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有限元方法
finite element method
求解微分方程，特别是椭圆型边值问题的一种离散化方法，其基础是变分原理和剖分逼近。有限元方法是传统的里茨－加廖金方法的发展，并融会了差分法的优点，处理上统一，适应能力强，已广泛应用于科学与工程中庞大复杂的计算问题。
作为有限元方法出发点的变分原理，是表达物理基本定律的一种普遍形式。其表述可概括如下：给出一个依赖物理状态的变量()（是函数,()在数学上称为泛函），同时给出()的容许函数集,即一切可能的物理状态,则真实的状态是中使()达到极小值的函数。剖分逼近是有限元离散化的手段，把问题的整体（即求解域）剖分为有限个基本块，称为“单元”，然后通过单元上的插值逼近，得到一个结构简单的函数集，称为“有限元空间”,它一般是容许函数集的子集或有某种联系。有限元方法就是在这个有限元空间中寻找()的极小解作为近似解。
典型问题 为具体说明有限元方法，讨论二维有界域Ω上的椭圆型方程
[816-1], (1) 变系数 表示介质不均匀。物理学中许多平衡态或定常态问题都可归结为这个典型方程与方程(1)相配的有如下三类边界条件：
第一类：[816-2]；
第二类：[816-3]；
第三类：[816-4]。这里的、及均为定义在边界[kg2]Ω上的已知函数，[816-5]表示外法向导数，第二类边界条件是第三类当 =0时的特例。
为说明有限元方法能统一处理复杂的情况，假定讨论的问题是混合边值，并且介质有间断,即Ω分成和两部分，分别有边界条件
[816-6], (2)
[816-7], (3)（,)有间断线，把Ω分为Ω(,Ω(两部分，在间断线上微分方程(1)无定义，而代之以接触条件
[816-8], (4)[816-9]及[816-10]表示间断线上分别指向9Ω(及Ω(的法向导数。
变分原理 与微分方程(1)及附加条件(2)(3)(4)的边值问题相对应的是物理学中的极小能量原理。构造“能量积分”
[816-11] 并取()的容许函数集为一切满足边界条件(2)且一阶偏导数平方可积的函数,则使()达到极小值的,即
[816-12], (6)也必满足方程(1)及(2)、(3)、(4)。事实上，极小能量原理之类的变分原理是物理问题的原始形式，微分方程是数学推导的结果。在变分问题中,只有边界条件(2)是强加到容许函数集上的,边界条件(3)及间断介质的接触条件(4)都是极小解自然满足的，这种情况有利于离散化的统一处理。
剖分逼近 几何剖分的基本单元可取为三角形、矩形、四边形、曲边形等等，其中三角形最基本常用。
假定问题的求解区域为多边形，介质间断线为折线，作三角剖分如图[区域剖分]所示。在剖分中需注意介质间断线与某些三角形的边重合，不同类边界条件的交点与某些三角形的顶点重合。单元的顶点称为网格结点，在Ω上称边界结点，在Ω内称内结点。
几何剖分之后考虑插值逼近。对三角形单元最简单的是线性插值，即利用每个单元三顶点的函数值确定线性函数++的三个系数。 把所有单元{}确定的{++}合在一起,就得到Ω上的一个分片线性插值函数。上的边界结点取值为零的分片线性插值函数都属于问题(5)、(6)的容许函数集,全体这样的函数构成一个有限维线性空间[816-16]，称为有限元空间。假定内结点和上的边界结点共有个，以(=1,…,)表示,则[816-16]的维数就是o 令表示[816-16]中满足条件
[816-13] (7)的成员，则{}构成线性空间[816-16]的一组基。[816-16]中任意函数，都可表为
[817-01], (8)是结点上的函数值()。
单元上的插值方式除了用一次函数外，还可以用二次、三次或更高次的多项式，也可用非多项式函数。插值数据除了用函数值的拉格朗日型外，还可以是包括导数的埃尔米特型插值。种种的几何剖分加上种种的插值方式,就产生众多形式的有限元空间,使有限元方法可有众多的选择。
有限元的离散化 有限元离散化的出发点是与微分方程等价的变分问题。
对于典型问题来说，就是从(5)、(6)出发,用剖分逼近的方法构造有限元空间[816-16]（也称试探函数空间），然后求泛函()在[816-16]中的极小解 作为近似解,即满足
[817-02], (9)把(8)的表达公式[817-03]代入(5)中的()，得
[817-04], (10)式中
[817-05], (11)
[817-06], (12)把(9)的极小解表为[817-07],则(,,…,)使二次函数(10)达到极小,由微分学知满足线性方程组
[817-08]。 (13)方程组(13)来自正定二次函数的极小解问题，故系数矩阵一定对称正定。由于基函数只在以为顶点的单元上不为零，故系数=[817-13]只当结点与连成三角形一边时才不为零。系数矩阵这种稀疏性质，加上对称正定，对方程的求解很有利。
系数[817-09]以及自由项[817-10]的实际计算，通常按所谓单元分析与总体合成的方式进行。即逐个分析Ω内的单元和上的单元边对有关的 [kg2]及的贡献，然后往上迭加。当9Ω内所有单元及上所有单元边都分析之后，方程组(13)的系数矩阵及自由项也就合成出来。间断介质的影响反映在单元分析中被积函数的在Ω(及Ω(取不同的表达式。单元分析通常都采用某种数值积分公式计算。
从虚功原理出发的离散化 微分方程边值问题 (1)(2)、(3)、(4)的解还同时满足:对容许函数集中任一函数，成立
[817-11], (14)这里[kg2](，)及()即表达式(11)、(12)。在物理学中，方程（14）是另一变分原理的数学形式，称为虚功原理或虚位移原理。有限元方法更一般的形式是从虚功方程(14)出发用剖分插值的方式构造一个试探函数空间[816-16]，并同时构造一个检验函数空间;在[816-16]中寻找近似解,使之对中的任一函数，成立
[817-12], (15)当选取与[816-16]相同时, (15)中的可选为基函数，同时用[817-07]代入，就得到方程组(13)。
对于非自共轭椭圆算子,微分方程边值问题=不存在等价的极小值问题，但这时仍可建立虚功方程(14)，其中(,)=(，)F^0()=(，),(·,·)表示(9Ω)的内积。因此，有限元方法仍然有效。
从极小能量原理出发进行离散化又常称为里茨法，从虚功原理出发称为加廖金法。后者是前者的推广。
评价 传统的里茨-加廖金方法,采取解析函数作为试探函数,不能满足任意多边形区域的边界条件,也不适应间断介质的要求，对现在的典型例子无能为力。差分方法虽然能够对付,但由于它对方程(1)及条件(2)、(3)、(4)在处理上不统一,在计算效果及理论分析两方面都带来不利。有限元方法正好对这两者扬长避短，一方面保持了里茨-加廖金方法从变分原理出发的优点,在提法上有极大的概括性，给离散化带来统一处理的方便；另一方面又吸收了差分法剖分逼近的优点，能灵活适应各种几何形状和间断介质等复杂情况。有限元方法除了解题效能高强外，还有牢靠的理论基础，是计算数学理论一大成就。
回顾与展望 有限元方法在中国与西方从不同的实践背景，沿着不同的学术道路、各自独立平行地发展起来。在西方，有限元思想在R.库朗1943年的一篇论文中明确地提出过，但一直没有受到重视。20世纪50年代中期，欧美工程界J.H.阿吉里斯、R.W.克拉夫等以航空工程为背景，在结构分析和矩阵方法基础上提出了结构有限元的雏形。60年代初期，引进连续体的单元剖分；60年代中期，逐渐明确有限元法是变分原理加剖分逼近的思想。1968年，西方数学家对有限元法进行数学的理论分析，开始了有限元法在计算数学中的黄金时代。
在中国，60年代初期，冯康、黄鸿慈等结合解决一系列大型水坝建设的应力分析问题，开展了椭圆型边值问题数值解的系统研究，为克服问题传统提法中的几何复杂性和材料复杂性,把能量法与差分法结合在一起,于1964年建立了求解椭圆型边值问题一套普遍有效的方法，命名为基于变分原理的差分方法，即通称的有限元方法。与此同时,建立了方法的数学理论基础。而后20年中,周天孝、唐立民对
混合元拟协调元的发展，应隆安等对无限元的发展，冯康等对边界有限元的发展，石钟慈对非协调元的发展，林群对有限元外推理论的发展，都作了重要贡献。
有限元方法对于定常态问题的计算已经获得公认的巨大成功，对不定常态问题也有良好开展。有限元方法是一个发展着的体系，在前述的基本原则下可有种种变化和发展，特别是可和其他方法结合起来，进一步解决更困难更复杂的数学问题。
参考书目
冯康、石钟慈著：《弹性结构的数学理论》，科学出版社，北京，1981。
G.斯特朗、G.J.菲克斯同著,崔俊芝、宫著铭译:《有限元分析》，科学出版社，北京，1983。 (G. Strang and G. J. Fix, An Analysis of the Finite ElementMethod,Prentice-Hall, EnglewoodCliffs, New Jersey, 1973.
P. G. Ciarlet, The Finite Element Method forElliptic Problems,North-Holland, Amsterdam, 1978.
O.C.Zienkiewicz, The Finite Element Method,3rded., McGraw-Hill, London, 1977.
石钟慈 黄鸿慈
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