第8章MATLAB数值积分与微分
8.1 数值积分
8.2 数值微分
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8.1 数值积分
8.1.1 数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1],i=1,2,…,n,其中x1=a,xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
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8.1.2 数值积分的实现方法
1.变步长辛普生法
基于变步长辛普生法,MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为:
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度,缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值,n为被积函数的调用次数。
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例8-1求定积分。
(1)建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);
(2)调用数值积分函数quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)
S =
0.9008
n =
77
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2.牛顿-柯特斯法
基于牛顿-柯特斯法,MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为:
[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)
其中参数的含义和quad函数相似,只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值,且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数,从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。
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例8-2 求定积分。
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x)
f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2)调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
I =
2.4674
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例8-3分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值,并在相同的积分精度下,比较函数的调用次数。
调用函数quad求定积分:
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)
I =
0.28579444254766
n =
65
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调用函数quad8求定积分:
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)
I =
0.28579444254754
n =
33
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3.被积函数由一个表格定义
在MATLAB中,对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。
例8-4用trapz函数计算定积分。
命令如下:
X=1:0.01:2.5;
Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量
trapz(X,Y)
ans =
0.28579682416393
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8.1.3 二重定积分的数值求解
使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为:
I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)
该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol,trace的用法与函数quad完全相同。
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例8-5 计算二重定积分
(1) 建立一个函数文件fxy.m:
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1;%ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
(2) 调用dblquad函数求解。
global ki;ki=0;
I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)
ki
I =
1.57449318974494
ki =
1038
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8.2 数值微分
8.2.1 数值差分与差商
8.2.2 数值微分的实现
在MATLAB中,没有直接提供求数值导数的函数,只有计算向前差分的函数diff,其调用格式为:
DX=diff(X):计算向量X的向前差分,DX(i)=X(i+1)-X(i),i=1,2,…,n-1。
DX=diff(X,n):计算X的n阶向前差分。例如,diff(X,2)=diff(diff(X))。
DX=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶差分,dim=1时(缺省状态),按列计算差分;dim=2,按行计算差分。
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例8-6生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵,按列进行差分运算。
命令如下:
V=vander(1:6)
DV=diff(V)%计算V的一阶差分
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例8-7用不同的方法求函数f(x)的数值导数,并在同一个坐标系中做出f'(x)的图像。
程序如下:
f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');
g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');
x=-3:0.01:3;
p=polyfit(x,f(x),5);%用5次多项式p拟合f(x)
dp=polyder(p);%对拟合多项式p求导数dp
dpx=polyval(dp,x);%求dp在假设点的函数值
dx=diff(f([x,3.01]))/0.01;%直接对f(x)求数值导数
gx=g(x);%求函数f的导函数g在假设点的导数
plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-');%作图