爱华网稀疏矩阵
如果在矩阵中，多数的元素为0，称此矩阵为稀疏矩阵（sparsematrix）。
定义
矩阵中非零元素的个数远远小于矩阵元素的总数，并且非零元素的分布没有规律，则称该矩阵为稀疏矩阵(sparsematrix)；与之相区别的是，如果非零元素的分布存在规律（如上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵），则称该矩阵为特殊矩阵。
优点
稀疏矩阵的计算速度更快,因为M AT L A B只对非零元素进行操作,这是稀疏矩阵的一个突出的优点.
假设矩阵A,B中的矩阵一样.计算2*A需要一百万次的浮点运算,而计算2*B只需要2 0 0 0次浮点运算.
因为M AT L A B不能自动创建稀疏矩阵,所以要用特殊的命令来得到稀疏矩阵.
前面章节中的算术和逻辑运算都适用于稀疏矩阵.
对于一个用二维数组存储的稀疏矩阵Amn,如果假设存储每个数组元素需要L个字节,那么存储整个矩阵需要m*n*L个字节.但是,这些存储空间的大部分存放的是0元素,从而造成大量的空间浪费.为了节省存储空间，可以只存储其中的非0元素.
对于矩阵Amn的每个元素aij,知道其行号i和列号j就可以确定其位置.因此对于稀疏矩阵可以用一个结点来存储一个非0元素.该结点可以定义如下:
[i,j,aij]
该结点由3个域组成,i:行号,j:列号;aij元素值.这样的结点被称为三元组结点.矩阵的每一个元素Qij,由一个三元组结点(i,j,aij)唯一确定.
例如稀疏矩阵A:
50 0 0 0
10 0 20 0
0 0 0 0
-30 0 -60 5
其对应的三元组表为：
1 1 50
2 1 10
2 3 20
4 1 -30
4 3 -60
4 4 5
存储空间
高斯一个稀疏矩阵中有许多元素等于零,这便于矩阵的计算和保存.如果Matlab把一个矩阵当作稀疏矩阵,那么只需在m×3的矩阵中存储m个非零项.第1列是行下标,第2列是列下标,第3列是非零元素值,不必保存零元素.如果存储一个浮点数要8个字节,存储每个下标要4个字节,那么整个矩阵在内存中存储需要16×m个字节.
A = e y e ( 1 0 0 0 ) ;
得到一个1 0 0 0×1 0 0 0的单位矩阵,存储它需要8Mb空间.如果使用命令:
B = s p e y e ( 1 0 0 0 ) ;
用一个1 0 0 0×3的矩阵来代表,每行包含有一个行下标,列下标和元素本身.只需1 6 K b的空间就可以存储1 0 0 0×1 00 0的单位矩阵,它只需要满单位矩阵的0 . 2 %存储空间.对于许多的广义矩阵也可这样来作.
创建转换
在M AT L A B中,用命令s p a r s e来创建一个稀疏矩阵.
命令集8 7创建稀疏矩阵
s p a r s e ( A )由非零元素和下标建立稀疏矩阵A.如果A已是一个稀疏矩阵,则返回A本身.
s p a r s e ( m , n )生成一个m×n的所有元素都是0的稀疏矩阵.
s p a r s e ( u , v , a )生成一个由长度相同的向量u,v和a定义的稀疏矩阵.其中u和v是整数向量,a是一个实数或者复数向量.(ui,vi)对应值ai,如果a中有零元素,则将这个元素排除在外.
稀疏矩阵的大小为m a x (u)×m a x (v).
s p a r s e ( u , v , a , m , n )生成一个m×n的稀疏矩阵,(ui,vi)对应值ai.向量u,v和a必须长度相同.
s p a r s e ( u , v , a , m , n ,生成一个m×n的含有n z m ax个非零元素的稀疏矩阵.(ui,n z m a x )vi)对应值ai.n z m ax的值必须大于或者等于向量u和v的长度.
f i n d ( x )返回向量x中非零元素的下标.如果x=X是一稀疏矩阵个矩阵,那么X的向量就作为一个长向量来考虑.
[ u , v ] = f i n d ( A )返回矩阵A中非零元素的下标.
[ u , v , s ] = f i n d ( A)返回矩阵A中非零元素的下标.用向量s中元素的值及u和v中相应的下标,实际上就是向量u,v和s作为命令s p a r se的参数.
s p c o n v e r t ( D)将一个有三列的矩阵转换成一个稀疏矩阵.D中的第1列作为行的下标,第2列作为列的下标,最后一列作为元素值.而且可以使用命令f u ll将稀疏矩阵转换成一个满矩阵.
命令集8 8转换成满矩阵
f u l l ( S )将稀疏矩阵S转换成一个满矩阵.
a) 创建一个5×5的单位矩阵:
A = e y e ( 5 )
将矩阵A转换成稀疏矩阵B:
(b) 假设M AT L A B中给出如下的向量:
这样就有了行向量,但是也可使用列向量.运行命令S ma t r i x = s p a r s e ( i n d 1 , i n d 2 , n u m b e r ),
结果为:
其中有去掉了两个零元素.将这个矩阵转换成满矩阵,输入:
F u l l m a t r i x = f u l l ( S m a t r i x )
得到的结果为:
注意,稀疏矩阵和得到的满矩阵的大小是分别是由i n d 1和i n d 2中最大元素值确定的,即
使相应的值是零,并且在列出的稀疏矩阵中去掉这个值.
输入命令w h o s可得到:
可以看出虽然两个矩阵的大小相同,但是其中稀疏矩阵需要的存储空间更小些.
(c) 在处理稀疏矩阵时f i n d命令很有用.命令对于稀疏矩阵或者满矩阵都返回相同的结果.
返回得到的三个向量直接用来重新创建一个稀疏矩阵.令S m a t r i x定义在( b )中,运行命令:
得到的结果为:
用下面命令得到的矩阵和( b )中得到的矩阵是不一样的:
运算
原理简介
M AT L A B中对满矩阵的运算和函数同样可用在稀疏矩阵中.结果是稀疏矩阵还是满矩阵,
这取决于运算符或者函数及下列的操作数:稀疏矩阵的压缩存储当函数用一个矩阵作为输入参数,输出参数为一个标量或者一个给定大小的向量时,输出参数的格式总是返回一个满阵形式,如命令si z e.
当函数用一个标量或者一个向量作为输入参数,输出参数为一个矩阵时,输出参数的格式也总是返回一个满矩阵,如命令e ye.还有一些特殊的命令可以得到稀疏矩阵,如命令s p e y e.
对于单参数的其他函数来说,通常返回的结果和参数的形式是一样的,如d i a g.
对于双参数的运算或者函数来说,如果两个参数的形式一样,那么也返回同样形式的结果.在两个参数形式不一样的情况下,除非运算的需要,均以满矩阵的形式给出结果.
两个矩阵的组和[A B],如果A或B中至少有一个是满矩阵,则得到的结果就是满矩阵.
表达式右边的冒号是要求一个参数的运算符,遵守这些运算规则.
表达式左边的冒号不改变矩阵的形式.
例一
假设有:
这是一个5×5的单位满矩阵和相应的稀疏矩阵.
(a) C = 5*B,结果为:
这是一个稀疏矩阵.
(b) D = A + B,给出的结果为:
这是一个满矩阵.
(c) x = B h,结果为:
这是一个满向量.
有许多命令可以对非零元素进行操作.
命令集8 9矩阵的非零元素
n n z ( A )求矩阵A中非零元素的个数.它既可求满矩阵也可求稀疏矩阵.
s p y ( A )画出稀疏矩阵A中非零元素的分布.也可用在满矩阵中,在
这种情况下,只给出非零元素的分布.
s p y ( A , c s t r , s i z e )用指定的颜色c s t r(见表1 3 - 1 )和在s i ze规定的范围内画出稀疏
矩阵A中非零元素的分布.
n o n z e r o s ( A )按照列的顺序找出矩阵A中非零的元素.
s p o n e s ( A )把矩阵A中的非零元素全换为1.
s p a l l o c ( m , n ,产生一个m×n阶只有n z m a x个非零元素的稀疏矩阵.这样可以
n z m a x )有效地减少存储空间和提高运算速度.
n z m a x ( A )给出为矩阵A中非零元素分配的内存数.不一定和nn z ( A )得
到的数相同;参见s p a r s e或者s p a l l o c.
i s s p a r s e ( A )如果矩阵A是稀疏矩阵,则返回1;否则返回0.
s p f u n ( f c n , A )用A中所有非零元素对函数f cn求值,如果函数不是对稀疏矩
阵定义的,同样也可以求值.
s p r a n k( A )求稀疏矩阵A的结构秩.对于所有的矩阵来说,都有
s p r a n k ( A）≥r a n k ( A ).
例二
用下面的命令定义稀疏矩阵:
创建一个大矩阵:
稀疏矩阵Big=kron(A,A)
这个矩阵B i g是什么样子呢?
K r o n e c k e r张量积给出一个大矩阵,它的元素是矩阵A的元素之间可能的乘积.因为参量都是稀疏矩阵,所以得到的矩阵也是一个稀疏矩阵.可以用命令w h o s和i s s p a r s e来确认一下.
查看矩阵B i g的结构图,可输入s p y ( B i g ),结构图如右图所示. 从图中可以看出B ig是一个块双对角矩阵.
特例
MATLAB中有四个基本稀疏矩阵,它们是单位矩阵,随机矩阵,对称随机矩阵和对角矩阵.
命令集9 0单位稀疏矩阵
s p e y e ( n )生成n×n的单位稀疏矩阵.
s p e y e ( m , n )生成m×n的单位稀疏矩阵.
命令speye(A) 得到的结果和s p a r s e ( e y e ( A ) )是一样的,但是没有涉及到满阵的存储.
命令集9 1随机稀疏矩阵
s p r a n d ( A )生成与A有相同结构的随机稀疏矩阵,且元素服从均匀分布.
s p r a n d ( m , n , d e n s )生成一个m×n的服从均匀分布的随机稀疏矩阵,有d e ns×m×
n个非零元素,0≤d e n s≤1.参数d e n s是非零元素的分布密度.
s p r a n d ( m , n , d e n s ,生成一个近似的条件数为1/rc,大小为m×n的随机稀疏矩
r c )阵.如果rc=rc是一个长度为l≤l ( m i n (m, n) )的向量,那么
矩阵将rci作为它l个奇异值的第一个,其他的奇异值为0.
s p r a n d n ( A )生成与A有相同结构的随机稀疏矩阵,且元素服从正态分布.
s p r a n d n ( m , n , d e n s ,生成一个m×n的服从正态分布的随机稀疏矩阵,和sprand
r c )一样.
s p r a n d s y m ( S)生成一个随机对称稀疏矩阵.它的下三角及主对角线部分与S的结构相同,矩阵元素服从正态分布.
s p r a n d s y m ( n , d e n s )生成一个m×n的随机对称稀疏矩阵.矩阵元素服从正态分布,分布密度为de n s.
s p r a n d s y m ( n , d e n s ,生成一个近似条件数为1/rc的随机对称稀疏矩阵.元素以0r c )对称分布,但不是正态分布.如果rc=rc是一个向量,则矩阵有特征值rci.也就是说,如果rc是一个正向量,则矩阵是正定矩阵.
s p r a n d s y m ( n , d e n s ,生成一个正定矩阵.如果k=1,则矩阵是由一正定对称矩r c , k )阵经随机J a c o b i旋转得到的,其条件数正好等于1/rc;如果k= 2,则矩阵为外积的换位和,其条件数近似等于1/rc.
s p r a n d s y m ( S , d e n s ,生成一个与矩阵S结构相同的稀疏矩阵,近似条件数为1/rc.
r c , 3 )参数d e n s被忽略,但是这个参数在这个位置以便函数能确认最后两个参数的正确与否.
例三
(a) 假设有矩阵A:
输入R a n d o m = s p r a n d n ( A ),可得到随机稀疏矩阵:
矩阵中随机数的位置和矩阵A中非零元素的位置相同.
(b) 对于( a )中的矩阵A,输入:
B = s p r a n d s y m ( A )
结果为:
这是一个用矩阵A的下三角及主对角线部分创建的对称矩阵,在非零元素的位置用随机数作为元素值.
用命令s p d i a g s可以取出对角线元素,并创建带状对角矩阵.假设矩阵A的大小为m×n,
稀疏矩阵在p个对角线上有非零元素.B的大小为mi n (m×n)×p,它的列是矩阵A的对角线.向量d的长度为p,其整型分量给定了A的对角元:
di0 主对角线上的对角线
命令集9 2对角稀疏矩阵
[ B , d ] = s p d i a g s ( A)求出A中所有的对角元,对角元保存在矩阵B中,它们的下标保存在向量d中.
s p d i a g s ( A , d )生成一个矩阵,这个矩阵包含有矩阵A中向量d规定的对角元.
s p d i a g s ( B , d , A )生成矩阵A,用矩阵B中的列替换d定义的对角元.
A = s p d i a g s ( B , d , m , n )用保存在由d定义的B中的对角元创建稀疏矩阵A.
例11 . 4给出了如何使用s p d i a g s命令来解普通微分方程组.
方程组
稀疏矩阵在许多实际应用中要保留稀疏矩阵的结构,但是在计算过程中的中间结果会减弱它的稀疏性,如LU分解.这就会导致增加浮点运算次数和存储空间.为了避免这种情况发生,在第稀疏矩阵1 2 9
M AT L A B中用命令对矩阵进行重新安排.这些命令都列在下面的命令集9 3中.通过h e l p命令
可以得到每个命令更多的帮助信息,也可见h e l p d e s k.
命令集9 3矩阵变换
c o l m m d ( A )返回一个变换向量,使得矩阵A列的秩为最小.
s y m m m d ( A )返回使对称矩阵秩为最小的变换.
s y m r c m ( A )矩阵A的C u t h i l l - M c K e e逆变换.矩阵A的非零元素在主对角线附近.
c o l p e r m ( A )返回一个矩阵A的列变换的向量.列按非零元素升序排列.有时这是L U因式分解前有用的变换:lu(A(:,j)).如果A是一个对称矩阵,对行和列进行排序,这有利于C h o l e s k y分解:chol(A(j, j)).
r a n d p e r m ( n )给出正数1,2,. . .,n的随机排列,可以用来创建随机变换矩阵.
d m p e r m ( A )对矩阵A进行D u l m a g e - M e n d e l s o h n分解,输入helpdmperm可得更多信息.
例四
创建一个秩为4的变换矩阵,可输入:
一旦运行p e r m = r a n d p e r m ( 4 ),就会得到:
给出的变换矩阵为:
如果矩阵A为:
输入命令:
运行结果为:
有两个不完全因式分解命令,它们是用来在解大线性方程组前进行预处理的.用he l p d e s k命令可得更多信息.命令集9 4不完全因式分解c h o l i n c ( A , o p t)进行不完全C h o l e s k y分解,变量o p t取下列值之一:
d r o p t o l指定不完全分解的舍入误差,0给出完全分解.
m i c h o l如果m i c h o l = 1,则从对角线上抽取出被去掉的元素.
r d i a g用s q r t ( d r o p t o l*n o r m ( X ( : , j ) ))代替上三角分
解因子中的零元素,j为零元素所在的列.
[ L , U , P ]=返回矩阵X的不完全分解得到的三个矩阵L,U和P,变量o p t取
l u i n c ( X , o p t )下列值之一:
d r o p t o l指定分解的舍入误差.
m i l u改变分解以便从上三角角分解因子中抽取被去掉的列元素.
u d i a g用d r o p t o l值代替上三角角分解因子中的对角线上的零元素.
t h r e s h中心极限.
解稀疏线性方程组既可用左除运算符解,也可用一些特殊命令来解.
命令集9 5稀疏矩阵和线性方程组
s p p a r m s ( k e y s t r , o p )设置稀疏矩阵算法的参数,用helpspparms可得详细信息.
s p a u g m e n t ( A , c )根据[ c*l A; A' 0 ]创建稀疏矩阵,这是二次线性方程组的最
小二乘问题.参见7 . 7节.
s y m b f a c t ( A )给出稀疏矩阵的C h o l e s k y和L U因式分解的符号分解因子.
用help symbfact可得详细信息.
稀疏矩阵的范数计算和普通满矩阵的范数计算有一个重要的区别.稀疏矩阵的欧几里德范数不能直接求得.如果稀疏矩阵是一个小矩阵,则用no r m ( f u l l ( A ) )来计算它的范数;但是对于大矩阵来说,这样计算是不可能的.然而MAT L A B可以计算出欧几里德范数的近似值,在计算条件数时也是一样.
命令集9 6稀疏矩阵的近似欧几里德范数和条件数
n o r m e s t ( A )计算A的近似欧几里德范数,相对误差为10-6.
n o r m e s t ( A , t o l )计算A的近似欧几里德范数,设置相对误差to l,而不用缺省时的1 0-6.
[ n r m , n i t ] =计算近似n r m范数,还给出计算范数迭代的次数n i t.
n o r m e s t ( A )
c o n d e s t ( A )求矩阵A条件数的1-范数中的下界估计值.
[ c , v ]=求矩阵A的1 -范数中条件数的下界估计值c和向量v,使得
c o n d e s t ( A , t r )| |Av| | = ( | |A| | | |v| | ) / c.如果给定tr,则给出计算的过程.t r= 1,
给出每步过程;t r=-1,给出商c / r c o n d ( A ).
例五
假设给出:
用n o r m A p p r o x = n o r m e s t ( S p r s )计算出:
用t h e N o r m = n o r m ( f u l l ( S p r s ) )得:
为了找到它们之间的差别,计算d i f f e r e n c e = t h e N o r m - n o r m A p p ro x,得:
在许多应用中,n o r m e s t计算得到的近似值是一个很好的近似欧几里德范数,它的计算步数要比n o r m要少得多;可参见7. 6节.
用e t r e e命令来找到稀疏对称矩阵的消元树,用向量f来描述消元树,还可用e t r e e p l ot命令画出来.元素fi是矩阵的上三角C h o l e s k y分解因子中i行上第1非零元素的列下标.如果有非零元素,则fi=0.消元树可以这样来建立:
节点i是fi的孩子,或者如果fi= 0,则节点i是树的根节点.
命令集9 7矩阵的消元树
e t r e e ( A )求A的消元树向量f,这个命令有可选参数;输入h e l p
e t r e e获取帮助.
e t r e e p l o t ( A )画出向量f定义的消元树图形.
t r e e p l o t ( p , c , d )画出指针向量p的树图形,参数c和d分别指定节点的颜色和分支数.e t r ee p l o t可以调用这个命令.
t r e e l a y o u t显示树的结构,t r e e p l o t可以调用这个命令.
例六
假设有对称稀疏矩阵B:
运行命令b t r e e = e t r e e ( B ),结果为:
开始的数字2不难理解,它是矩阵的第1列上第1个非零元素的行数,它决定了在C h o l e s ky分解因子的第1行第2列处有一个非零元素.当缩减第1列的元素时就得到第2列的数字5.B在缩减后,在( 5 , 2)位置的元素是非零的,这样消元树向量中第2个元素的值为5.
s p y ( c h o l ( B ) )给出了C h o l e s k y分解因子的结构图,如图9 - 2所示:
图9-2 Cholesky分解结构图
图9-3 矩阵B的消元树
这个向量消元树可以这样来建立:上三角中只有一行有非零元素,节点8,因此这就是树
稀疏矩阵唯一的根.节点1是节点2的孩子,节点2和3是节点5的孩子,而节点5是节点6的孩子.节点4和6是节点7的孩子,而节点7又是节点8的孩子,即根的孩子.
命令e t r e e p l o t ( B )给出了树的结构图,如图9 - 3所示.
消元树的形状取决于列和行序,它可以用来分析消元过程.
用g p l o t命令可以画出坐标和矩阵元素间的联系图形.必须在n×2的矩阵中给出n个坐标,
矩阵的每一行作为一个点.这样就创建出点点之间连接的n×n矩阵,如果点4连接到点8,则(4,8)的值为1.由于是一个大矩阵,而且非零元素较少,所以它应该被建成稀疏矩阵.
这个图可以说明网络问题,如传递问题.它还包含有线性方程组中未知量之间的相关信息.
命令集9 8网络图形
g p l o t ( A , K )如果矩阵A的a(i, j)不为0,则将点ki连接到点kj.K是一个n×
2的坐标矩阵,A是一个n×n的关联矩阵.
g p l o t ( A , K , s t r )用字符串s t r给定的颜色和线型画出的同上图形.字符串s t r的
取值参见表1 3 - 1.
[ X , A ] = u n m e s h ( E )求网格边界矩阵E的L ap l a c e矩阵A和网格点的坐标矩阵X.
