矩阵乘法的应用 矩阵乘法及其应用

5-3-2矩陣-矩陣的乘法及其應用

【定義】

矩陣乘法運算：

設A=[aij]m×n，B=[bij]n×p，C=AB=[cij]m×p， 其中

cij=ai1b1j+ai2b2j+"+ainbnj=∑aikbkj,∀1≤i≤m,1≤j≤p

k=1n

即

⎡a11⎢aA=⎢21

⎢#⎢⎣am1

則 a12a22#am2"a1n⎤⎡b11b12"b1p⎤⎢b⎥bb""a2n⎥21222p⎥， ⎥，B=⎢⎢###⎥#⎥⎢⎥⎥bb"b"amn⎦⎢⎥n1n2np⎣⎦

⎡c11""c1p⎤⎢""""⎥⎥， C=AB=⎢⎢##cij#⎥⎢⎥c""c⎢mp⎥⎣m1⎦

其中

cij=ai1b1j+ai2b2j+"+ainbnj=∑aikbkj,∀1≤i≤m,1≤j≤p。

k=1n

易記符號：

B

A AB

【問題】

1. 若AB存在，則BA存在？

2. 若AB,BA都存在，則A,B都是方陣？

3. 若AB,BA都存在，則AB=BA？

4. 若AB,BA都存在，且階數相同，則AB=BA？

5. 給矩陣B,C，若AB=AC，則B=C？

6. 給矩陣B,C，若AB=AC，A≠O，則B=C？

7. 給矩陣B,C，若AB=AC，detA≠0，則B=C？

8. 若AB=O，則A=O或B=O？

9. 給矩陣A，若AO=O，則A=O？

10. 給矩陣A,B，則AB與BA的階數是否相同？

11. 給兩非零矩陣B,C，若AB=AC，則B=C？

12. 矩陣相乘是否滿足交換律？證明或舉反例。

13. 矩陣相乘是否滿足消去律？證明或舉反例。

14. 若矩陣X滿足X2=O，則X=O？證明或舉反例。

15. 給矩陣A,B，則(A+B)2=A2+2AB+B2？證明或舉反例。

16. 給矩陣A,B，則(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3？證明或舉反例。

【定義】

聯立方程組：

⎧a11x1+a12x2+"+a1nxn=b1⎪#可以寫成AX=B， ⎨⎪ax+ax+"+ax=bm22mnnm⎩m11

⎡a11⎢a21其中A=⎢⎢#⎢⎣am1a12"a1n⎤⎡x1⎤⎡b1⎤⎢x⎥⎢b⎥a22"a2n⎥2⎥，X=⎢⎥，B=⎢2⎥。 ⎢#⎥⎢#⎥##⎥⎢⎥⎢⎥⎥am2"amn⎦x⎣n⎦⎣bm⎦

【性質】

1. 矩陣係數積：r(AB)=(rA)B=A(rB)

證明：

設A=[aij]m×n，B=[bij]n×p，

則r∑aikbkj=∑r(aikbkj)=∑(raik)bkj=∑aik(rbkj)。

k=1k=1k=1k=1nnnn

2. 係數積對矩陣加法的分配律：r(A+B)=rA+rB,r∈R。

3. 矩陣乘法對加法分配律：

(1)A(B+C)=AB+AC。

(2)(B+C)A=BA+CA。

證明：設A=[aij]m×n，B=[bij]n×p，C=[cij]n×p 則∑aik(bkj+ckj)=∑(aikbkj+aikckj)=∑aikbkj+∑aikckj。 k=1k=1k=1k=1nnnn

4. 零矩陣的性質：AO=OA=O。

5. 矩陣乘法結合律：(AB)C=A(BC)

證明：

設A=[aij]m×n，B=[bij]n×p，C=[cij]p×q 則∑(∑aikbkl)clj

=∑∑(aikbkl)clj

=∑∑(aikbkl)clj

=∑∑aik(bklclj)

k=1l=1

nk=1l=1npl=1k=1npl=1k=1pnpn

=∑(aik∑bklclj)。

k=1l=1p

【定義】

對角線矩陣：

如果一個方陣中除了對角線上的元不為零外，其餘都是零者稱之，對角線其餘的

⎧0 ,當i≠j元可以為零或非零實數，即aij=⎨。 ⎩實數,當i=j

【問題】

對角線矩陣有何優點？

【定義】

n階單位矩陣(乘法單位元素)：

⎡10"0⎤⎢01"0⎥0,當i≠jk⎥，即aij=⎧且In=In。 In=⎢⎨⎢###⎥⎩1,當i=j⎢⎥⎣00"1⎦

【性質】

設A=[aij]m×n，則InA=AIm=A。

【問題】

設A=[aij]m×n，則下列何者正確？ 1. ImA=A？

2. InA=A？

3. AIm=A？

4. AIn=A？

【定義】

乘法反矩陣：

設A,B皆為n階方陣，若AB=BA=In，稱A,B互為乘法反矩陣(乘法反元素)。

【問題】

1. 若A=[aij]m×n,m≠n，是否可以考慮反矩陣？

2. 乘法反矩陣若存在是否唯一？

3. 是否每個方陣的乘法反矩陣都存在？

4. 乘法反矩陣若存在且唯一的條件為何？

【求法】

求法：

將[A|In]→[In|B]，即可求出，

⎡a11a12""a1n10""0⎤⎢a⎥""aa01021222n⎢⎥#%##%#⎥ 將⎢#⎢⎥##%##%#⎢⎥⎢⎣an1an2""ann00""1⎥⎦⎡10""0b11b12""b1n⎤⎢01""0b⎥bb21222n⎢⎥##%#⎥ 化成⎢##%⎢⎥##%##%#⎢⎥⎢⎣00""1bn1bn2""bnn⎥⎦

此即為同時求出數組聯立方程組的解之意，即將高斯消去法合併。

[A|In]

→[E1A|E1In]

→[E2E1A|E2E1In]

→"

→[EkEk−1"E1A|EkEk−1"E1In]

→[In|B]，

如此則左側變為In，右側變為B，

即A的乘法反矩陣，且AB=BA=In。 此時B=A−1=E−1

kEk−1"E1且A=E−1

1"Ek

【性質】

條件：有乘法反矩陣的充要條件為detA≠0。

【性質】

1. 若AB=AC，A為方陣且A−1存在，則B=C。 2. AB乘法反矩陣為(AB)−1=B−1A−1， 即(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=A(In)A−1=AA−1=In， 且(B−1A−1)(AB)=B−1(A−1A)B=B−1(In)B=BB−1=In。

3. 若A=⎡⎢ab⎤

⎣cd⎥⎦，detA≠0(反矩陣才存在)，

⎡

則A−1=⎢d−b⎤

⎢ad⎥1⎡d−b⎤1⎡⎢−−cbcada−bc⎥=−ca=d⎣ad−bcad−bc⎥ad−bc⎢

⎦⎣⎥⎦detA⎢⎣−c

4. 方陣A有乘法反矩陣的充要條件為detA≠0。

註：因聯立方程組有唯一解的充要條件為detA≠0。

5. (AB)T=BTAT。

6. (AT)−1=(A−1)T。

7. (AB)−1=B−1A−1。

8. 反矩陣唯一性：

若A為方陣且B,C皆為A的反矩陣，則B=C。 證明：

設B,C皆為A的反矩陣

則AB=BA=I且AC=CA=I

得B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C(矛盾)。

【例題】

求反矩陣例子：

1. 對聯立方程組：

⎧⎪x1+2x2+3x3+x4=2

⎪⎨x1+3x2+3x3+2x4=4

⎪2x1+4x2+3x可以寫成AX=B，

3+3x4=5

⎪⎩x1+x2+x3+x4=6−b⎤a⎥⎦。

⎡1⎢1其中A=⎢⎢2⎢⎣1231⎤⎡x1⎤⎡2⎤⎢x⎥⎢4⎥332⎥2⎥，X=⎢⎥，B=⎢⎥。 ⎢x3⎥⎢5⎥433⎥⎢⎥⎢⎥⎥x111⎦⎣6⎦⎣4⎦先如下求出A−1 則可得到解X=A−1B。

[]⎡1⎢1AI=⎢⎢2⎢⎢⎣12311000⎤⎥3320100⎥ 4330010⎥⎥1110001⎥⎦

3(−1)R1+R2⎡12⎢0(−2)R1+R3⎢01

(−1)R1+R4⎢00−3⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯→⎢⎣0−1−2

⎡1⎢(1)R2+R4⎢0

⎯ ⎯⎯⎯⎯→⎢0⎢⎢0⎣

⎡1⎢2(−R3+R4⎢0

3⎢0 ⎯ ⎯⎯⎯⎯→⎢0⎢⎣

⎡1⎢(3)R4⎢0

⎯ ⎯⎯⎯⎯→⎢0⎢⎢⎣0

(−1)R4+R1⎡1⎢(−1)R4+R2⎢0(−1)R4+R3⎢0⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯→⎢⎣0

⎡1(−2)R2+R1⎢0(1)R3+R1⎢⎢0 ⎯⎯⎯⎯⎯→⎢⎢⎣0210021000⎤⎥1−1100⎥ 1−2010⎥⎥0−1001⎥⎦311000⎤⎥01−1100⎥ −31−2010⎥⎥−21−2101⎦⎥1130111−10⎤⎥100⎥010⎥ ⎥21−1⎥3⎦000⎤⎥100⎥ ⎥010⎥3−23⎥⎦−32−3⎤⎥−22−3⎥ ⎥−33−3⎥3−23⎥⎦−210⎤⎥−22−3⎥ −33−3⎥⎥3−23⎥⎦000−31−212−00332311101−10−31−2001−223100−30000100−3000301001−20101001−2

⎡1⎢10(−R3⎢3⎢0 ⎯⎯⎯⎯⎯→⎢⎢⎣0010000100⎤01−21⎥01−22−3⎥ 1−11⎥00⎥1−23−23⎥⎦

=[IA−1]

則可得X=A−1B ⎡⎢1−210⎤⎡2⎤=⎢1−22−3⎥⎢⎥⎡⎢−1⎤

4−14⎥

⎢⎢01−11⎥⎥⎢⎢⎥=⎢⎥ ⎣−23−23⎥5⎥⎢5⎥

⎦⎢⎣6⎥⎦⎢⎣16⎥⎦

2. 例題：

⎡4−1−1−11000⎤

[⎢

AI]=⎢−14−1−10100⎥

⎢⎥⎢−1−14−10010⎥ ⎢⎣−1−1−140001⎥⎦⎥

⎡1111

(R+R⎢1123+R4)+R1⎢−14−1−101⎯ ⎯⎯ ⎯⎯ →⎢⎢−1−14−100

⎢⎣−1−1−1400

(1)R1+R2⎡1111111⎤

(1)R⎢

1+R3⎢0500211⎥⎥

(1)R1+R4⎢0050121⎥

⎯ ⎯⎯ ⎯⎯ →⎢⎢⎣0005112⎥⎥⎦(1

5R2⎡⎢11121

1111111⎤⎥

(15155R⎢

3⎢0100

⎢0101525⎥

1⎥

(15155R⎢0

4⎢0011515⎥

2⎥⎥

⎯ ⎯⎯ ⎯⎯ →⎢0

⎣5555⎦11⎤00⎥⎥10⎥01⎥⎥⎦

⎡⎢(−1)R2+R1⎢1⎢(−1)R3+R1⎢0

(−1)R4+R1⎢0⎢ ⎯ ⎯⎯⎯⎯→⎢0

⎢⎣

=IA−1 0100001000012515151515251515151525151⎤5⎥1⎥⎥5⎥ 1⎥5⎥2⎥⎥5⎦[]

【定義】

機率矩陣（機率向量）：

⎡x1⎤⎢x⎥2若X=⎢⎥，且滿足xi≥0,(i=1,2,",n)， ⎢#⎥⎢⎥⎣xn⎦

其中∑xi=x1+x2+"+xn=1，則稱X是一個機率矩陣。

i=1n

⎡x1⎤⎢x⎥2即若行矩陣X=⎢⎥中的每一個行矩陣的元都是非負的實數，且各元的和為１，⎢#⎥⎢⎥⎣xn⎦

這種矩陣稱之為機率矩陣（或稱機率向量）。

【定義】 轉移矩陣(推移矩陣、隨機矩陣、馬可夫矩陣)：

⎡a11a12"a1n⎤⎥⎢a"aa21222n⎥， 若A=⎢⎢###⎥⎥⎢aa"an1n2nn⎦⎣

且滿足aij≥0,(i=1,2,",n;j=1,2,",n)，

其中∑aij=a1j+a2j+"+anj=1,(1≤j≤n)，

i=1n

則稱A是一個轉移矩陣。

註：

⎡a11a12"a1n⎤⎥⎢a"aa21222n⎥ 即用A=⎢⎢###⎥⎥⎢aa"an2nn⎦⎣n1

表示從現在狀態S1,S2,",Sn

至下一觀察期狀態S1,S2,",Sn的機率變換情形，

狀態

S1

形如S2

#

SnS1a11a21#an1S2a12a22#an2"Sn"a1n"a2n。 %#"ann

【性質】

⎡a11a12"a1n⎤⎡x1⎤⎥⎢a⎢x⎥"aa21222n⎥是一個轉移矩陣，且X=⎢2⎥是一個機率矩陣， 若A=⎢⎢#⎢#⎥##⎥⎥⎢⎢⎥aa"an2nn⎦⎣n1⎣xn⎦

則aij≥0,(i=1,2,",n;j=1,2,",n)，其中∑aij=a1j+a2j+"+anj=1,(1≤j≤n)，

i=1n

且∑xi=x1+x2+"+xn=1，

i=1n

則AX的每一個元∑aikxk都大於或等於零，

k=1n

⎡a11x1+a12x2+"+a1nxn⎤⎢ax+ax+"+ax⎥2112222nn⎥且AX=⎢中各元相加的和也必等於1， ⎥⎢#⎥⎢axax"ax+++nnn⎦⎣n11n22

(a11x1+a12x2+"+a1nxn)+(a21x1+a22x2+"+a2nxn)+"+(an1x1+an2x2+"+annxn)=(a11+a21+"+an1)x1+(a12+a22+"+an2)x2+"+(a1n+a2n+"+ann)xn =x1+x2+"+xn=1，

所以AX也是一個機率矩陣。

【性質】

設A,B皆為n×n階馬可夫矩陣，則AB也是馬可夫矩陣。 證明：

設A=[aij]n×n,B[bij]n×n

且∀i,j,aij≥0,bij≥0，

∑a

i=1

nnij=1,j=1,2,",n

及∑bij=1,j=1,2,",n

i=1

令AB=[cij]n×n

則∑cij

=∑(ai1b1j+ai2b2j+"+ainbnj)

=(∑ai1)b1j+(∑ai2)b2j+"+(∑ain)bnj

i=1i=1i=1i=1nnni=1nn

=b1j+b2j+"+bnj=1

故AB也是馬可夫矩陣

【應用】

假設某地只有甲乙兩家工廠生產並販賣某一種產品， 31每一年甲工廠的顧客中有轉向乙工廠購買此產品，只有仍然向甲工廠購買；44

12而乙工廠的顧客中有轉向甲工廠購買，其餘的顧客仍然向乙工廠購買， 33

請問一年、二年、三年後，甲乙兩家工廠的市場佔有率為何？

經過一段很長的時間後，最後甲乙兩工廠的市場佔有率為何？

解答：

設甲乙兩工廠目前市場佔有率為x0,y0，其中x0+y0=1

n年後甲乙兩工廠市場佔有率分別為xn,yn

11第一年甲工廠的市場佔有率x1=x0+y0 43

32乙工廠的市場佔有率y1=x0+y0 43

⎡11⎤⎢⎥令A=⎢43⎥ 32⎢⎣43⎦

⎡xn⎤第n期的狀態為P(n)=⎢⎥ ⎣yn⎦

(稱P(0),P(1),P(2),",P(n)形成一個馬可夫鏈，矩陣A稱為此馬可夫鏈的轉移矩陣或推移矩陣) ⎡11⎤⎡x1⎤⎢43⎥⎡x0⎤(1)(0)==APP=表示上述的關係 則可用⎢y⎥⎢32⎥⎢y⎥⎣1⎦⎢⎥⎣0⎦⎣43⎦

11第二年甲工廠的市場佔有率x2=x1+y1 43

32乙工廠的市場佔有率y2=x1+y1 43

⎡11⎤⎥⎡x⎤⎡x⎤⎢則P(2)=⎢2⎥=⎢43⎥⎢1⎥=AP(1) ⎣y2⎦⎢32⎥⎣y1⎦⎣43⎦

依據上述類推可得：

⎡11⎤⎥⎡x⎤⎡x⎤⎢P(n+1)=⎢n+1⎥=⎢43⎥⎢n⎥=AP(n) ⎣yn+1⎦⎢32⎥⎣yn⎦⎣43⎦

11⎤⎡1511⎤⎡15+xy0⎥0⎢4836⎥⎡x0⎤⎢48(2)36=⎢ 所以P=⎢⎥⎢⎥3325⎥3325⎣y0⎦⎢⎥⎢x0+y0⎥48364836⎣⎦⎣⎦

133⎤133⎤⎡177+xy0⎥0x⎢⎡⎤0(3)432432=⎢432P ⎥⎢⎥299⎣y0⎦255299⎥⎢x0+y0⎥432⎦432⎦⎣432

⎡α⎤經過多年之後的市場佔有率為P=⎢⎥ ⎣β⎦

即P=limP(n)，且α+β=1

因為P=AP(n)

所以P=limP(n+1)=limAP(n)=AlimP(n) n→∞n→∞n→∞n→∞(n+1)⎡177⎢=⎢432255⎢⎣432

4⎧α=⎪13 ⇒X=AX⇒⎨9⎪β=13⎩

觀察可知：

1. A的每一行都是非負的實數。

2. A的每一行的元之和都等於1。

⎡xn⎤3. P(n)=⎢⎥,xn+yn=1。 ⎣yn⎦

【性質】

馬可夫性質：

若A是一個n階轉移矩陣，且A或A的某一次方的所有元都是正數，則對於任意的X0，當n趨近無限大時，若Xn=AnX0會趨近一個行矩陣X，這個X滿足性質(A−In)X=O，且X的各元之和為1。

證明：

若limXn=limAnX0=X n→∞

n→∞n→∞則limXn+1=limAXn=AlimXn=AX n→∞n→∞

⇒AX=X⇒AX−X=O⇒(A−In)X=O

又X之各元和為1(機率矩陣)

故用上述性質可以求出X之各元的值。

⎡001⎤⎥。(循環) 100註：(1)一般的馬可夫鏈不一定會趨近穩定的狀態，例如A=⎢⎢⎥⎢⎣010⎥⎦

⎡u⎤(2)點P(u,v)↔行矩陣（行坐標）⎢⎥。 ⎣v⎦

【性質】

若矩陣A為一馬可夫鏈的推移矩陣，其中P為A的穩定狀態矩陣，Q為任一狀態矩陣，則limAkQ=P。 k→∞

證明：

limAkQ=limAk+hP(0)=limPk+h=P k→∞k→∞k→∞

【應用】

對角化(diagonalization)：

例題一：

1⎤⎡11⎤⎡1−λ，則det(A−λI)=det=λ2−2λ−3=(λ−3)(λ+1) 設A=⎢⎥⎢⎥1−λ⎦⎣41⎦⎣4

為特徵方程式(characteristic polynomial of A)

特徵根(eigenvalue)為3,−1

⎡x1⎤⎡−21⎤x=，(1)對λ1=3時，(A−λ1I)=⎢⎢x⎥ ⎥−42⎣⎦⎣2⎦

⎡x1⎤⎡1⎤⎡−21⎤⎡x1⎤⎡−2x1+x2⎤⎡0⎤x===t⎢⎥=tv1,t≠0 =，則解為若⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎣4−2⎦⎣x2⎦⎣4x1−2x2⎦⎣0⎦⎣x2⎦⎣2⎦

⎡x1⎤⎡21⎤(2)對λ2=−1時，(A−λ2I)=⎢⎥，x=⎢x⎥ 42⎣⎦⎣2⎦

⎡x1⎤⎡1⎤⎡21⎤⎡x1⎤⎡2x1+x2⎤⎡0⎤==x=，則解為若⎢⎢x⎥=t⎢−2⎥,tv2,t≠0 ⎥⎢x⎥⎢4x+2x⎥⎢0⎥42⎣⎦⎣2⎦⎣12⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦

⎡30⎤⎡11⎤−1==[v,v]，則QAQ取Q=⎢12⎢0−1⎥為對角化矩陣 ⎥22−⎣⎦⎣⎦

【理論】 ⎡λ10⎤設Q=[v1,v2],D=⎢，並希望A=QDQ−1⇒Q−1AQ=D⇒AQ=QD ⎥⎣0λ2⎦

⎡λ1⎤⎡3−1⎤=[v v]=[v v]λλ即AQ=A[v1 v2]=[Av1 Av2]=⎢112212⎢⎥=QD ⎥λ62⎣⎦⎣2⎦

⎡00⎤⇒[Av1 Av2]=[λ1v1 λ2v2]⇒[(A−λ1I)v1 (A−λ2I)v2]=⎢⎥=O 00⎣⎦

⎧⎡0⎤⎪(A−λ1I)v1=⎢⎥⎪⎣0⎦⇒[A−λ1I A−λ2I][v1v2]=O⇒⎨

⎪(A−λI)v=⎡0⎤

22⎢0⎥⎪⎣⎦⎩

⎡0⎤⎡0⎤當det(A−λI)=0時，才能取到v1≠⎢⎥,v2≠⎢⎥之解 ⎣0⎦⎣0⎦

故取滿足det(A−λI)=0之λ即可 ⎡0⎤⎡0⎤再代回去解v1≠⎢⎥,v2≠⎢⎥ ⎣0⎦⎣0⎦

⇒det(A−λI)=0之解即為λ1,λ2

此時A=QDQ−1⇒Q−1AQ=D⇒AQ=QD

求Ak=(Q−1DQ)(Q−1DQ)"(Q−1DQ)=Q−1DkQ，並可以求limAk之極限矩陣。 k→∞

例題二：

⎡110⎤⎥ 022設A=⎢⎢⎥⎢⎣003⎥⎦

⎡1−λ

則det(A−λI)=det⎢⎢0

⎢⎣0

特徵根為1,2,3 12−λ00⎤2⎥⎥=−(λ−1)(λ−2)(λ−3)為特徵方程式 3−λ⎥⎦

⎡010⎤⎡x1⎤⎥，x=⎢x⎥ 012(1)對λ1=1時，(A−λ1I)=⎢⎢⎢2⎥⎥⎢⎢⎣002⎥⎣x3⎥⎦⎦

⎡010⎤⎡x1⎤⎡x2⎤⎡0⎤⎡x1⎤⎡1⎤⎥⎢x⎥=⎢x+2x⎥=⎢0⎥，則解為x=⎢x⎥=t⎢0⎥=tv,t≠0 012若⎢3⎥1⎢⎥⎢2⎥⎢2⎢2⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣002⎥⎦⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣2x3⎥⎣x3⎥⎦⎢⎦⎢⎣0⎥⎣0⎥⎦⎦

⎡−110⎤⎡x1⎤⎥，x=⎢x⎥ 002(2)對λ2=2時，(A−λ2I)=⎢⎢⎢2⎥⎥⎢⎢⎣001⎥⎣x3⎥⎦⎦

⎡−110⎤⎡x1⎤⎡−x1+x2⎤⎡0⎤⎡x1⎤⎡1⎤⎥⎢x⎥=⎢2x⎥=⎢0⎥，則解為x=⎢x⎥=t⎢1⎥=tv,t≠0 002若⎢32⎢⎥⎢2⎥⎢⎢2⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎢⎣001⎥⎦⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣x3⎥⎣x3⎥⎦⎢⎦⎢⎣0⎥⎣0⎥⎦⎦

⎡−210⎤⎡x1⎤⎥，x=⎢x⎥ 0−12(3)對λ3=3時，(A−λ3I)=⎢⎢⎢2⎥⎥⎢⎢00⎥⎣0⎣x3⎥⎦⎦

⎡−210⎤⎡x1⎤⎡−2x1+x2⎤⎡0⎤⎡x1⎤⎡1⎤⎥⎢x⎥=⎢−x+2x⎥=⎢0⎥，則解為x=⎢x⎥=t⎢2⎥=tv,t≠0 −012若⎢3⎥3⎢⎥⎢2⎥⎢2⎢2⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥00⎥0⎣0⎦⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣⎣x3⎥⎦⎢⎦⎢⎣0⎥⎣1⎥⎦⎦

⎡111⎤⎡100⎤⎥=[v v v]，則Q−1AQ=⎢020⎥為對角化矩陣 012取Q=⎢123⎢⎢⎥⎥⎢⎢⎣001⎥⎣003⎥⎦⎦

(即

⎡λ1⎤⎥=QD λAQ=A[v1 v2 v3]=[Av1 Av2 Av3]=[λ1v1 λ2v2 λ3v3]=[v1 v2 v3]⎢

2⎢⎥⎢⎣λ3⎥⎦

⇒AQ=QD⇒A=Q−1DQ)

此時若要求Ak=(Q−1DQ)(Q−1DQ)"(Q−1DQ)=Q−1DkQ，可以簡化計算，並可以求limAk之極限矩陣。 k→∞

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