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而今才真懂因式分解十字相乘法的原理(作者：黃志華)
附實體智力遊戲迷的個人讀後感於本文末
原文網址：http://blogold.chinaunix.net/u/14418/showart_2490817.html
昨天前赴香港數學教育學會的周年聚會，會上有梁子傑老師的演講。其中說到一個實例：該如何教一般學生有關二次三項代數式的因式分解方法。筆者聽了以後，有點慚愧，事緣過去一直只是死記著十字相乘法來處理這類因式分解，箇中的原理，是並無深究過。
除了用十字相乘法，也有些高手會直接拆項。比如說是6x2＋23x＋20，他可以憑經驗以至直覺拆成6x2＋8x＋15x＋20，然後便有2x(3x＋4)＋5(3x＋4)，於是下一步便可分解成功，得到(2x＋5)(3x＋4)。但對於初學因式分解的學生，最不明白的是，如何決定23x須拆成8x＋15x而不是別的6x＋17x或10x＋13x之類的呢？
經梁子傑老師解說後，筆者明白了，拆項法和十字相乘法的原理都是一樣的，而拆項法應該是更基本的，至於如何拆項，其實也能有跡可尋的，只需了解其原理便行。
且從最基本的公式說起：
ac＋ad＋bc＋bd
＝a(c＋d)＋b(c＋d)
＝(a＋b) (c＋d)
請注意，ac＋ad＋bc＋bd式子中，首尾兩項（紅色）跟居中兩項（藍色）都是齊備了a、b、c、d四個數的。由此可知，首尾兩項的積，跟居中兩項的積是相等的，都是abcd。據這個原理，就可以幫助我們判斷二次三項式應如何拆項來作因式分解。
用回6x2＋23x＋20作例子。這種二次三項式，居中的兩項因能相加而變成一項，但首尾兩項卻沒有變動過，將其系數相乘，是6×20＝120，根據剛才所說的原理，現在我們要尋找兩個數□和■，二者相乘同樣是120，二者相加須是23。實際做法是把120分解成兩數相乘，看看哪一對數恰好滿足之前所說的兩個條件：□＋■＝23；□×■＝120。以試錯的方法，最後總會找到，僅有8和15這對數能同時滿足那兩個條件。換句話說，我們只有把23x拆成8x＋15x，這個二次三項式才能順利分解。
十字相乘法（如下圖）乃是上述拆項法的改良，實質上也是要重新配置（尋找）出a、b、c、d四個系數，但方法上精妙多了。梁老師說，學生掌握了拆項的原理後，可以嘗試同時使用拆項法及十字相乘法，這樣，會較易明白十字相乘法的使用竅門。梁老師把分解二次三項式的功力分成四個級別，「初階」是明白拆項的原理並能實際使用，「進階」是拆項與十字相乘法一起使用而無困難，「高階」是能僅是用十字相乘法就可以分解二次三項式。「超級」的，又或是手中無劍心中亦無劍的境界，是連十字相乘法都不必用，見到某個二次三項式便能夠直接寫出因式分解的答案！
無奈的是，現時香港的數學教學只要求學生掌握十字相乘法，認為這是最基本的，誰知這是二次三項式分解中的「高階」方法，一點都不基本。事實上，想起小女以前中學時便始終感到十字相乘法難以掌握，而那時筆者也是知其然而不知其所以然，如果當時明白了這些，應可幫助她好好地掌握吧。
[讀後感]
筆者發現越是「高端」的人士，越能明白「基本」(原理)的重要性的。越能欣賞基本原理及有關理論。可是社會上包括不少理科教師，他們並不擁抱「基本」，只求「高階」方法,甚至誤認便捷方法就是好，實在是愚不可及的學習態度來的。
筆者有一個親身而很感愜意的經歷，就是筆者曾將九連環的原理，打從一條筆直的直線開始講起，與一位澳洲來的智力玩具發明及設計者分享，他本身具有數學碩士及工程學博士學位的，他大讚筆者的講解，認為很新穎，可以寫成一本書的。其實當時筆者是從(九)連環的「盤古初開」的階段講起的，與經典九連環相比，傳統的這個玩兒(現在坊間正在廣泛流傳的)，其實屬「高階」產物，因此筆者見識過很多人都很自滿地自以為已經明白了九連環，甚至將那些有關數列公式盡擺出來，其實，還不知道這些「高階」的東西，對絕大部分人來說，都是沒有必要的，如果要真正弄懂九連環，應該要由九連環的胎兒時期(未成形之前)開始研究才對。
更「基本」的東西往往為人忽略，其實「基本」很多時候蘊藏大量智慧，要留待有智慧的人去發掘的。世上不少創新發明往往都是通過掌握事物的基本原理再往上(或橫向)探索，才能發展出來的。
Re: 「高階」是能僅是用十字相乘法就可以分解二次三項式。「超級」的，又或是手中無劍心中亦無劍的境界，是連十字相乘法都不必用，見到某個二次三項式便能夠直接寫出因式分解的答案！
首先，正好像很多玩扭計骰的人，無論遇到是三階抑或是其他變化版的「扭計骰」(內地人稱「魔方」)，立即就去找屬「高階」的「攻略」或解法甚麼的。在下也親歷類似例子，他們當中不乏「人才」一看有關「解法」，就好快將任何新穎的「扭計骰」破解出來的。
試過遇到有這方面「才能」的一位青年，多次向他詢問有關其周邊原理或相關「扭計骰」的關係的時候，他就最多只能比較一下，各款「扭計骰」的難易程度的高低，其他的如重要的Mechanicalpuzzle趣味性探討，他就一概表現得很無奈的，答不出有意義的話來。這些得謂「高階解法」和有關「高階扭計骰」其實對這類人的智商，相信是有所幫助和提高的，不過在數理和解題等科學智慧等方面，應該幫助微乎其微的。不知這算不算是「高分低能」的其中一個典型例子呢！
至於，原文梁先生提到的甚麼「超級」，在下倒認為有些不妥之處的。如果依這個邏輯推廣一下，就好知道問題所在。例如，那些在十秒以內能還原「扭計骰」的豈不是要拜他們為「扭計骰神仙」。那些神童輝之類的人，運算速度就够「神乎其技」了，其實在絕大部分數學家的角度，「神童輝」簡直是「一文不值」的，更可能是糟蹋了數學作為一講求美的演繹這一部分，數學學習與研究終究和「變魔術」應該分開來看代的。
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而今才真懂因式分解十字相乘法的原理(作者：黄志华)
附實體智力遊戲迷的個人讀後感於本文末
原文网址：http://blogold.chinaunix.net/u/14418/showart_2490817.html
昨天前赴香港数学教育学会的周年聚会，会上有梁子杰老师的演讲。其中说到一个实例：该如何教一般学生有关二次三项代数式的因式分解方法。笔者听了以后，有点惭愧，事缘过去一直只是死记着十字相乘法来处理这类因式分解，个中的原理，是并无深究过。
除了用十字相乘法，也有些高手会直接拆项。比如说是6x2＋23x＋20，他可以凭经验以至直觉拆成6x2＋8x＋15x＋20，然后便有2(3x＋4)＋5(3x＋4)，于是下一步便可分解成功，得到(2x＋5) (3x＋4)。但对于初学因式分解的学生，最不明白的是，如何决定23x须拆成8x＋15x而不是别的6x＋17x或10x＋13x之类的呢？
经梁子杰老师解说后，笔者明白了，拆项法和十字相乘法的原理都是一样的，而拆项法应该是更基本的，至于如何拆项，其实也能有迹可寻的，只需了解其原理便行。
且从最基本的公式说起：
ac＋ad＋bc＋bd
＝a(c＋d)＋b(c＋d)
＝(a＋b) (c＋d)
请注意，ac＋ad＋bc＋bd式子中，首尾两项（红色）跟居中两项（蓝色）都是齐备了a、b、c、d四个数的。由此可知，首尾两项的积，跟居中两项的积是相等的，都是abcd。据这个原理，就可以帮助我们判断二次三项式应如何拆项来作因式分解。
用回6x2＋23x＋20作例子。这种二次三项式，居中的两项因能相加而变成一项，但首尾两项却没有变动过，将其系数相乘，是6×20＝120，根据刚才所说的原理，现在我们要寻找两个数□和■，二者相乘同样是120，二者相加须是23。实际做法是把120分解成两数相乘，看看哪一对数恰好满足之前所说的两个条件：□＋■＝23；□×■＝120。以试错的方法，最后总会找到，仅有8和15这对数能同时满足那两个条件。换句话说，我们只有把23x拆成8x＋15x，这个二次三项式才能顺利分解。
十字相乘法（如下图）乃是上述拆项法的改良，实质上也是要重新配置（寻找）出a、b、c、d四个系数，但方法上精妙多了。梁老师说，学生掌握了拆项的原理后，可以尝试同时使用拆项法及十字相乘法，这样，会较易明白十字相乘法的使用窍门。梁老师把分解二次三项式的功力分成四个级别，「初阶」是明白拆项的原理并能实际使用，「进阶」是拆项与十字相乘法一起使用而无困难，「高阶」是能仅是用十字相乘法就可以分解二次三项式。「超级」的，又或是手中无剑心中亦无剑的境界，是连十字相乘法都不必用，见到某个二次三项式便能够直接写出因式分解的答案！
无奈的是，现时香港的数学教学只要求学生掌握十字相乘法，认为这是最基本的，谁知这是二次三项式分解中的「高阶」方法，一点都不基本。事实上，想起小女以前中学时便始终感到十字相乘法难以掌握，而那时笔者也是知其然而不知其所以然，如果当时明白了这些，应可帮助她好好地掌握吧。
[读后感]
高阶方法vs基本原理
笔者发现越是「高端」的人士，越能明白「基本」(原理)的重要性的。越能欣赏基本原理及有关理论。
可是社会上包括不少理科教师，他们并不拥抱「基本」，只求「高阶」方法,甚至误认便捷方法就是好，实在是愚不可及的学习态度来的。
笔者有一个亲身而很感惬意的经历，就是笔者曾将九连环的原理，打从一条笔直的直线开始讲起，与一位澳洲来的智力玩具发明及设计者分享，他本身具有数学硕士及工程学博士学位的，他大赞笔者的讲解，认为很新颖，可以写成一本书的。其实当时笔者是从(九)连环的「盘古初开」的阶段讲起的，与经典九连环相比，传统的这个玩儿(现在坊间正在广泛流传的)，其实属「高阶」产物，因此笔者见识过很多人都很自满地自以为已经明白了九连环，甚至将那些有关数列公式尽摆出来，其实，还不知道这些「高阶」的东西，对绝大部分人来说，都是没有必要的，如果要真正弄懂九连环，应该要由九连环的胎儿时期(未成形之前)开始研究才对。
更「基本」的东西往往为人忽略，其实「基本」很多时候蕴藏大量智能，要留待有智慧的人去发掘的。世上不少创新发明往往都是通过掌握事物的基本原理再往上(或横向)探索，才能发展出来的。
Re: 「高阶」是能仅是用十字相乘法就可以分解二次三项式。「超级」的，又或是手中无剑心中亦无剑的境界，是连十字相乘法都不必用，见到某个二次三项式便能够直接写出因式分解的答案！
首先，正好像很多玩扭计骰的人，无论遇到是三阶抑或是其它变化版的「扭计骰」(内地人称「魔方」)，立即就去找属「高阶」的「攻略」或解法甚么的。在下也亲历类似例子，他们当中不乏「人才」一看有关「解法」，就好快将任何新颖的「扭计骰」破解出来的。
试过遇到有这方面「才能」的一位青年，多次向他询问有关其周边原理或相关「扭计骰」的关系的时候，他就最多只能比较一下，各款「扭计骰」的难易程度的高低，其它的如重要的Mechanicalpuzzle趣味性探讨，他就一概表现得很无奈的，答不出有意义的话来。这些得谓「高阶解法」和有关「高阶扭计骰」其实对这类人的智商，相信是有所帮助和提高的，不过在数理和解题等科学智慧等方面，应该帮助微乎其微的。不知这算不算是「高分低能」的其中一个典型例子呢！
至于，原文梁先生提到的甚么「超级」，在下倒认为有些不妥之处的。如果依这个逻辑推广一下，就好知道问题所在。例如，那些在十秒以内能还原「扭计骰」的岂不是要拜他们为「扭计骰神仙」。那些神童辉之类的人，运算速度就够「神乎其技」了，其实在绝大部分数学家的角度，「神童辉」简直是「一文不值」的，更可能是糟蹋了数学作为一讲求美的演绎这一部分，数学学习与研究终究和「变魔术」应该分开来看代的。
