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下面一道和直角三角形折叠有关的几何证明题，需要作辅助线构造相似三角形，才能顺利解决。但辅助线的作法比较灵活，通过探究此例辅助线的作法，能够训练思维的灵活性、深刻性，从而提高数学能力。下面从构造相似三角形的角度出发，探究四种辅助线的作法。例如图1，Rt△ABC中,AB=AC,点M在AC上，点N在BC上，沿MN翻折使点C恰好落在斜边AB上的点P.(1) 当P为AB中点时，求证： .(2) 当P不是AB中点时，是否仍然成立？若成立，请给出证明。析解：（1）如图1, P为AB的中点，则PA=PB，要证，所以应证CM=CN.连结CP，由PA=PB，CA=CB，得CP⊥AB.可知△CMN与△PMN完全重合, 得CM=PM,CN=PN.∴MN⊥CP.(MN是PC的垂直平分线)∴MN∥AB.∴==1.∵，∴.(2) 如图2, 此时仍然成立.如何证明关键是怎么作辅助线，将成比例线段的四条线段集中在一块，利用全等三角形和相似三角形的知识来研究。辅助线一由，考虑从线段AB 的内分点P作AC的平行线，构造出相似三角形，再从已知分析寻找证明思路。证：如图（2），作PQ//AC，则PQ⊥BC，连结PC.∵PQ∥AC，∴.而PQ=QB，∴.（如果以作为中间比，须证。于是从思考△PQC∽△NCM是否成立。）由已知可得PC⊥MN，MC⊥CN，∴∠CMN=∠PCQ，∴Rt△PCQ∽Rt△NMC.∴.∴.辅助线二仍然考虑从P出发构造相似三角形和全等三角形。证：如图3. 作PH⊥AB于P交AC于H，作AQ∥BC，于PN的延长线交于Q，可得△PAQ∽△PBN,有.∵PH⊥AB于P，∠PAH=45°，∴PA=PH,∠PHM=∠PAQ=45°,∵△CMN≌△PMN,∠MPN=Rt∠.∠1+∠3=∠2+∠3=Rt∠∴∠1=∠2, ∴△PHM≌△PAQ(ASA) ，∴PQ=PM.∴.辅助线三由可知，PA、PM在△PAM中，而PB、PN在△PBN中，显然不易证这两三角形相似，于是想办法作辅助线构造一个与△PAM相似的三角形。证：作PQ=PN交BC于Q，如图4. ∠PNQ=∠PQN，∠PNC与∠PMC互补，∠PMA与∠PMC互补，∠PMA=∠PQB，又∠A=∠B=45°，∴△PMA∽△PQB, ∴.又PQ=PN∴成立。而PM=PN，PN=CN，∴.辅助线四根据以上三种辅助线的作法，不难想到第四种作法。证：如图5，作PH⊥AC于H，PG⊥BC于G ，易证Rt△AHP∽Rt△BGP, 则,再证Rt△AHP∽Rt△PGN,∴问题可以得到解决。最科学、最实用、最接地气的中高考数学知识分享，专为中高考考生提供丰富的备考技巧、复习资料、精品课程等，致力帮助初三和高三学生迎战中高考。欢迎关注微信公众号：zgkcc100
