爱华网导数的综合应用；极限；复数
二. 本周教学重难点：
1. 理解可能函数的单调性与其导数关系，会求函数的极值，最值
2. 掌握数列，函数极限的运算法则，会求数列函数极限，了解连续的意义
3. 了解复数的有关概念，能进行加、减、乘、除运算
【典型例题】
[例1] 已知a为实数，若在和上都递增，求的取值范围。
解：
令，即
∴
①
设 ∴
∴
当时，
当时， ∴
② 设
∴ ∴
当时，
当时， ∴
由①②知：
[例2] （且）在上是减函数，求的取值范围。
解：
令，或
∵ ∴
∴ ∵ ∴
[例3] 已知，函数
（1）当为何值时，取得最小值？证明你的结论。
（2）设在上是单调函数，求的取值范围。
解析：（1）对函数求导数，得
令，得
从而
解得，，其中
当变化时，、的变化如下表：
x
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
当在处取到极大值，在处取到极小值。
当时，，，在上为减函数，在上为增函数。
而当时，；
当时，，所以当时，取得最小值。
（2）当时，在上为单调函数的充要条件是，
即，解得
综上，在上为单调函数的充分必要条件为，即的取值范围是。
[例4] 已知，，若，且存在单调递减区间，求的范围。
解：时，
令，即有解即可
∴
∵ ∴ （*）
设， ∴
∵ ∴
∵ （*）有解即可 ∴
当时，
∵ ∴ 不可能小于0
∴ 又∵ ∴ 且
[例5] 把边长为60cm的正方形铁皮的四角切成边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数，问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？
解：设长方体高为xcm，则底面边长为
长方体容积
∵ ∴ ，即函数定义域为
令，解得，（不合题意舍去），于是
x
（0，10）
10
（10，30）
+
0
－
↗
↘
① 当即时，在时，取得最大值为
② 当即时，在时，取得最大值
[例6] 已知，求。
解：∵
∴ 为方程的根，
又
∴ ∴ ，
[例7] 是否存在常数使等式
对一切正整数成立？证明你的结论。
解：分别将代入
∴
下面用数学归纳法证明
（1）当时，成立
（2）假设时等式成立
当时，
左
由（1）（2）知等式对一切成立
[例8] m取何实数时，复数是实数？是虚数？是纯虚数？
解：① 为实数
∴
② 为虚数
∴ 且
③ 为纯虚数
∴ 或
【模拟试题】
一. 选择题
1. 已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知曲线过点，则这一曲线在该点的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知（m为常数）在上有最大值6，那么此函数在上的最小值为（ ）
A. –34 B.-29 C.-5 D.-11
4. 函数，其中为实数，当时，（ ）
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 是常数函数 D. 既不是增函数也不是减函数
5. 已知函数，则（ ）
A. 极大值为5，极小值为
B. 极大值为5，极小值为
C. 极大值为5，无极小值
D. 极小值为，无极大值
6. 函数的极值点是（ ）
A. B.
C. 或 D.
7. 观察函数：① ；② ；③ ；④ 。
当时极限值为1的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④
8. 等于（ ）
A. B. C. D.
二. 解析题
1. 已知函数。
（1）若在实数集R上单调递增，求实数的取值范围。
（2）是否存在实数，使在上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
（3）证明的图象不可能总在直线的上方。
2. 已知，求的单调区间。
3. 某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每年生产x件这样的产品需要再增加可变成本（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？
【试题答案】
一.
1. D
解析：，因为在上单调递增，所以，即，故。
2. B
解析：∵ 曲线过点
∴ 又 ∴
∵ ∴ 切线方程为
∴ 选B
3. A
解析：
由得或2
∵ ，，
显然
∴ ，最小值为
4. A
解析：，其判别式
∴ 时恒有成立
∴ 为增函数
5. C
解析：令，得或
∵ ∴
当时，
而当时，
∴ 为的极大值点
当时，
6. D
解析：由，得或
当时，；时，
∴ 不是极值点，同理也不是的极值点，为的极值点，故选D。
7. D
解析：经计算：①的极限为1，②的极限为0，③的极限为，④的极限为1，所以选D
8. B
解析：∵ ∴
二.
1. 解析：（1）由已知 ∵ 在上是单调增函数
∴ 在上恒成立，即对恒成立
∵ ∴ 只需
又时，，在R上是增函数
∴
（2）由在上恒成立
得，恒成立
∵ ∴ ∴ 只需
当时，，在上，
即在上为减函数 ∴
故存在实数，使在上单调递减
（3）证明∵
∴ 的图象不可能总在直线上方
2. 解析：
（1）当时，若，；若，
所以当时，在内为减函数，在内为增函数
（2）当时，由
解得或
由，解得
所以时，在内为增函数，在内为减函数，在内为增函数
（3）当时，由，解得，由，解得或，所以当时，在内为减函数，在内为增函数，在内为减函数。
3. 解析：设该厂生产x件这种产品的利润为元，则
令，得（件）
又当时，；
当时，，所以是的极大值点。
当时，元
因此，要使利润最大，该厂应生产这种产品60件，最大利润为9500元
