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一阶偏微分方程
first order partial differential equation
最简单的一类偏微分方程一个未知函数()=(,,…, )所适合的一组一阶偏微分方程即
[799-01], (1)式中[799-02](之开集)，是实值函数，[799-03]。适合(1)的函数称为其解。
单个拟线性方程
[799-04] (2)是式(1)的重要特例。解=()定义了×中一个曲面，称为(1)的积分曲面，[799-05]是其上一点(,)处的法线方向数，(，，…，,)则定义一个方向场,称为特征方向场。式(2)表明积分曲面在其各点上均与该方向场相切。特征方向场的积分曲线，称为(2)的特征曲线。它们是常微分方程组(特征方程)
[799-06] (3)的积分曲线由上所述,可见式(2)的积分曲面是由式(3)的积分曲线织成的。反之,若一曲面=()是由(3)之积分曲线织成的，则必为式(2)的积分曲面。因此式(3)的讨论对研究偏微分方程(2)有特别的重要意义。
式(2)的定解问题中，最重要的是柯西问题，即在中给定一个－1维子流形 及其上的函数()，要求式(2)的解=()满足以下的附加条件（初始条件）：
[799-07]。 (4)从几何上看，集[799-08]是×中一个给定的－1维子流形，而条件(4)即要求积分曲线(它是×中的一个维子流形)通过Γ。
柯西问题的解的局部存在的条件从几何上看是很清楚的：若在(, )[kg1][kg1]Γ附近[799-09],则在该点附近特征向量场微分同胚于平行向量场，特征曲线族则微分同胚于平行直线族。如果[kg1]Γ在(,)附近横截（即不平行）于该平行直线族,就可以以Γ为底,以该平行直线为“母线”作一“柱面”。它就是所求的积分曲面，亦即柯西问题的解。
对一般的单个一阶非线性偏微分方程
[799-10]， (5)则应以[799-11]代替上述的×对于积分曲面=(),它在(,())处的法线方向由[799-12]所确定，因此(,,)决定了一个过(,)的以[799-13][799-001]为法线的超平面,[kg1]即过该点的积分曲面的切超平面。于是，在[kg1]×中来看,｛(, ,)｝给出一个超平面场，每一个这样的超平面称为过（, ）的接触元素。对于给定的(, )，适合方程(5)的不是惟一的，从而有一个接触元素族。它们的包络是一个以(, )为顶点的锥,称为蒙日锥。方程(5)的积分曲面在各点均切于过该点的蒙日锥。
对于拟线性方程(2),蒙日锥蜕化为过（，）的以[799-14]为方向的轴。
积分曲面既切于蒙日锥，则必沿某一母线切于它。这条母线的方向给出了积分曲面上的一个方向场。对于方程(2)来看,它就是特征方向场。所以在一般的非线性方程(5)，也称它为特征方向场,其积分曲线也称为方程(5)的特征曲线。积分曲面仍由特征曲线织成。
但是，与方程(2)也有所不同,即现在必须在××中来考虑特征方向场，从而可以得到如下的常微分方程组
[799-15]， (6)
[799-16] (7)
[799-17] (8)解出这个方程组将得到一个特征带，它在×中的投影则称为方程(5)的特征曲线。特征带是一个在 ××中的概念。
解柯西问题的特征线法 在解柯西问题(4)时，将写成参数形式
[799-18] (9)[799-19] (10)然而，以它为初始条件还不能解出特征带的方程组，还需要有所适合的初始条件。
对于拟线性方程(2)，以(9)、(10)为初始条件解特征方程组(3)，可得
[800-01] (11)
[800-02] (12)令
[800-03]若在=0时，即在上，|=0≠0,则可以在||充分小时即在附近由(11)解出[800-04]为 (,,…, )的函数，代入(12)即得柯西问题的解。
在以上讨论中，条件
[800-05] (13)极为重要。它在几何上表示特征线横截于Γ。没有这种横截性，一般说来特征曲线不能织成积分曲面，然而若仍可能有解，那么解称为奇异解。条件(13)称为特征条件。
对于非线性偏微分方程(5),需要解出特征带的方程组(6)、(7)、(8)。这时需要 所适合的初始条件。很容易看到，在=0时，应适合以下条件
[800-06]， (14)
[800-07]。 (15)(14)、(15)共有个方程,
它们称为带条件。为了能从其中解出，又需要在=0时
[800-08] (16)在方程(2)的特例下,它就是式(13)。所以式(16)也称为特征条件。
若带条件和特征条件得以满足，就将得出在 =0时、和所适合的初始条件。于是可以得到
[800-09]， (17)
[800-10]， (18)
[800-11]， (19)
利用特征条件,可以从式(17)中解出[800-12]为(,,…,)的函数，代入式(18)即得=()为柯西问题的解。代入式(19)得[kg2]=(),可以证明恰好有[800-13]。
拉格朗日－查皮特方法 求解柯西问题(5)、(4)的另一方法,是求(5)的含有个参数=( , ,…, )的解=(,)。它称为(5)的完全积分。
将(4)所定义的子流形Γ局部地表为
[800-23]。再取[kg2]=()使=(,())经过((),())而且在该点切于Γ，即有
[800-14]这一族解的包络仍是(5)的积分曲面,而且通过Γ，亦即所求柯西问题的解。于是，将问题归结为求(5)的含-1个参数[kg2]=(,,…,-1)的解(,())，它称为(5)的通积分。
若将完全积分对个求包络，即由
[800-15]中消去，还可得到方程(5)的另一种解，称为奇异积分。
于是问题归结为如何求完全积分。为此考虑一个与之相关的问题：求函数=()使之满足一组偏微分方程
[800-16] (20)因为方程个数超过未知数个数，故(20)称为超定方程组。超定方程组有解，需有一定条件称为可积性条件。对于(20)，可积性条件为
[800-17] (21)(, )[kg2]称为泊松括号。若一个方程组适合(21),则称之为对合方程组。
方程(5)可以化为不显含的情形。因为若将=()写为隐函数[kg1](,)=，而以为新的未知函数,则(5)成为[800-18]。若视为自变量则未知函数不显现。因此可以限于求解以下形式的方程
[800-19] (22)对(22)补充以-1个新的方程
[800-20] (23)式中为参数。可以适当取,,…,使(22)、(23)成为对合方程组。再从(22)、(23)中解出：
[800-21](其中含常数,,…,)，即可得(5)的含有个常数的解（即完全积分）
[800-22]以上方法称为拉格朗日-查皮特方法。
普法夫方程组、费罗贝尼乌斯条件 在 U中若给定了一个充分光滑的向量场,则过之每一点必有其惟一的积分曲线若给定(1)个光滑向量场,则不一定经过每一点都有 维子流形使得在其各点上均与这些向量场相切（也不一定能找到 -1维子流形使得在其各点上均与这些向量场相切）。若有这样的 维子流形存在，就说这些向量场可积，该流形称为其积分流形。
求积分流形发生障碍的几何原因，可由下例看出。设在(中给出一个平面场（相当于两个向量场），作柱面如图[柱面上的向量场不一定有封闭的积分曲面存在示意图]，则该平面场在柱面上决定一个向量场。若原平面场可积而有积分曲面存在，则积分曲面与柱面相截将给出柱面上的向量场的封闭积分曲线。但是柱面上的向量场不一定有封闭的积分曲面存在。
上述问题稍加改述：求一个超曲面=()（而不只是维子流形）与个向量场相切，即
[801-1]， (24)这是一个超定方程组。前述拉格朗日－查皮特方法中已遇到这种问题。
式（24）规定出 个一阶偏微分算子(亦即向量场)[801-2]。它们的交换子仍是一阶偏微分算子：
[801-3] 弗罗贝尼乌斯定理指出：超定方程组(24)可积的充分必要条件是存在函数[801-4]使得[801-5]满足式(25)的向量场,,…,称为对合的。
一阶偏微分方程的几何理论有悠久的历史渊源，以后经过.(-J.)嘉当'" class=link>.(-J.)嘉当等人的发展,在几何学、力学和物理学中都有重大的意义。
参考书目
. . , ,“”, , 1978,
C. Carathodory, Calculus of Variations andPartial Differential Equations of First Order,Vol. 1, Holden-Day, San Francisco, 1965.
E.Cartan,Les Systemes Differentiels Exterieurset Leurs Applications Geometriques,Hermann,Paris,1971.
蒋硕民 齐民友
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