a2；
余下的5个整数中再任取三个，也必有两数之和为偶数，记为a3+a4；
再在余下的3个整数中，也必有两数之和为偶数，记为a5+a6；
因为a1+a2、a3+a4、a5+a6均为偶数，它们被4除的余数只有0和2两种，则a1+a2、a3+a4、a5+a6中必有至少两个余数相同，它们的和是4的倍数。
此题可扩展到一般性的结论：在任意2n-1个整数中,必有n个整数的和是n的倍数。
-----------------------------------------------------------
不只一位朋友问起，你这些题目哪里找的，很有意思。
我这人一向愿意和朋友们分享读好书的快乐。以上四道题，如果我没记错的话，应该分别出自：
【1】Joseph H. Silverman：A friendly introduction to number theory
【2】刘培杰：初等数论难题集（第一卷）
【3】单墫：趣味数论
【4】柯召，孙琦：初等数论100例
有几点要补充。
Afriendly introduction to number theory，我原来买的是英文版，此书后出中文版，但书名却译得很普通：数论概论。中国人取名是有讲究的，数论概论中有两个论字，读起来有点不顺。改作数论概貌也许较好，但又和陈景润先生的著作重名。
《趣味数论》和《初等数论100例》则是两本很老的书了，算得上经典的名家名作。我曾向朋友推荐过这两本书，朋友却说，早绝版了，买不到。
去年，我得知华东师范大学出版社要重版单墫先生的一些小册子，《趣味数论》正在其中，心里很高兴，因为我很多书都是在图书馆看的，囫囵吞枣，哪顾得上细细品味。前一阵，拿到了单先生的这套集子，共七册，集子的名字那是相当地谦虚——《单墫老师教你学数学》。前辈风范，晚辈景仰。
刘培杰先生主编的《初等数论难题集（第一卷）》则是新书，参编的还有田廷彦几位，高手出手，自是不凡。在该书序言中，得知还有两卷要出，心里也很是期待。
前几日，在网上闲逛，看到刘培杰数学工作室开网站http://lpj.hit.edu.cn/，马上打开，先是浏览有什么新书，接着自是细细品读刘培杰先生的编辑手记。
刘培杰真是大手笔。我原以为他们主要是以几何书为主的，这才发现数论书也成系列了。在出版的新书中，有一些国外名著可能是新翻译的，但相当部分则是经典重印，《初等数论100例》也在其中。下面几本是我曾经看过的，感觉对扩大视野还是大有帮助。
【5】王元：谈谈素数
【6】冯克勤：平方和
【7】陈景润：数论概貌
【8】柯召，孙琦：谈谈不定方程
【9】单墫：初等数论的知识与问题
刘培杰数学工作室出版的书，我已经买了30多本了，买的最多的还是几何书。以后再给大家作介绍。
注：上海的任念兵兄多次劝我，要我把看过的书做些总结和简评，方便后来人。其实，任兄是知道我的，虽说看的多，但基本上没看懂过，大多只是翻翻而已。不过，有时间写点文字也好，就算对他人无益，也能给自己留个纪念。 2011-09-06
看到网友的留言后，我立刻与倪明老师联系。
倪先生说，他想出单老师的几本，选了其中的7本。正好有申请科普基金的机会，这个书也符合条件，单老师名气也大，所以就得到资助了。他也在考虑多出几本。如果大家有兴趣，可以发表看法，倪先生肯定会考虑的。当然，要征得单老师的同意。
2011-9-21
