余角和补角 余角、补角纵横谈

余角、补角是几何图形中两个重要的数量关系角概念，与角的位置无关．它们分别与两个特殊角直角、平角联系起来，在分析几何图形角的关系时占有十分重要的地位．借助余角、补角的概念，我们可以探究出它们很多有用的性质．由于余角、补角是数量关系角，而方程所表达的是一种相等的数量关系，因此借助方程求解余角、补角问题是最常用的思想方法．

一、正确理解互余、互补

⑴互余、互补是指两个角的数量关系，而不是三个或更多角的关系．

两个角的和等于90°（直角）时，称这两个角互为余角．而三个或更多角的和也为90°（直角）时，则不能称它们互为余角．

两个角的和等于180°（平角）时，称这两个角互为补角．而三个或更多角的和也为180°（平角）时，则不能称它们互为补角．

⑵余角、补角都是一种“相互”关系．

如∠1、∠2互余，即∠1+∠2=90°，此时∠1叫∠2的余角，而∠2也叫∠1的余角．

同时一个角∠α的余角都可以用90°－∠α来表示．

⑶余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．

余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．因此考虑两个角是否互余、互补，只考虑角的大小，而不需考虑这两个角是否有公共顶点、公共边等关系

二、余角、补角性质的探究

①两角互余，则这两个角必都为锐角；

②两角互补，则这两个角不可能同时为锐角或钝角．（只可能1锐1钝或两个角都为直角）

③一个角的余角必为锐角；

④一个角的补角可能为锐角、直角、钝角．（其中锐角的补角为钝角、钝角的补角为锐角、直角的补角还是直角．）

⑤一个锐角的补角比这个角的余角大90°

⑥同角或等角的余（补）角相等

三、巧用方程求解余角、补角问题

两点注意：

⑴正确设未知数并用含所设未知数的式子表示出相关的量：一般设某个角为x，根据余角、补角定义，则这个角的余角为90－x，这个角的补角为180－x．

⑵依据已知条件,寻找出正确的相等关系，列出方程．

例．⑴互余且相等的两个角，各是多少度？

⑵已知∠A和∠B互为余角，∠A与∠C互为补角，∠B和∠C的和等于周角的．求∠A+∠B+∠C的度数．

分析：⑴设其中一个角为x，由两角互余，则另一个角为90－x．

又这两角相等，∴x=90－x   解得  x=45

⑵设∠A=x，依题意∠B=90－x，∠C=180－x

由∠B和∠C的和等于周角的，∴（90－x）+（180－x）=×360

解得   x=75    ∴∠B=90－x=15    ∠C=180－x=105

∴∠A+∠B+∠C=75+15+105=185°

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