爱华网2010-04-10 09:51:20| 分类： 教学研究 | 标签： |字号大中小 订阅
虽然现在不鼓励数学奥赛，但培尖却是不可或缺的，特将因式分解的方法和习题整理于此，以飨读者。
一．常用的公式
1. (1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；
(8)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．
二．常用的方法
1．双十字相乘法
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1：分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3
解：原式= (x+2y-3)(2x-11y+1)．
2．求根法
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
定理2 若即约分数q / p是整系数多项式f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+……+an-1x+an的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．
例2 分解因式：x3-4x2+6x-4
分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．
解法 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．
原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4) =x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2-2x+2)．
3．待定系数法
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
例3分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3
分析：由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．
解 设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有
解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
4．添项、拆项法
例4因式分解：①x4+x2+1 ②a3+b3+c3－3abc
解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)
②分析：a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2
解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2
＝(a+b)3+c3－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)
例5因式分解：①x3－11x+20 ② a5+a+1
① 分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意16是完全平方数）
解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x(x2－16)+5(x+4) =x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)
② 分析：添上－a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式
解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)
5.综合运用因式定理和待定系数法
例6因式分解：①x3－5x2+9x－6 ②2x3－13x2+3
①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x -2，∴x3－5x2+9x－6＝（x -2) (x2-3x+3）
②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数±1，±3得商±1，±3，±3/2 ，± 1/2，再分别以这些商代入原式求值，可知只有当x= 1/2 时，原式值为0。故可知有因式2x-1
解：∵x=1/2 时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1，
设2x3－13x2+3＝（2x－1)(x2+ax－3）， （a是待定系数）
比较右边和左边x2的系数得 2a－1＝－13， a=－6
∴2x3－13x+3＝（2x－1)(x2－6x－3）。
例7因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20
解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y), 用待定系数法，可设2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a)(x+3y＋b），a、b是待定的系数，
比较右边和左边的x和y两项 的系数，得∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20) 这是关于x的二次三项式，常数项可分解为-（3y－4)(3y+5）,用待定系数法，可设2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］
比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1
∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
例8 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4（提公因式法）
(2)x3-8y3-z3-6xyz（公式法）
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab（公式法或分组后运用公式法）
(4)a7-a5b2+a2b5-b7（分组后提公因式法）
(5)x15+x14+x13+…+x2+x+1（构造法） 分析：x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，
(6)x3-9x+8（拆项法）
解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2． 原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．
(7)a3b-ab3+a2+b2+1（添项法）
三.配套练习
练习1
1．用双十字相乘法分解因式：
(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；
(2)x2-xy+2x+y-3；
(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．
2．用求根法分解因式：
(1)x3+x2-10x-6；
(2)x4+3x3-3x2-12x-4；
(3)4x4+4x3-9x2-x+2．
3．用待定系数法分解因式：
(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；
(2)x4+5x3+15x-9．
练习2 分解因式：
(1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90
(5)6x4+7x3-36x2-7x+6．
(6)(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)
(7)x10+x5-2；
(8)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5
(9）x3+3x2-4；
(10)x4-11x2y2+y4；
(11)x3+9x2+26x+24；
(12)x4-12x+323．
(13)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；
(14)x4+7x3+14x2+7x+1；
(15)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；
(16)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．
练习3 分解因式：
1． ①x4+x2y2+y4 ②x4+4 ③x4－23x2y2+y4
2. ①x3+4x2－9 ②x3－41x+30 ③x3+5x2－18 ④x3－39x－70
3. ①x3+3x2y+3xy2+2y3 ②x3－3x2+3x+7 ③x3－9ax2+27a2x－26a3
④x3+6x2+11x+6 ⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2
4. ①3x3－7x+10 ②x3－11x2+31x－21 ③x4－4x+3 ④2x3－5x2+1
5. ①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x-3)(x2+3x+4）－8
③（x+1)(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x－7)(2x+5)(x2－9)－91
6．①x2y2+1－x2－y2+4xy ②x2－y2+2x－4y－3
③x4+x2-2ax - a+1 ④（x+y)4+x4+y4 ⑤（a+b+c)3-（a3+b3+c3）
