爱华网【题目】：
现有1元硬币多个，2元和5元纸币好多张。买一本书要用10元，你怎么拿？共有多少种方法？
【解法】：
可以分为三类考虑：
第一类，只用一种币值的人民币付钱有三种拿法：10个1元硬币；5张2元纸币；2张5元纸币。
第二类：用两种面值的人民币付钱共有5种拿法：
（一）、用1元硬币和5元纸币付钱有一种拿法：5个1元硬币和1张5元纸币。
（二）、用1元硬币和2元纸币付钱有四种拿法：1张2元纸币和8个1元硬币；2张2元纸币和6个1元硬币；3张2元纸币和4个1元硬币；4张2元纸币和2个1元硬币。
第三类：用三种面值的人民币付钱有两种拿法：一张5元纸币、2张2元纸币和1个1元硬币；一张5元纸币、1张2元纸币和3个1元硬币.
3+5+2=10（种）
所以，共有10种拿法。
这种解法运用的是加法原理，先把解决问题的方法分为几大类，求出每一类各有多少种解决问题的方法，再把它们加起来。这种方法解题的关键是如何合理地分类，做到不重不漏。
加法原理
生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．
例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？
分析这个问题，发现此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法。如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法。上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法。
在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法。在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成，并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数。
一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法。这就是加法原理．
乘法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将要讨论的乘法原理来解决．
例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？
分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：
第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：
注意到 3×1=3．
如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：
共有六种走法，注意到3×2=6．
在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．
在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．
一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有
N=m1×m2×…×mn种不同的方法．
这就是乘法原理．
例2：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．
问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
分析： ①中，从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法．所以是加法原理的问题．
②中，要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题．
解：①从两个口袋中任取一个小球共有3+8=11（种）不同的取法．
②从两个口袋中各取一个小球共有3×8=24（种）不同的取法．
补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同。乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．
事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．
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