爱华网（1）求函数f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底）上的最大值和最小值；
（2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=23x3的图象的下方；
（3）求证：[f′（x）]n-f′（xn）≥2n-2（n∈N*）．题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵f′（x）=x+1x，
当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[1，e]上为增函数、
∴f（x）max=f（e）=12e2，f（x）min=f（1）=-12、
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=12x2+lnx-1-23x3，
则F′（x）=x+1x-2x2=x2+1-2x3x=(1-x)(x+1+2x2)x
∵当x＞1，时F′（x）＜0，
∴函数F（x）在区间（1，+∞）上为减函数，
∴F（x）＜F（1）=12-1-23＜0，
即在（1，+∞）上，f（x）＜g（x）、
∴在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=23x3的图象的下方、
（3）证明：∵f′（x）=x+1x，当n=1时，不等式显然成立
当n≥2时，利用基本不等式得：
[f′（x）]n-f′（xn）=（x+1x）n-（xn+1xn）≥2n-2（当且仅当x=1时“=”成立）
∴当n≥2时，不等式成立、
综上所述得[f′（x）]n-f′（xn）≥2n-2，（n∈N*）
考点：
考点名称：函数的最值与导数的关系函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；
②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；
③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。
生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，
不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；
(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．
(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，
①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
