全等三角形辅助线作法 【备战期末】“三角形”作辅助线方法大全，强烈推荐！

数姐有话

对于初二的同学来说，三角形与全等三角形，才是同学们正式接触几何，而在这块内容中，辅助线又是必不可少的，所以，希望同学们好好学习这块内容，对于以后学习更难的几何知识打下基础！

例：已知D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC

证明：

（一）：延长BD交AC于E，

∵∠BDC是△EDC

的外角，

∴∠BDC＞∠DEC

同理：∠DEC＞∠BAC

∴∠BDC＞∠BAC

证法（二）：连结AD，并延长交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角，

∴∠BDF＞∠BAD

同理∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：∠BDC＞∠BAC

例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，

求证：BE＋CF＞EF

证明：

在DA上截取DN = DB，连结NE、NF，

则DN= DC

在△BDE和△NDE中，

DN = DB

∠1 = ∠2

ED = ED

∴△BDE≌△NDE

∴BE = NE

同理可证：CF = NF

在△EFN中，EN＋FN＞EF

∴BE＋CF＞EF

例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE＋CF＞EF

证明：

延长ED到M，使DM = DE，连结CM、FM

△BDE和△CDM中，

BD = CD

∠1 = ∠5

ED = MD

∴△BDE≌△CDM

∴CM = BE

又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4

∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180°

∴∠3 ＋∠2 = 90°

即∠EDF = 90°

∴∠FDM = ∠EDF = 90°

△EDF和△MDF中

ED = MD

∠FDM = ∠EDF

DF = DF

∴△EDF≌△MDF

∴EF = MF

∵在△CMF中，CF＋CM ＞MF

BE＋CF＞EF

（此题也可加倍FD，证法同上）

例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD

证明：

延长AD至E，使DE = AD，连结BE

∵AD为△ABC的中线

∴BD = CD

在△ACD和△EBD中

BD = CD

∠1 = ∠2

AD = ED

∴△ACD≌△EBD

∵△ABE中有AB＋BE＞AE

∴AB＋AC＞2AD

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等.

这两种方法统称截长补短法.

当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：

①a＞b

②a±b = c

③a±b = c±d

例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，

求证：AB－AC＞PB－PC

证明：

⑴截长法：在AB上截取AN = AC，连结PN

在△APN和△APC中，

AN = AC

∠1 = ∠2

AP = AP

∴△APN≌△APC

∴PC = PN

∵△BPN中有PB－PC＜BN

∴PB－PC＜AB－AC

⑵补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM

在△ABP和△AMP中

AB = AM

∠1 = ∠2

AP = AP

∴△ABP≌△AMP

∴PB = PM

又∵在△PCM中有CM ＞PM－PC

∴AB－AC＞PB－PC

练习：

1.已知，在△ABC中，∠B = 60°,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O

求证：AC = AE＋CD

2.已知，如图，AB∥CD，∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4.

求证：BC = AB＋CD

①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。

②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.

③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.

例:如图，已知，BE、CD相交于F，∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求证：DF = EF

证明：∵∠ADF =∠B＋∠3

∠AEF = ∠C＋∠4

又∵∠3 = ∠4

∠B = ∠C

∴∠ADF = ∠AEF

在△ADF和△AEF中

∠ADF = ∠AEF

∠1 = ∠2

AF = AF

∴△ADF≌△AEF

∴DF = EF

例：已知，如图Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，过A作任一条直线AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE = BD－CE

证明：

∵∠BAC = 90° BD⊥AN

∴∠1＋∠2 = 90o ∠1＋∠3 = 90°

∴∠2 = ∠3

∵BD⊥AN CE⊥AN

∴∠BDA =∠AEC = 90°

在△ABD和△CAE中，

∠BDA =∠AEC

∠2 = ∠3

AB = AC

∴△ABD≌△CAE

∴BD = AE且AD = CE

∴AE－AD = BD－CE

∴DE = BD－CE

例：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E

求证：BE = CF

证明：（略）

例：已知AC = BD，AD⊥AC于A，BCBD于B

求证：AD = BC

证明：分别延长DA、CB交于点E

∵AD⊥AC BC⊥BD

∴∠CAE = ∠DBE = 90°

在△DBE和△CAE中

∠DBE =∠CAE

BD = AC

∠E =∠E

∴△DBE≌△CAE

∴ED = EC，EB = EA

∴ED－EA = EC－ EB

∴AD = BC

例：已知，如图，AB∥CD，AD∥BC

求证：AB = CD

证明：

连结AC（或BD）

∵AB∥CD，AD∥BC

∴∠1 = ∠2

在△ABC和△CDA中，

∠1 = ∠2

AC = CA

∠3 = ∠4

∴△ABC≌△CDA

∴AB = CD

练习：

已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF，

求证：BE = DF

例：已知，如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E

求证：BD = 2CE

证明：

分别

延长BA、CE交于F

∵BE⊥CF

∴∠BEF =∠BEC = 90°

在△BEF和△BEC中

∠1 = ∠2

BE = BE

∠BEF =∠BEC

∴△BEF≌△BEC

∴CE = FE =1/2CF

∵∠BAC = 90° , BE⊥CF

∴∠BAC = ∠CAF = 90°

∠1＋∠BDA = 90°

∠1＋∠BFC = 90°

∠BDA = ∠BFC

在△ABD和△ACF中

∠BAC = ∠CAF

∠BDA = ∠BFC

AB = AC

∴△ABD≌△ACF

∴BD = CF

∴BD = 2CE

练习：

已知，如图，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D，

求证：AB－AC = 2CD

例：已知，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，

求证：∠A = ∠D

证明：（连结BC，过程略）

例：已知，如图，AB = DC，∠A = ∠D

求证：∠ABC = ∠DCB

证明：分别取AD、BC中点N、M，

连结NB、NM、NC（过程略）

例：已知，如图，∠1 = ∠2 ，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，

求证：∠BAP＋∠BCP = 180°

证明：过P作PE⊥BA于E

∵PD⊥BC，∠1 = ∠2

∴PE = PD

在Rt△BPE和Rt△BPD中

BP = BP

PE = PD

∴Rt△BPE≌Rt△BPD

∴BE = BD

∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE

∴AE = CD

∵PE⊥BE，PD⊥BC

∠PEB =∠PDC = 90°

在△PEA和△PDC中

PE = PD

∠PEB =∠PDC

AE =CD

∴△PEA≌△PDC

∴∠PCB = ∠EAP

∵∠BAP＋∠EAP = 180°

∴∠BAP＋∠BCP = 180°

练习：

1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线

2. 已知，如图，在△ABC中，∠ABC =100o，∠ACB = 20°，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD = 20°，求∠CED的度数。

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线

例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，

求证：∠BAC = 2∠DBC

证明：

（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 = 1/2∠BAC

又∵AB = AC

∴AE⊥BC

∴∠2＋∠ACB = 90°

∵BD⊥AC

∴∠DBC＋∠ACB = 90°

∴∠2 = ∠DBC

∴∠BAC = 2∠DBC

（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）

（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

求证：DE = DF

证明：连结AD.

∵D为BC中点，

∴BD = CD

又∵AB =AC

∴AD平分∠BAC

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE = DF

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC

证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC

∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC

∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180°

∴2∠BCA＋2∠ACN = 180°

∴∠BCA＋∠ACN = 90°

即∠BCN = 90°

∴NC⊥BC

∵AE = AF

∴∠AEF = ∠AFE

又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE

∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC

∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC

∴∠AEF = ∠ANC

∴EF∥NC

∴EF⊥BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F

求证：DF = EF

证明：（证法一）

过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，

∵AB = AC，

∴∠B = ∠ACB

∴∠B =∠DNB

∴BD = DN

又∵BD = CE

∴DN = EC

在△DNF和△ECF中

∠1 = ∠2

∠NDF =∠E

DN = EC

∴△DNF≌△ECF

∴DF = EF

（证法二）

过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略）

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE

求证：DE⊥BC

证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则

∠AFE =∠B

∠AEF =∠C

∵AB = AC

∴∠B =∠C

∴∠AFE =∠AEF

∵AD = AE

∴∠AED =∠ADE

又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o

∴2∠AEF＋2∠AED = 90o

即∠FED = 90o

∴DE⊥FE

又∵EF∥BC

∴DE⊥BC

（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略）

（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）

⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度数.

解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE

则∠BAE =∠ABE = 60o

AE = AB = BE

∵AB = AC

∴AE = AC ∠ABC =∠ACB

∴∠AEC =∠ACE

∵∠EAC =∠BAC－∠BAE

= 80°－60° = 20°

∴∠ACE = 1/2(180°－∠EAC)= 80°

∵∠ACB= 1/2(180°－∠BAC)= 50°

∴∠BCE =∠ACE－∠ACB

= 80°－50° = 30°

∵∠PCB = 30°

∴∠PCB = ∠BCE

∵∠ABC =∠ACB = 50°, ∠ABE = 60°

∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60°－50° =10°

∵∠PBC = 10°

∴∠PBC = ∠EBC

在△PBC和△EBC中

∠PBC = ∠EBC

BC = BC

∠PCB = ∠BCE

∴△PBC≌△EBC

∴BP = BE

∵AB = BE

∴AB = BP

∴∠BAP =∠BPA

∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10° = 40°

∴∠PAB = 1/2(180°－∠ABP)= 70°

解法二：

以AC为一边作等边三角形，证法同一。

解法三：

以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则

EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o

∵EB = EC

∴E在BC的中垂线上

同理A在BC的中垂线上

∴EA所在的直线是BC的中垂线

∴EA⊥BC

∠AEB = 1/2∠BEC = 30° =∠PCB

由解法一知：∠ABC = 50°

∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10°=∠PBC

∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB

∴△ABE≌△PBC

∴AB = BP

∴∠BAP =∠BPA

∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10°= 40°

∴∠PAB = 1/2(180o－∠ABP) = 1/2(180°－40°)= 70°

⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角

例：

已知，如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C，

求证：AB＋BD = AC

证明：延长AB到E，使BE = BD，连结DE

则∠BED = ∠BDE

∵∠ABD =∠E＋∠BDE

∴∠ABC =2∠E

∵∠ABC = 2∠C

∴∠E = ∠C

在△AED和△ACD中

∠E = ∠C

∠1 = ∠2

AD = AD

∴△AED≌△ACD

∴AC = AE

∵AE = AB＋BE

∴AC = AB＋BE

即AB＋BD = AC

⑵平分二倍角

例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC

求证：∠ABC = ∠ACB

证明：作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC

∵BD⊥AC

∴∠CBD ＋∠C = 90o

∴∠CAE＋∠C= 90o

∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o

∴AE⊥BC

∴∠ABC＋∠BAE = 90o

∵∠CAE＋∠C= 90o

∠BAE = ∠CAE

∴∠ABC = ∠ACB

⑶加倍小角

例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC

求证：∠ABC = ∠ACB

证明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F（过程略）

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120o，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E

求证：BF =1/2FC

证明：连结AF，则AF = BF

∴∠B =∠FAB

∵AB = AC

∴∠B =∠C

∵∠BAC = 120o

∴∠B =∠C∠BAC =1/2(180°－∠BAC) = 30°

∴∠FAB = 30°

∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120°－30° =90°

又∵∠C = 30°

∴AF = 1/2FC

∴BF =1/2FC

练习：

已知，如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC延长线于N

求证：BM = CN

例：已知，如图，在△ABC中，∠B =2∠C，AD⊥BC于D

求证：CD = AB＋BD

证明：

（一）在CD上截取DE = DB，连结AE，则AB = AE

∴∠B =∠AEB

∵∠B = 2∠C

∴∠AEB = 2∠C

又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC

∴∠C =∠EAC

∴AE = CE

又∵CD = DE＋CE

∴CD = BD＋AB

（二）延长CB到F，使DF = DC，连结AF则AF =AC（过程略）

例：已知，如图，在△ABC中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD

求证：△ABC为直角三角形

证明：过D作DE⊥BC，交AC于E，连结BE，则BE = CE，

∴∠C =∠EBC

∵∠ABC = 2∠C

∴∠ABE =∠EBC

∵BC = 2AB，BD = CD

∴BD = AB

在△ABE和△DBE中

AB = BD

∠ABE =∠EBC

BE = BE

∴△ABE≌△DBE

∴∠BAE = ∠BDE

∵∠BDE = 90°

∴∠BAE = 90°

即△ABC为直角三角形

例：已知，如图，在△ABC中，∠A = 90°，DE为BC的垂直平分线

求证：BE2－AE2 = AC2

证明：连结CE，则BE = CE

∵∠A = 90°

∴AE2＋AC2 = EC2

∴AE2＋AC2= BE2

∴BE2－AE2 = AC2

练习：

已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，P为BC上一点

求证：PB2＋PC2= 2PA2

例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 30°，AB =根号2，求AC的长.

解：过A作AD⊥BC于D

∴∠B＋∠BAD = 90°，

∵∠B = 45o，∠B = ∠BAD = 45°，

∴AD = BD

∵AB2 = AD2＋BD2，AB =根号2

∴AD = 1

∵∠C = 30°，AD⊥BC

∴AC = 2AD = 2

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