初中数学竞赛因式分解 初中数学竞赛辅导之因式分解

初中数学竞赛辅导之因式分解

2010-04-10 09:51:20|  分类: 教学研究 |  标签: |字号大中小 订阅

虽然现在不鼓励数学奥赛,但培尖却是不可或缺的,特将因式分解的方法和习题整理于此,以飨读者。

一.常用的公式

1. (1)a2-b2=(a+b)(a-b);(2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)     (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数;

(8)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;

(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数.

二.常用的方法

1.双十字相乘法

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);

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(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.

例1:分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3

解:原式= (x+2y-3)(2x-11y+1).

2.求根法

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.

根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.

定理2 若即约分数q / p是整系数多项式f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+……+an-1x+an的根,则必有p是a0的约数,q是an的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数.

例2 分解因式:x3-4x2+6x-4

分析 这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数:±1,±2,±4,只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0,即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2.

解法  用分组分解法,使每组都有因式(x-2).

原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4) =x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2-2x+2).

3.待定系数法

在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.

例3分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3

分析:由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),

  若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.

解 设   x2+3xy+2y2+4x+5y+3  =(x+2y+m)(x+y+n)   =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

  比较两边对应项的系数,则有

  

解之得m=3,n=1.所以  原式=(x+2y+3)(x+y+1).

4.添项、拆项法

例4因式分解:①x4+x2+1 ②a3+b3+c3-3abc

解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x)
②分析:a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2
解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2
=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
例5因式分解:①x3-11x+20  ② a5+a+1
①    分析:把中项-11x拆成-16x+5x 分别与x5,20组成两组,则有公因式可提。(注意16是完全平方数)
 解:x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4) =x(x+4)(x-4)+5(x+4) =(x+4)(x2-4x+5)
②   分析:添上-a2 和a2两项,分别与a5和a+1组成两组,正好可以用立方差公式
解:a5+a+1=a5-a2+a2+a+1=a2(a3-1)+ a2+a+1=a2(a-1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3-a2+1)
5.综合运用因式定理和待定系数法

例6因式分解:①x3-5x2+9x-6 ②2x3-13x2+3
①分析:以x=±1,±2,±3,±6(常数6的约数)分别代入原式,若值为0,则可找到一次因式,然后用除法或待定系数法,求另一个因式。
解:∵x=2时,x3-5x2+9x-6=0,∴原式有一次因式x -2,∴x3-5x2+9x-6=(x -2) (x2-3x+3)
②分析:用最高次项的系数2的约数±1,±2分别去除常数项3的约数±1,±3得商±1,±3,±3/2 ,± 1/2,再分别以这些商代入原式求值,可知只有当x= 1/2 时,原式值为0。故可知有因式2x-1
解:∵x=1/2 时,2x3-13x2+3=0,∴原式有一次因式2x-1,   
设2x3-13x2+3=(2x-1)(x2+ax-3), (a是待定系数)
比较右边和左边x2的系数得 2a-1=-13, a=-6
∴2x3-13x+3=(2x-1)(x2-6x-3)。
例7因式分解2x2+3xy-9y2+14x-3y+20
解:∵2x2+3xy-9y2=(2x-3y)(x+3y), 用待定系数法,可设2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+a)(x+3y+b),a、b是待定的系数,
比较右边和左边的x和y两项 的系数,得∴2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)
又解:原式=2x2+(3y+14)x-(9y2+3y-20) 这是关于x的二次三项式,常数项可分解为-(3y-4)(3y+5),用待定系数法,可设2x2+(3y+14)x-(9y2+3y-20)=[mx-(3y-4)][nx+(3y+5)]
比较左、右两边的x2和x项的系数,得m=2, n=1
∴2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)

例8 分解因式:(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4(提公因式法)

(2)x3-8y3-z3-6xyz(公式法)

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab(公式法或分组后运用公式法)

(4)a7-a5b2+a2b5-b7(分组后提公因式法)  

(5)x15+x14+x13+…+x2+x+1(构造法)   分析:x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),

(6)x3-9x+8(拆项法)

解法1 将常数项8拆成-1+9.  原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8).

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x. 原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8).

解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3. 原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8).

解法4 添加两项-x2+x2.  原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8).

(7)a3b-ab3+a2+b2+1(添项法)

三.配套练习

 

练习1

1.用双十字相乘法分解因式:

(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3;

(2)x2-xy+2x+y-3;

(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2.

2.用求根法分解因式:

(1)x3+x2-10x-6;

(2)x4+3x3-3x2-12x-4;

(3)4x4+4x3-9x2-x+2.

3.用待定系数法分解因式:

(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20;

(2)x4+5x3+15x-9.

练习2 分解因式:

(1)x9+x6+x3-3;

(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;

(4)(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90

(5)6x4+7x3-36x2-7x+6.

(6)(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)

(7)x10+x5-2;

(8)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5

(9)x3+3x2-4;

(10)x4-11x2y2+y4;

(11)x3+9x2+26x+24;

(12)x4-12x+323.

(13)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1;

(14)x4+7x3+14x2+7x+1;

(15)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1;

(16)(x+3)(x2-1)(x+5)-20.

练习3 分解因式:

1. ①x4+x2y2+y4        ②x4+4       ③x4-23x2y2+y4
2.   ①x3+4x2-9     ②x3-41x+30    ③x3+5x2-18    ④x3-39x-70
3.   ①x3+3x2y+3xy2+2y3      ②x3-3x2+3x+7     ③x3-9ax2+27a2x-26a3    

④x3+6x2+11x+6       ⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2
4. ①3x3-7x+10      ②x3-11x2+31x-21  ③x4-4x+3         ④2x3-5x2+1
5. ①2x2-xy-3y2-6x+14y-8 ②(x2-3x-3)(x2+3x+4)-8

③(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-48 ④(2x-7)(2x+5)(x2-9)-91
6.①x2y2+1-x2-y2+4xy      ②x2-y2+2x-4y-3
③x4+x2-2ax - a+1        ④(x+y)4+x4+y4          ⑤(a+b+c)3-(a3+b3+c3)

 

  

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