爱华网[有奖讨论] 卷积运算的实际意义是什么？
卷积运算是信号处理常规的一个运算过程。
作为一个重要的基础，请大家讨论，也就是从概念，应用方向等去谈谈它的意义。
信号处理对很多朋友来说可能比较难，作为基础，我们不能小看它的作用。
欢迎参与讨论。:)
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一个我觉得比较精彩的发言。。。开个头！
从数学的角度分析：
信号处理是将一个信号空间映射到另外一个信号空间，通常就是时域到频域，（还有z域，s域），信号的能量就是函数的范数（信号与函数等同的概念），大家都知道有个Paserval定理就是说映射前后范数不变，在数学中就叫保范映射，实际上信号处理中的变换基本都是保范映射，只要Paserval定理成立就是保范映射（就是能量不变的映射）。
前面说的意思就是信号处理的任务就是寻找和信号集合对应的一个集合，然后在另外一个集合中分析信号，Fourier变换就是一种，它建立了时域中每个信号函数与频域中的每个频谱函数的一一对应关系，这是元素之间的对应，那么运算之间的对应呢，在时域的加法对应频域中的加法，这就是FT线性性的体现，那么时域的乘法对应什么呢，最后得到的那个表达式我们就把它叫卷积，就是对应的频域的卷积。
longdi 发表于 2006-11-16 16:11
对于卷积，下面是我的理解，如果错误，敬请指出，谢谢！
1。两个时域上的函数做卷积可以这样理解：一个函数表征一个线性系统的
冲激响应，这个系统可以是时变的，但一定要是线性的；另一个函数表征
输入到该系统的信号；卷积的结果表征线性系统的输出。对于非线性系统，
输出信号无法表示为输入信号与系统冲激响应的卷积，所以有些教材是叫作
信号与线性系统，强调系统的线性。
2。两个时域上的函数做卷积还可以这样理解：输出表征做卷积的两个函数
在特定时刻看来的相关程度，当然此时其中一个函数已经被看作是y(tao)=x(t-tao)
了，
gable 发表于 2006-11-24 12:13
前两天看MATLAB教程中多项式相乘时候忽然想到一点，谈一下自己的看法，有不足之处还请高人指点。
拿离散信号开刀
卷积的表达式为 y(n)=∑x(k)×h(n-k)或y(n)=∑x(n-k)×h(k)
这里的n-k表示h从负无穷移动到正无穷，每移动一个单位都同x相乘，所有的乘积项相加后就得到了y。
再看一下多项式的乘法
(……x^2+x+1……)×(x^2+3x-3)
=(……x^2+x+1……) ×x^2+(……x^2+x+1……)×3x-(……x^2+x+1……) ×3
由于多项式是固定的，少了反折和平移，但我觉得这样更容易理解卷积的数学表达式
物理意义就是：任何一个信号都可以表示成单位冲击信号之和。当这个信号通过一个线性系统时，若系统的冲击响应已知，则只需将表示该信号的每一个单位冲击信号在不同时延后的冲击响应叠加，总和就是输出信号。
liukeke498 发表于 2006-12-11 19:48
很赞同楼上说的多项式的乘法的例子，从时域和z域的关系也可以理解。两个多项式相乘就是
(a(0)+a(1)*z^(-1)+a(2)*z^(-2)......+a(p)z^(-p))*(b(0)+b(1)*z^(-1)+b(2)*z^(-2)+....+b(q)z^(-q))=c(0)+c(1)z^(-1)+c(2)z^(-2)+....+c(p+q)z^(p+q)
z域的乘积对应时域的卷积，因此乘积后的系数序列（c(0),c(1)....c(p+q))即为序列a(0)....a（p）与序列b(0)...b(q)进行线性卷积而得到
jumpyists 发表于 2006-12-29 13:44
一点感想
2。两个时域上的函数做卷积还可以这样理解：输出表征做卷积的两个函数
在特定时刻看来的相关程度，当然此时其中一个函数已经被看作是y(tao)=x(t-tao)
了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度就越好。
这话好像有问题？相关函数和卷积是不一样的，翻翻信号与系统吧
根据我个人的理解卷积运算之所以对于线形非时变系统如此重要
其原因有两点：
1一个线性非时变系统对于单频正弦信号或复指信号的响应仍然是单频正弦信号或复指信号只是幅度上进行了
加权，可见线性非时变系统对基本信号的响应如此简单就使人想到能否将对复杂信号的响应转化为对简单
信号的响应的求解？
2傅立叶级数傅立叶变换就告诉我们如何将一个信号分解为基本信号
所以对一个信号的响应求解的过程为：
首先将其分解为基本信号
然后对每个基本信号求响应
而卷积则正是这一过程的一个综合表示
所以卷积是如此的重要！！！！！
还有一个很重要的原因是实际物理系统通常都可以近似为线性非时变系统或几个线性非时变系统的互联
所以所以卷积更更更重要了！！！！！
dragonkiss 发表于 2006-12-29 15:22
[quote]原帖由[i]jumpyists[/i]于 2006-12-2913:44 发表
2。两个时域上的函数做卷积还可以这样理解：输出表征做卷积的两个函数
在特定时刻看来的相关程度，当然此时其中一个函数已经被看作是y(tao)=x(t-tao)
了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度 ... [/quote]
这个问题可能是各人理解的不同，可以和原来的朋友PM沟通一下。:)
longdi 发表于 2007-1-1 23:41
我说的相关不完全是严格定义上的相关，不过我觉得可以近似
那样理解卷积。
[quote]原帖由[i]jumpyists[/i]于 2006-12-2913:44 发表
2。两个时域上的函数做卷积还可以这样理解：输出表征做卷积的两个函数
在特定时刻看来的相关程度，当然此时其中一个函数已经被看作是y(tao)=x(t-tao)
了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度 ... [/quote]
ycx198 发表于 2007-1-2 21:01
我比较赞同卷积的相关性的作用 在通信系统中的接收机部分MF匹配滤波器等就是本质上的相关
匹配滤波器最简单的形式就是原信号反转移位相乘积分得到的近似＝相关
相关性越好得到的信号越强这个我们有一次大作业做的 做地做到呕吐 呵呵
还有解调中一些东西本质就是相关 有机会再说哈 偶正在研究这个聂 呵呵
longdi 发表于 2007-1-19 21:44
2。两个时域上的函数做卷积还可以这样理解：输出表征做卷积的两个函数
在特定时刻看来的相关程度，当然此时其中一个函数已经被看作是y(tao)=x(t-tao)
了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度 ...
这话好像有问题？相关函数和卷积是不一样的[/quote]
程乾生老师的《信号数字处理的数学原理》（这本书本网站有的）
Page240有这样的一段话：
“这说明，尽管褶积与相关是从研究不同的问题提出来的，但是二者的实质是相同的，
相关是一种褶积，褶积也是一种相关。”
xiaomifeng134 发表于 2007-1-25 22:52
对于一f(t)，把要考虑的从0到t的时间间隔等分成宽度为t1的n个小间隔，各脉冲的宽度都等于着间隔的宽度t1，各脉冲的高度分别等于他左边所在时间[(k-1)*t1]的函数值。当t1甚小时这些脉冲分别用一些冲激函数来近似地表示，各冲激函数的位置就是它所代表的脉冲左侧边所在的时间，各冲激函数的强度就是它所代表的脉冲的面积。此时f(t)=f(0)*t1*delta(t)+...+f(k*t1)*t1*delta(t-k*t1)+...1=<k<=n,而对于一冲激响应为h(t)的线性系统，当输入f(t)时，输出为y(t)=f(0)*t1*h(t)+...+f(k*t1)*t1*h(t-k*t1)+...当t1趋于零时，y(t)就可表示为f(t)与h(t)的卷积。
longdi 发表于 2007-2-21 21:49
另外，关于相关和卷积的关系，我前面也说了自己的观点，
后来也在程乾生老师的《信号数字处理的数学原理》看到了他的观点：
程乾生老师的《信号数字处理的数学原理》（这本书本网站有的）
Page240有这样的一段话：
“这说明，尽管褶积与相关是从研究不同的问题提出来的，但是二者的实质是相同的，
相关是一种褶积，褶积也是一种相关。”
网络上每个人都有发表自己观点的权利，也有捍卫自己观点的权利，
当网络上缺乏一个大家公认的权威时，说服别人就成了件比较困难的事。
temp_110 发表于 2008-1-7 21:43
如果看成运算规则，卷积就是乘法的另一种表示。
相关在形式上和卷积一样，但是相关显然有统计学上的含义。
bluebolt 发表于 2008-1-19 20:06
根据定义而言卷积和相关根本就不是一个东西，硬要说联系，也就一个信号——比如说x[k]的自相关可以写成x[k]与x[-k]的卷积。
我对卷积的理解没有楼上各位那么深，我觉得单吧卷积隔离开来看什么都不是，卷积无非两个作 ...
同意楼上的观点 卷积与相关不一样
若要说相同那只是在数学表达形式上类似
从物理意义上说
卷积主要用于求输入信号经过系统后的响应 得出的结果仍然是时域上的函数
相关则是求两个信号的相似程度 得出的结果可用一个归一化的参数表示
SevenGirl 发表于 2008-6-4 22:27
感觉卷积，在信号中就主要是时域、频域转换。利用卷积提取前后序列中蕴含的关系。卷积在其他领域也有很多运用，例如在编码中，有卷积码，就是运用原码中前后序列的码字确定当前编码输出，Turbo码就可以认为是一种卷积码。
handchief581 发表于 2008-6-15 18:05
说到卷积，其意义的前提建立这两个条件之下：一是任意的数字信号都可以表示成单位脉冲之线性组合，二是该系统也是线性的。
如果说的比较通俗一点的意思就是说，如果我给一个系统一个脉冲激励，系统会给你一个相对应的响应；如果是一个由脉冲的线性组合给系统激励，那么该激励的响应就是线性组合的因子与脉冲响应的卷积。
不知道我得认识有没有错误，可能说的不是非常的严谨，可以这样去理解。
frdcmimo 发表于 2008-6-24 20:06
楼上说的不错。实际上当一组信号通过一个器件，或者说传递函数时，它的输出是什么呢。无疑用冲击响应可以很好的描述这一过程。而当这些响应应该是线性可加的，这一过程就被描述为卷积。它绝不仅在信号处理中出现，在自动控制也是最常见的问题。当然也有很多非线性器件，比如限幅器，比如回滞器等。
卷积就不够描述了。
