爱华网从“看”到“证”学初中几何
[刘东升]
我国数学家、东北师范大学前校长史宁中教授曾说：“在大多数情况下，数学的结果是‘看’出来的，而不是‘证’出来的．”所谓的“看”是一种直觉判断，这种直觉判断是建立在长期有效的观察和思考的基础之上．而这个“看”的结果必须经过演绎推理的检验．以几何图形的学习为例，小学阶段更多的就是训练了“看”的能力，而初中几何需要在“看”的基础上发展“证”的能力．
下面我们以“对顶角相等”为例，围绕从“看”到“证”做出解释．
如图1.3.1，两直线相交形成了∠1、∠2、∠3和∠4，我们把其中的∠1和∠3叫做对顶角，∠2和∠4也是对顶角.
图1.3.1
很多小学生应该都能一眼“看”出：∠1＝∠3，∠2＝∠4.
但是初中几何并不止步于看出结论，往往还会继续验证和证明，让我们先一起验证：
如果∠1＝40°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度?
解：因为 ∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°，
∠3＝180°－∠2＝180°－140°＝40°，
∠4＝180°－∠3＝180°－40°＝140°，
可以再给出∠1一个恰当角度（如30°），都可以验证：∠1＝∠3，∠2＝∠4.
其实，任意两个对顶角，由于它们都有一个相同的补角，如上图中∠1和∠3都和∠2互补，所以它们是相等的．这也可以简单的说成：对顶角相等．
上面结合具体的度数计算验证了“对顶角相等”性质，下面再从一般意义上给出证明：
证明：因为∠1+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，
所以∠1＝∠3．（“等量减等量，其差相等”）
同理，∠2＝∠3．
这个“对顶角相等”案例的介绍真是太简单了，一眼就看出来的性质还如此大费周折的验证和证明，这不是自找麻烦吗？难道这就是几何吗？
让我们先介绍一本数学书籍，这本书从问世至今的两千多年来，一直统治着整个几何教学，这本书的书名叫做《几何原本》，作者是欧几里得，被人称为“几何学之父”．
从来没有一本科学书，能像《几何原本》那样千年来一直是广大研习者所传诵的读物．现今，我们的数学课本里面的几何内容大多仍是《几何原本》范围．《几何原本》自从1482年第一次付印以来，竟用各种文字出版了1000版以上．历史上除了《圣经》外，没有哪本书的影响力和印刷量能与《几何原本》相媲美，因此《几何原本》也被称为数学家的《圣经》．
《几何原本》提出了著名的五大公理与五大公设：
五条公理：
（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，其和相等；（3）等量减等量，其差相等；（4）彼此能重合的物体是全等的；（5）整体大于部分．
五条公设：
（1）过两点能作且只能作一直线；（2）线段(有限直线)可以无限地延长；（3）以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆；（4）凡是直角都相等；（5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交．（最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设．它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何．）
值得一说的是，在世界名著、欧里几里编写的《几何原本》中，“对顶角相等”是命题15．书中就给出上面我们提到的证明步骤．这种证明方法当然属于基本数学技能，但是重要的价值不在“对顶角相等”的命题本身，而在于它提供了不凭直观和实验的逻辑证明．因此，我们要认识到初中几何学习的要义在于：要从“不必证明”提升到需要证明，并在推理证明过程中感到理性震撼．
进一步，还可分析产生这种“需要证明”的社会文化背景．古希腊是奴隶制国家，当时希腊的雅典城邦实行奴隶主民主政治．由男性公民组成的民众大会有权制定法律，处理财产、祭祀、军事等问题（注意：广大的奴隶、妇女、外来人不能享受民主权利）．既然是平等的民主政治，彼此间的不同意见需要说服对方．为了说明自己坚持的是真理，就需要理性证明．对顶角相等，就是在这样的背景下产生的．
古希腊奴隶主的民主政治，和中国奉行的皇帝君的王权政治，是有根本区别的．对顶角相等在古希腊需要证明，在中国却认为无需证明．在春秋战国时期，只有对君王管理国家有用的数学（如丈量田亩、计算赋税等），才会得到数学家的重视．对顶角相等，对王权没有用处，所以中国古代数学没有“对顶角相等”这样的内容．
