爱华网（1）证明：AB⊥A1C；
（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，且AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的余弦值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
证明：（1）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，
因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，
所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，
又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，
又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；
（2）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．
以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正向，|OA|为单位长，建立如图所示的坐标系，
可得A（1，0，0），A1（0，3，0），C（0，0，3），B（-1，0，0），
则BC=（1，0，3），.BB1=.AA1=（-1，3，0），A1C=（0，-3，3），
设n=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，
则n?BC=0n?BB1=0，即x+3z=0-x+3y=0，
可取y=1，可得n=（3，1，-1），
故sin＜n，A1C＞=|n?A1C||n|?|A1C|=105
∴cos＜n，A1C＞=155
考点：
考点名称：用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
异面直线所成角：
，
（其中为异面直线a，b所成角，分别表示异面直线a，b的方向向量）。
直线AB与平面所成角：
（为平面α的法向量）；
二面角的平面角：
或（，为平面α，β的法向量）。
用向量求异面直线所成角注意：
①求异面直线所成的角常用平移法或向量法，特别是向量法，由于降低了空间想象的要求，所以需引起我们的重视，用向量法时，需注意两异面直线夹角的范围是
②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
求直线与平面所成的角既可选择传统立体几何的综合推理法，也可选择空间向量的向量法：
①求直线和平面所成角的步骤：作出斜线与其射影所成的角；证明所作的角就是要求的角；常在直角三角形（垂线、斜线、射影所组成的直角三角形）中解出所求角的大小：
②在用向量法求直线OP与α所成的角时一般有两种途径：一是直接求其中OP′，为斜线OP在平面α内的射影；二是通过求进而转化求解，其中n为平面α的法向量。
用向量求二面角注意：
①当法向量的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的大小；
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的补角的大小．
求二面角，大致有两种基本方法：
(1)传统立体几何的综合推理法：①定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法．
(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小．
